四川省泸州高级中学校2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题

泸州市高级中学2025年9月开学考试 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 12345678 CACABCBB 超 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题日要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BCDBCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.e2 13.e 14. 1 2e5,1 四、解答题： 本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 由题意，singg=2 sinzA且xA=2 即 2sin B 2 号=m2=2（- COS 2 ) -cose） 2)(6分) 令t=i血号-cs号，则P=1-2sin号cos号 2 即sin tn。 sB=1- 2 2.得 1-=V2t.(9分) 数学试题第1页（共8页） 解得t=V②±V6 又由于<<元百<受<2知t=im号-cms号>0， 则t= v6-V2 2 Y2.于是点A的纵坐标为 1 sinA 人snxB三2t=Y2.（13分) 2 2 16.（15分) (1)由已知an+1= 如知 1 3an+1=3+ 1 an+1 an an 所以 是等差数列，公差为3，首项为1.故 =3m-2.(3分) an 2当-2时：I=o1,五-{-ne 需证t∈Tn,t<2cn+1: 由于T≤2，有 下证c<c+ 设9-26w-引=2-2.则 =1 =1 S=3(m-1)2m+1+2-2.2(2”-1)=2n+1(3n-5)+10.(6分) 因此 cn+1-S=2m+1(3m+1)-[2m+1(3m-5)+10=6.2m+1-10. 当n≥1时，62+1-10≥62-10=14>0，故∑%<6+.(8分) i=1 所以t≤2∑c<2n+1, 即t<2cn+1: =1 (2.2)设Sn为Tn中所有元素之和。 数学试题第2页（共8页） 由于t= ∑，且每个：独立地取{01,2，…，k}中的值，所有可能序列 i=1 (r1,T2,,Tn)共有(k+1)n个 对于每个固定的i,项T:C:在所有序列中出现的总和为 s∑rk+1-1=g+.k+1n-1 2 因此，所有t的总和为 Sn 其中c=2(3i-2),故 S.=k十1少.(2+13m-5)+10).(15分，采用其他方法，合理即可给分) 2 17.（15分) (1)设事件H表示正面向上，事件A表示选中硬币A,事件B表示选中硬币B.则 国=分Pa=7ra10-分PIa=p-是 由全概率公式， Pm=PAP到+P因P=号日+号-日+g-B分剂 因此，抛一次硬币正面向上的概率为8： (2)设H1表示第一次正面向上，H2表示第二次正面向上.需求P(H2H)· 则 11 P(AH) P团P-22- 2 P(H1) 5 5 8 31 P(BH1)= P(HB)P(B)2 P(H) 5 5·(6分) 8 给定硬币类型，抛掷独立，故： P(H2 H1)=P(H2 A)P(AH+P(H2 BP(B H1), 数学试题第3页（共8页） 其中P,=P(B)=代人 12.331.913 P()=25+45=5+20=20 (10分) 13 因此，所求概率为20 (3)犯错误的概率为P(Ak次正面)≤α.由于 P(Ak次正面)= P(k次正面A)P(A) ) (14分) P(次正面) 1 1 1 2×()+2×n 1 2 +pk 设此值不超过α即 1 ≤a. 2 +pk 即 () ≤。 取自然对数并由于n <0, (】 In(2p) 2p 因此，飞的最小值为不小于该值的最小整数： Kmin (17分) 形式上也可以取其他正数为底的对数，如常用对数，以2为底的对数等，或者也可以直 接写成kmin= 1-a log2p a 18.(17分) 数学试题第4页（共8页） @以平面之三0截曲面T:x2+一名1，代入得 2+2--1→2+g2=1+里 这是个圆的方程，圆心在(0,00，半径r=1+至因此， 截痕是圆.(4分，只 要说明是圆即可，不必指出圆心和半径) (2)设点P(x,,z)是l上的点，则T=tu=(t,t,2√2t),t∈R,则 x=V2+t,y=t,之=2+2V2t 代入曲面方程 W2+t+2-2+2V2=2+2V2t+2)-1+2V2t+2)=1.10分) 4 恒成立，故直线（完全在曲面Γ上，公共点有无数个 ③)点o.im6,,0e[匠引设P)是直线h上的点，设=a,么0是 直线l的方向向量，则MP=tv=(ta,tb,tc).则P(cos0+ta,sin0+tb,tc).带入曲 面方程，则要使 (os8+o2+m9+oP-@-1+e(c+- +2t(acos0+bsin0)=1 4 对任意t∈R恒成立，则 a2+62-c2 =0,acos+bsin=0. 解得v=(-si0,cos0,土2)是符合要求的方向向量.(14分，方向向量不唯一，与所给 的两个方向向量分别共线即可)而又直线l的方向向量u=(1,1,2v②.所成角中的余 弦为： C0s= lww,lw=V而，lu=V5. ullol 对于v=(-sin0,cos0,2)有 C08= cos0-sin0+4v2 8 -V24 5V2 10'5 对于v=(-sin0,cos8,-2)有 cos= sin0-cos0+4v2 48+2 5V2 5'10 数学试题第5页（共8页） 综合考虑两组直线1，余弦取值范围为 8-V28+V2 1010 (17分) 19.(17分) (1)由点 1,2 在椭圆上得 1 9 a2+4=1 过点S(xs,ys)(满足|OS=V7,即x+=7)作椭圆的两条互相垂直的切线.设 切线斜率为k,则切线方程为y=kx+m,其中m=ys一kxs.联立椭圆方程得 (a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0. 切线与椭圆相切，需满足 △=4a4k2m2-4a2k2+b2)·a2(m2-b2)=4a2b2(a2k2+b2-m2)=0 即 m2=a2k2+b2 代入m得 (ys-kxs)2=a2k2+62 整理得关于k的方程 k2(x号-a2)-2kxss+(5-b2)=0 此方程的两个根和k2对应两条切线的斜率.由于切线互相垂直，有k2=一1.由 根与系数关系，1=- 2号一a2,所以 5-b2 2喝-a2=-1 即 a2+b2=x3+y3=7. 由于a>b>0,解得a=2,b=v5。因此椭圆方程为 2+=1.6分) 4十3 数学试题第6页（共8页） 由)知椭圆E:+等=1，顶点A-2,0,B2,0.设点P4,(t≠0)，直 AP过点A-2,0)和P4,,斜率为后方程为 6+2) y= 联立椭圆方程得 23 +2) 4 3 整理即 (27+t2)x2+4t2x+(4t2-108)=0 54-2t2 已知一根为x=-2(点A),另一根为xM,由根与系数关系可得M=27+女，代 18t 入直线方程得M=27+2, 故点M坐标为 2(27-t2)18tY M 27+2’27+2 类似同理可得点N坐标为 2(t2-3)-6t\ 2+3’2+3 以MN为直径的圆的圆心C为MN的中点，则 48t2 6t(t2-9) (27+t2)(t2+3)'(27+t2)(t2+3) 圆的半径R为MN长度的一半，即 2(t2+9)2 MN)+(N)-2)(3) 圆心C到直线x=4的距离为 4(t2+9)2 d=10-4=27+2(2+3) 因此 d=2R 由于d>R(t卡0，R>0),故以MN为直径的圆与直线x=4相离.(17分，其他合 理方法亦可) 数学试题第7页（共8页） 数学试题第8页（共8页）泸州市高级中学2025年9月开学考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生需要在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效， 3.考试结束后，由监考员将本试卷和答题卡一并回收 过 、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题日要求的： 1.设复数之=1+i,则之·乏+z2= A.0 B.2 C.4 D.4v/2 2.一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则这个等比数列的公比为 A.2 B.±2 C.4 D.土4 3.已知a>0,a卡1，则函数y=log 的图像一定经过 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 4.已知平面直角坐标系内点O(0,0),A(1,0),B(0,1),点的集合M={P(x,)PO.PA= P♂.PB.则集合M表示的图形为 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 5.设函数f(x)=(x2-4x)sin(x-2)+x+1在[0，④上的最大值为M,最小值为m,则 M+m= A.4 B.6 C.8 D.10 6.计算sin218°+sin18°sin42°+sin242°= a月 B.V3 D.1 2 (设椭圆+1的左顶点为A,右焦点为F,点P在直线x=Q上但不同于右 点.连接FP交椭圆于点Q且2Q正=F予.连接Q0(O为坐标原点)交椭圆于另一点 数学试题第1页（共4页） Q且A,Q,P三点共线，则椭圆的离心率为 B.3 C.② 2 n 8.设函数g(x)= x2+3x+1 ，则方程(g(x)2+mg(x)-5e(m∈R)的实数根的个数可 能为 A.1 B.3 C.1或3 D.3或5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题日要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列各式中，值为0的有 2π 4π 6m 12m Acos7+cos7+cos罗+…+c0s 7 2r,4r, .6 12不 B.sin7+sin7+sin+sin 2元3 6π C.cos+cas+cas+cos 2不 3不 6不 D.sin+sin7+sin7 +…+sin7 7 0已如数列红)满足a:=1a+”十a1=0记5，是数列a}的前n项和.则 A.{an}是等比数列 B.n∈Nt,a2≤am≤a1 C.n∈Nt,S2≤Sm≤S1 D.3k>0,使得既有无穷多个n满足Sn>k,又有无穷多个n满足Sn<及 11.已知锐角△ABC的面积为3+v3,且满足2sinC-simA=√2sinB,2cosC+cosA= v6cosB.边AB上的高为h.则 A.sin C cos C cos A B.sin C-cos C=sin A C.AC2-BC2=4 D.h=6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.方程xn3+xln4=xln5的正实数解有 13.若x∈[-2,2，成立axe2≥(2a+b)x+(a-1)e2,则a+2b的最大值为 14.若c∈(0，+o∞)，成立 (”- (Inx-ax2-2)≤0，则实数a的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 数学试题第2页（共4页） 15.(13分) 设函数f四sn,已知点T（-20,点A(rAfa,B(eB,fa》(0<zA<7<B<而 若TA=AB,求点A的纵坐标. 16.(15分) 已知数列{an}满足a1=1,am+1= am.集合I={0,1,2,…,(k∈N+) 3am+1 的通项公式 2 (2)记cn=. 集合Tn= an {e=e} i=1 (2.1)若k=2,求证：∀t∈Tn,成立t<2cn+1 (2.2)求Tn中所有元素之和. 17.（15分) 有两枚硬币A,B.假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上、反面向上中的一种，跑 硬币A正面向上的概率为2，抛硬币B正面向上的概率为P <p<1 现在先从 两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次 (①若-求抛一次硬币，正面向上的概率 (②)若p=,在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上 的概率. (3)如果当连续抛硬币k次(k≥1，k∈N+)全为正面向上的前提下，可以做出论断“选 1 中的是B硬币”，犯错误的概率不超过α 0<a<2) 则k的最小值为多少？ (提示：用「x]表示不小于x的最小整数) 18.(17分) 在空间直角坐标系Oxyz中，称F(x,y,)=0是曲面S的方程，如果曲面S上的任 意点的坐标都是方程F(x,y,)=0的解，且所有不在曲面S上的点的坐标都不是方程 c,丛，)=0的解.如图是一个单叶双曲面工，其方程为2+？-二=1，它可以看 作Ox面内某双曲线的一支绕之轴旋转一周所得的曲面. (1)证明：以平行于xOy面的平面之=0(0为常数)截Γ所得的截痕（即截得的曲 线)是圆. (2)已知过点T(V2,0,2)的直线1的一个方向向量为u=(1,1,2V2),试判断直线1与 P的公共点的个数 (③)在第2)问的条件下，设点Mcos8,sin9.0),其中0∈[匠，引.若直线4过点M 且1上的所有点都在Γ上，求直线（与1所成角的余弦值的取值范围 19.（17分) 已知平面直角坐标系中的椭圆E:行+茶-1a>b>0.已知过点S(满足1O5 数学试题第3页（共4页） 图1：18题图 √7)可作椭圆E的两条相互垂直的切线，且点 在椭圆E上.A,B分别是椭圆 E的左、右顶点 (1)求椭圆E的方程 (2)设有直线x=4上不同于点(4,0)的点P,AP交椭圆E于另一点M,BP交椭 圆E于另一点N,请判断以MN为直径的圆与直线x=4的位置关系（相交，相切 或相离)，并证明你的结论 数学试题第4页（共4页）