2025-2026学年人教版九年级上册数学第一次月考（范围：第21章～第22章）

2025-2026学年人教版九年级上册数学第一次月考卷 （范围：第21章~第22章 满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．当时，方程实数根的个数（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 4．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 6．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 7．是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，B两点，且点B在直线的下方，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 9．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线与轴只有一个公共点，且过点，则等于（　　） A．18 B．36 C．48 D．72 11．已知抛物线 与x轴交于两点 A，B（A在B的左侧），抛物线 n)与x轴交于两点 C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论中错误的是（   ） A．C₁与C₂交点为 B．； C． D．A，D两点关于对称 12．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、选择题（每小题2分，共12分） 13．关于的一元二次方程的一次项系数是3，则 ． 14．若关于x的方程的一个根是2，则的值是 ． 15．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 16．已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，．当的值最小时，则 ． 17．实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W． 18．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 三、解答题（共72分） 19．（8分）解方程 (1) (2) 20．（8分）已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 21．（8分）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． (1)若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形花园面积的最大值． 22．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 23．（8分）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 24．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 25．（10分）项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ (3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 26．（12分）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册数学第一次月考卷 （范围：第21章~第22章 满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是整理后形如其中的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 3．当时，方程实数根的个数（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，一元二次方程（）根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的有关知识点：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分和且两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，即， 解得：，有一个实数根； 当且时，原方程为一元二次方程， ∵， 又∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； 综上，该方程实数根的个数为1或2． 故选：C． 4．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 5．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 6．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 7．是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握当开口向下时、离对称轴越近的点、函数值越大成为解题的关键． 根据抛物线确定开口方向及对称轴，判断各点离对称轴的距离，然后结合二次函数的增减性即可确定函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线．当开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大． ∵点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为． ∴， ∴． 故选B． 8．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，B两点，且点B在直线的下方，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据点B在直线的下方推断出抛物线的对称轴在y轴的左侧，另外，应注意a的值不确定时，一定要分类讨论，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由题可得，直线与x轴交点为， ∵点B在直线的下方， ∴点B的横坐标小于2， ∴抛物线的对称轴直线，即对称轴直线在y轴左侧， ∴抛物线的顶点不可能在第一、四象限， ∴A正确，D错误； ∵a的正负不确定， ∴抛物线的开口方向无法确定， ∴B错误； 当时，抛物线与直线一定有两个交点，但当时，抛物线与直线可能有两个交点，可能有一个交点，也可能没有交点，三种情况均可能存在， ∴C错误． 故选：A 9．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 10．已知抛物线与轴只有一个公共点，且过点，则等于（　　） A．18 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、求抛物线解析式等知识点，正确求得抛物线的解析式为解题的关键．根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线，故设抛物线解析式为，直接将代入，得到方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴对称轴是直线， 又∵抛物线与轴只有一个交点， ∴顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得：，即． 故选：D． 11．已知抛物线 与x轴交于两点 A，B（A在B的左侧），抛物线 n)与x轴交于两点 C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论中错误的是（   ） A．C₁与C₂交点为 B．； C． D．A，D两点关于对称 【答案】C 【分析】由题意得，根据可以判断选项A；令求出，，由可以判断选项B；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断选项C，利用两点间的距离可以判断选项D． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故选项A正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故选项B正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故选项C错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 二、选择题（每小题2分，共12分） 13．关于的一元二次方程的一次项系数是3，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将方程整理为一般形式，找出一次项系数，令其等于求解即可． 【详解】解：将化成一般形式为 其一次项系数为， ， ． 故答案为：． 14．若关于x的方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及求代数式的值，准确计算是解题的关键． 把代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则反推进行解答即可． 【详解】解：将向上平移2个单位后为， 即， 再将向右平移1个单位为， 即． 16．已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，．当的值最小时，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先整理出表示的二次函数，再配方取其最小值即可求解． 【详解】设实数，，满足，， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值， 故答案为：3． 17．实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W． 【答案】220 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点 ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故答案为：220 18．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 根据二次函数的平移得出，当时，，当时，，当时，，然后分三种情况分析，结合函数草图及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，此时，在对称轴右侧，即，即， ∴， 此时，不等式组无解，不符合题意； 当时， 此时，，即，，即， ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 当时， 此时，，即， ，即， ∵ ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 19．（8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴或， ∴． 20．（8分）已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象顶点的坐标为； (2)或． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）求出抛物线过N点时a的值，再结合图象求a的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象顶点的坐标为； （2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点， ∴，， ∵抛物线顶点的坐标为， ∴点在点的上方， ∵线段与二次函数只有一个交点， 则点N在抛物线上或抛物线下方， 当过点N时， ，即， 解得或， ∴或． 21．（8分）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． (1)若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形花园面积的最大值． 【答案】(1)4米 (2)平方米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式，是解题的关键： （1）设，则：，所围成的矩形花园的面积为，根据面积公式列出函数关系式，令，求出的长即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设，所围成的矩形花园的面积为，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：，（舍去）， ∴（米）； 答：所利用旧墙的长为米； （2）由（1）可知：， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最大为：， 答：矩形花园面积的最大值为平方米． 22．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 23．（8分）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 24．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 25．（10分）项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ (3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】(1)一次， (2)销售单价应定为140元 (3)黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元 【分析】本题是二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值问题． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）利用（1）中销售量求得利润函数，解一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）利用（2）中利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质讨论得出最值． 【详解】（1）解：观察表格可知黄花每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为， 将点代入，得 ， 解得， 一次函数关系式为． 故答案为：一次函数，； （2）解：根据题意知，月销售利润为： ， ∵月销售利润达到24000元， ∴， 解得， 当时， 销售成本为， 不符合题意舍去； 当时， 销售成本为， 符合题意； 故销售单价应定为140元； （3）解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元． 26．（12分）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $