21.1 一元二次方程 导学案 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义，以矩形绿地扩增的实际问题导入，通过“问题驱动—概念建构—例题解析—分层训练”的学习路径，构建从生活情境到数学模型的认知支架，帮助学生逐步理解抽象定义并掌握基本技能。 本资料突出核心素养导向，体现“数学眼光”中的抽象能力与几何直观，如在课堂引入中引导学生从图形变化中提炼数量关系，建立方程模型；强化“数学思维”中的推理意识，在例题与练习中设计逻辑递进的问题链，促进学生深入理解系数限制条件与方程根的判定；彰显“数学语言”中的模型观念，通过真实情境转化和规范表达训练，提升学生用数学符号描述现实问题的能力。习题设计层次分明，既夯实基础又拓展思维，助力学生形成结构化知识体系，发展理性精神与应用意识。

姓名 班级 学科 数学 完成情况 课题 学习目标 1.理解一元二次方程的概念． 2．能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项． 3．理解一元二次方程的根的意义. 4．通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展学生的数学思维. 学习关键 重点 掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题 难点 把实际问题转化为一元二次方程模型. 学习过程 【课堂引入】 如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m．若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的 长度． 【自主学习】阅读课本2-3页． 【归纳定义】 1. 一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 未知数，并且 的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程． 2.下列各方程是不是一元二次方程？ ①x2－2x－5；②2x2－1＝0；③5x2－4x－＝0；④－＝0；⑤3y2＝(3y＋1)(y－2)；⑥ax2＋bx＋c＝0； ⑦x2－2x－5＝2(x＋3)(x－2)；⑧2x2＝0. 3.使方程左右两边 的未知数的 就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 4.下列哪些数是方程x2－x＋12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 【例题精讲】 例1　指出下列各方程的二次项、一次项和常数项． ①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③＝0. 例2　若方程(m－1)－x－2＝0是一元二次方程，则m的值为 ． 例3　若x＝1是方程x2－4x＋m＝0的根，则m的值为 ． 例4　当k取何值时，关于x的方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0， (1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？ 【巩固训练】 1．下列方程中一定是一元二次方程的是( ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．(m－3)x2－2x＝0 C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0 D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0 2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是( ) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝－1 D．a－b＝－1　　　　　　 3．若关于x的方程(a－2)－2x－5＝0是一元二次方程，则( ) A．a＝ B．a＝± C．a＝2 D．a＝－2 4．当m满足条件 时，(m＋4)x2－mx＋1＝0是关于x的一元二次方程． 【课堂检测】 1.若方程(m2－1)x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是( ) A．0 B．1 C．±1 D．－1 2．在一元二次方程2x2－5x－1＝0中，二次项系数和常数项分别是( ) A．2，5 B．2，－5 C．2，1 D．2，－1 3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋5a＋b＝0的解，则10a＋2b＝ ． 4．若9a－3b＋c＝0且a≠0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根是 ． 5．若k是方程3x2－2x－1＝0的一个根，则9k2－6k＋7的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $