15.3.1等腰三角形（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

该初中数学讲义聚焦等腰三角形的性质与判定，从边角关系出发，层层递进地构建知识网络，通过“定义—性质—判定—作图—综合应用”的逻辑脉络，形成清晰的学习支架。每道例题后紧跟变式训练，实现由浅入深、由单一到综合的思维跃迁，帮助学生在真实情境中理解数学本质。 本资料突出核心素养导向，体现“几何直观”“推理能力”和“模型意识”三大亮点。题型设计紧扣新课标要求，融合分类讨论、尺规作图、全等转化等关键方法，强化学生用数学眼光观察图形结构的能力，提升用数学语言表达逻辑关系的水平，尤其在“一线三垂直”“补短法”等经典模型中展现学科思维深度，助力学生从被动接受走向主动探究。

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 15.3.1等腰三角形（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 等腰三角形边角性质 1 .等腰三角形 定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 2.等腰三角形边角性质 等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. 要点诠释： 分类讨论 ：涉及边长或角度计算时，需明确腰与底，顶角与底角，避免漏解。 题型1 利用等边对等角求值 例1．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的中线， ∴平分， ∵是上的高，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】．如图，点在的边上，点在内部，，，．给出下列结论：；；，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用“”证明，然后根据性质即可判断结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断结论；熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； ∴正确的是， 故选：． 【变式1-2】．在中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 为或． 故选：B． 【变式1-3】．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，，则 ． 【答案】105 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理． 根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，然后再利用，得出，然后利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：105． 题型2利用等边对等角证明 例2．如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）由（1）知，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ， ， ． 在与中，， ， ． （2）证明：由（1）知， ． ， ， ， ． 【变式2-1】．如图，在中，，点，在上，．猜想与相等吗？并说明理由． 【答案】相等．理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查的知识点为等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质．首先根据等腰三角形的性质:等腰三角形()的两底角相等()，再根据三角形全等的判定:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，本题中，，，可证；最后根据三角形全等的性质:全等三角形的对应角相等，可推出对应角． 【详解】解：相等． 理由： ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2-2】．如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）根据题中条件，利用“HL”判定； （2）由等腰三角形的性质，求出，利用（1）的结论， 可得，再由求解即可． 【详解】（1）， ， ， 又， ， ． （2），， ， ， 由（1）知，，可得， ． 【变式2-3】．如图，，，，证明． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据“等边对等角”证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 知识点2：等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 要点诠释： 在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型3利用“三线合一”求值 例3．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键， 连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值8．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线，是线段上一动点， ∴． ∴． ∴当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故选：C． 【变式3-1】．已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．72 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握等腰三角形的性质是关键，根据等腰三角形的三线合一得到是角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：已知是等腰底边上的高， ∴是等腰中的角平分线， ∵点F到直线的距离为3， ∴点F到直线的距离为3， 故选：C ． 【变式3-2】．已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 (1)找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算，熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-3】．如图，在中，已知，和的平分线相交于点D，．求和的度数． 【答案】， 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 题型4利用“三线合一”证明 例4．已知，如图，，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明，得到，又因为，即为的角平分线，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ，即为的角平分线， ． 【变式4-1】如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，理解等腰三角形的性质定理和判定定理是解题关键． （1）先证明，再根据等腰三角形三线合一即可证明． （2）连接，先证明，再证明，得出，结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴F为线段中点； （2）解：，理由如下： 连接， 在中，，D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式4-2】．如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，连接．请直接写出图2中四对全等的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)，，， 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得垂直平分，然后问题可求证； （2）根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：图中全等三角形有：，，，；理由如下： ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 由（1）可知：， 在和中， ， ∴； 同理可得； ∵，， ∴，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、三线合一 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 知识点3 等腰三角形的判定 判定方法 （1）等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形是等腰三角形． （2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 要点诠释： ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 题型5利用等角对等边求值 例5．如图，在和中，，，与相交于点O，连接．求证：点O在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的性质等知识，证明，得，，所以，可证明，则点O在线段的垂直平分线上． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上． 【变式5-1】．如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． (1)求证：； (2)若，， 求和的面积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）由，可得 ，结合，可得和的面积之比. 【详解】（1）证明：∵．， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴和的面积之比为：. 【变式5-2】．如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）分别为上的高线，得，即可根据直角三角形全等的判定定理证明； （2）由，得，由“等角对等边”得． 【详解】（1）证明：∵分别为上的高线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴的长是5． 【变式5-3】．平面直角坐标系中，点坐标为，分别是轴、轴正半轴上一点，过点作轴，，点在第一象限，，连接交轴于点，，连接． (1)请通过计算说明； (2)求证； (3)请直接写出的长为_________． 【答案】(1)说明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意可得，，进而由得，即可求证； （2）延长至点，使得，连接，证明得到，，再证明，得到，即可求证； （3）由（2）可得，再根据得，由平行线的性质及（2）的结论可得，即得到，即可求解； 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长至点，使得，连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 题型6利用等角对等边证明 例6．已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式6-1】．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 【变式6-2】．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，证明是本题的关键． 利用“”可证，由全等三角形的性质可得出，利用等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵，， ∴； ∴， ∴． 【变式6-3】．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 知识点4 作一个等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 要点诠释： 在作图过程中明确腰、底、顶角等术语，结合对称折叠操作体会“两底角相等”的性质。 半径选择 ：作弧时半径需大于底边一半，避免两弧无交点。 作图验证 ：完成作图后，可用量角器或折叠验证两腰是否相等，底角是否相等。 题型7 利用等角对等边作图 例7．已知线段a，h（图），用直尺和圆规作等腰三角形，使底边，底边边上的高线长为h. 【答案】解：作法：如图. 1.作线段. 2.作线段的垂直平分线l，交于点D. 3.在直线l上截取，连结. 就是所求作的等腰三角形. 【解析】【分析】作线段BC=a，再作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D，在直线l上截取DA=h，连接AB、AC，△ABC就是所求的三角形. 【变式7-1】如图所示，已知∠O及边上两点A和B，用直尺和圆规在∠O的角平分线上求作点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点P为所作. 【解析】【分析】由题意作出∠AOB的角平分线和线段AB的垂直平分线，其交点即为所求. 【变式7-2】．如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）． (1)在图①中画出折痕所在的直线．直线与分别相交于点，连结（尺规作图，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线和等腰三角形的判断，用到的知识点：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上利用垂直平分线上点到线段的两个端点的距离相等来找相等的线段，进而求得等腰三角形的个数． （1）作出的垂直平分线即可； （2）证明，可得，故可得是等腰三角形 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点D，如图： （2）证明：由（1）可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式7-3】．如图，在中，，是三角形的高，用尺规作图的方法作出射线交于点E，交于点O． (1)判断用尺规作出的是 ； (2)求证：． 【答案】(1)的垂线 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作垂线的方法，是解题的关键： （1）根据作图可知，为垂线，作答即可； （2）利用证明，即可得证． 【详解】（1）解：由作图可知，， 故是的垂线； （2）证明：∵， ∴．     ∵是两条高， ∴． 在和中， ∴．     ∴． 题型8确定等腰三角形个数 例8．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 【变式8-1】．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 【变式8-2】．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 【变式8-3】．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【详解】解：①如图， ，， ∴，都是等腰三角形． ②如图， ，， ∴，是等腰三角形． 题型9 等腰三角形的性质判定综合 例9．如图，在等腰中，，是的角平分线，，垂足为E． (1)试说明； (2)线段与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论：，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明是关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：结论：． 理由：在等腰中， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴． 【变式9-1】．【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：；方法应用：证明见解析；拓展： 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】知识背景：根据角平分线、垂直的条件，结合全等三角形判定定理判断的依据； 方法应用：利用角平分线及垂线段构造全等三角形，结合角度关系推导； 拓展：通过作辅助线，构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质、三角形面积公式求解． 【详解】解：知识背景： ∵ 平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ （角边角）， 答案选C． 方法应用： 延长交于点， ∵ 平分，， ∴， ∴ ， ∴． ∴ ． 拓展：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 过点作于，过作于交的延长线于， ∵ ，，， ∴ ，是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角角边）， ∴， ∵ ，，， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角边角）， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式9-2】．（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，见解析；（2）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由于点D，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，则是等腰三角形； （2）延长交于点E，则，得，，， ，即可推导出，得，所以． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式9-3】．（问题）如图①，点是的角平分线上一点，连接，若与互补，则线段与有什么数量关系？ （探究） (1)如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_________． (2)若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由． (3)如图③，在中，，，平分，求证：． 【答案】(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及角平分线的性质定理： （1）根据角平分线的性质定理即可； （2）作于F，作交的延长线于，证后，再根据全等三角形的性质即可证明； （3）在上取一点，使，根据等腰三角形和角平分线得到的度数，进而得到，最后等量代换即可． 【详解】（1）证：平分，，， ， 理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等， （2）解：． 作于F，作交的延长线于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （3）证：在上取一点，使， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 由前面的结论，， 又， ， ， 即． 题型10等腰三角形与全等三角形综合 例10．将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它构建出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC． (1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)DC与BE有怎样的关系？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，即 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【变式10-1】．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】 （2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）若选择小喆同学的方法，证明，，即可得到，进而得证结论；若选择小刚同学的方法，证明，，即可得到，进而得证结论； （2）方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则，可推出，，根据， ，可得，从而证得，即可得证； 方法二：过作交的延长线于，证明，得到．根据， ，得到，进而得到，因此，即可得证； （3）在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则．证明，得到，．由“三线合一”得到，由，得到，又，得到，证明， ，得到，得出，从而，从而得到． 【详解】解：（1）选择小喆同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则， ， ∴， 即． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 选择小刚同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交延长线于，则， ∴， ， ． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则， ∴， ∴，即． ， ． 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 方法二：过作交的延长线于， ， ，， ， ． 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． （3）． 在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则． ， ． ，， ． ，． ， ∴平分， ． ∵，， ， ∴． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即． ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，同角或等角的补角相等，平行线的判定及性质，读懂题意，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式10-2】．把两个含有角的直角三角板和如图放置，点D在上，连接，，的延长线交于点F． (1)图中是否有全等三角形？如果有，请指出并加以证明． (2)试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1)有，，证明见解析 (2)，，理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：图中有全等三角形，证明如下： 由题意得，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 在和中 ∴； （2）解：，，理由如下： ∵， ∴，， ∴点A，C，E在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式10-3】．综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）在线段上截取，使得，连接，同理可证明，则，证明，得到，则，即可证明； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1），理由如下： ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）如图，在线段上截取，使得，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    （3）如图，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 例11．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 【变式11-1】．【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 【答案】(1)； (2)①证明见解析  ② 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由可证明，可得，即可求解 （2）①由可证，可得，由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，，由面积关系可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 由． 故答案为：；． （2）解：①作交直线于E，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ②作交直线于E，则， 由①得，，， ，，， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 【变式11-2】．数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1）9；（2），证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等、折叠问题 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证． 【详解】解：（1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．如图，在四边形中，，，为对角线，且．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握等边对等角与平行线的性质是解决本题的关键． 由，可得，再根据，可得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 4．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质．理解三角形内角和等于和等腰三角形的两个底角相等是解决此题的关键． 根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：该三角形底角的度数为． 故选：A． 5．如图，中，，垂直平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合三角形内角和性质得，再结合垂直平分，则，故，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 设，根据得，根据得，再根据得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ， 即． 故选：． 7．如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】由同角的余角相等，结合已知可证，可得，从而可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵和是的高， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余． 8．如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题4共20分） 9．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 【答案】6 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 10．若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 11．如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵为边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 12．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， 为上一点，连接并延长交于点，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【答案】2或3 【知识点】全等三角形综合问题、等边对等角 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 三、解答题(每小题8分，共56分) 14．△ABC如图所示 (1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线即可； （2）利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，再根据平行线的性质得到∠EDB＝∠ABD，则∠EDB＝∠EBD，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，BD为所作； （2）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DEAB， ∴∠EDB＝∠ABD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质． 15．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 【答案】 （1）它的另外两个角是和； （2）它的另外两边长是和，或和． 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是分类讨论． （1）由已知角的范围确定顶角，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，计算即可． （2）分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的周长，计算另外两条边，用三角形三边之间的关系检验即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为， ∴两个底角的度数为， 答：它的另外两个角是和． （2）等腰三角形的一边长是，周长是， 若等腰三角形的腰长为，则另一条腰长为，底边长为， 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 检验：，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意；，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意． 答：它的另外两边长是和，或和． 16．在中，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与相交于点． (1)如图①，过点作，交于点．求证：； (2)如图②，过点作于点，在点从点向点（点不与点重合）移动的过程中，线段与的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段与的长度和；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不变，4 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，且，运用角角边即可求证； （2）根据题意得到，，由此得到，即可求解． 【详解】（1）证明∶ ， ， ， ， ， ， 根据题意，可得， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点作交于点， 由（1）可知， 又， ∴， ∴， ∴线段与的长度和保持不变，． 17．如图，是的平分线，分别是和的高，垂足为E、F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，度角的直角三角形，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，即可作答． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵分别是和的高， ∴ ∵是的角平分线，， ∴， （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． (1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； (2)请求出甲图中各角的度数． 【答案】(1)丙图中除外的所有等腰三角形： (2)， 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的特征，可作出判断； （2）由等腰三角形的性质，可得，由折叠，得，，则，再在中利用三角形内角和定理列方程，求出的度数，即可解决问题． 【详解】（1）解：丙图中除外的所有等腰三角形：； （2）解：∵， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故甲图中各角的度数分别为． 19．如图，和是等腰三角形，，，，在上截取，连接，，延长交于点P． (1)吗？请说明理由； (2)试说明平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再证明，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，再证明，结合等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴为的平分线，即：平分． 20．在中，，，D是的中点，交于点G． (1)如图①，E为线段上任意一点，点F在线段上，且，连接与，过点F作，交直线于点H． ①试说明； ②判断与的数量关系并加以证明． (2)若E为线段的延长线上任意一点，点F在射线上，（1）中的其他条件不变，借助图②画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）②中得出的结论是否发生改变，请直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)画图见详解，，不变， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了全等三角形的证明以及利用已知画出图形，熟练掌握全等三角形的判定以及利用已知条件画出几何图形是考查重点． （1）①根据已知首先得出，进而求出，得出； ②利用已知首先得出与，再利用得出，进而得出； （2）根据题意画出图形，再利用②中方法即可得出． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又是中点， ∴， ∴， ②由①知， 又 ∵， ∴， 即， 由①， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又中，， ∴， 在和中 ， ， ． （2）解：如图所示，不变，，． ， 证明：∵， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 又是中点， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中 ， ， ． B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 七大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 15.3.1等腰三角形（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 等腰三角形边角性质 1 .等腰三角形 定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 2.等腰三角形边角性质 等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. 要点诠释： 分类讨论 ：涉及边长或角度计算时，需明确腰与底，顶角与底角，避免漏解。 题型1 利用等边对等角求值 例1．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，点在的边上，点在内部，，，．给出下列结论：；；，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．在中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-3】．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，，则 ． 题型2利用等边对等角证明 例2．如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 【变式2-1】．如图，在中，，点，在上，．猜想与相等吗？并说明理由． 【变式2-2】．如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-3】．如图，，，，证明． 知识点2：等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 要点诠释： 在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型3利用“三线合一”求值 例3．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 【变式3-1】．已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．72 【变式3-2】．已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 (1)找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． (2)若，且，求的面积． 【变式3-3】．如图，在中，已知，和的平分线相交于点D，．求和的度数． 题型4利用“三线合一”证明 例4．已知，如图，，，，．求证：． 【变式4-1】如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 【变式4-2】．如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，连接．请直接写出图2中四对全等的三角形． 【变式4-3】．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点3 等腰三角形的判定 判定方法 （1）等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形是等腰三角形． （2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 要点诠释： ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 题型5利用等角对等边求值 例5．如图，在和中，，，与相交于点O，连接．求证：点O在线段的垂直平分线上． 【变式5-1】．如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． (1)求证：； (2)若，， 求和的面积之比． 【变式5-2】．如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5-3】．平面直角坐标系中，点坐标为，分别是轴、轴正半轴上一点，过点作轴，，点在第一象限，，连接交轴于点，，连接． (1)请通过计算说明； (2)求证； (3)请直接写出的长为_________． 题型6利用等角对等边证明 例6．已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【变式6-1】．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？． 【变式6-2】．如图，，．求证：． 【变式6-3】．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 知识点4 作一个等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 要点诠释： 在作图过程中明确腰、底、顶角等术语，结合对称折叠操作体会“两底角相等”的性质。 半径选择 ：作弧时半径需大于底边一半，避免两弧无交点。 作图验证 ：完成作图后，可用量角器或折叠验证两腰是否相等，底角是否相等。 题型7 利用等角对等边作图 例7．已知线段a，h（图），用直尺和圆规作等腰三角形，使底边，底边边上的高线长为h. 【答案】解：作法：如图. 1.作线段. 2.作线段的垂直平分线l，交于点D. 3.在直线l上截取，连结. 就是所求作的等腰三角形. 【解析】【分析】作线段BC=a，再作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D，在直线l上截取DA=h，连接AB、AC，△ABC就是所求的三角形. 【变式7-1】如图所示，已知∠O及边上两点A和B，用直尺和圆规在∠O的角平分线上求作点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.（不写作法，保留作图痕迹） 【变式7-2】．如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）． (1)在图①中画出折痕所在的直线．直线与分别相交于点，连结（尺规作图，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，证明：是等腰三角形． 【变式7-3】．如图，在中，，是三角形的高，用尺规作图的方法作出射线交于点E，交于点O． (1)判断用尺规作出的是 ； (2)求证：． 题型8确定等腰三角形个数 例8．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式8-1】．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-2】．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【变式8-3】．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 题型9 等腰三角形的性质判定综合 例9．如图，在等腰中，，是的角平分线，，垂足为E． (1)试说明； (2)线段与有什么数量关系？请说明理由． 【变式9-1】．【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【变式9-2】．（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【变式9-3】．（问题）如图①，点是的角平分线上一点，连接，若与互补，则线段与有什么数量关系？ （探究） (1)如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_________． (2)若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由． (3)如图③，在中，，，平分，求证：． 题型10等腰三角形与全等三角形综合 例10．将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它构建出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC． (1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)DC与BE有怎样的关系？请说明理由． 【变式10-1】．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】 （2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 【变式10-2】．把两个含有角的直角三角板和如图放置，点D在上，连接，，的延长线交于点F． (1)图中是否有全等三角形？如果有，请指出并加以证明． (2)试探究与的关系，并说明理由． 【变式10-3】．综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 例11．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【变式11-1】．【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 【变式11-2】．数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，为对角线，且．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 3．如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 5．如图，中，，垂直平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（每小题4共20分） 9．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 10．若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 11．如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ． 12．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 13．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 三、解答题(每小题8分，共56分) 14．△ABC如图所示 (1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE． 15．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 16．在中，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与相交于点． (1)如图①，过点作，交于点．求证：； (2)如图②，过点作于点，在点从点向点（点不与点重合）移动的过程中，线段与的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段与的长度和；若改变，请说明理由． 17．如图，是的平分线，分别是和的高，垂足为E、F． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． (1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； (2)请求出甲图中各角的度数． 19．如图，和是等腰三角形，，，，在上截取，连接，，延长交于点P． (1)吗？请说明理由； (2)试说明平分． 20．在中，，，D是的中点，交于点G． (1)如图①，E为线段上任意一点，点F在线段上，且，连接与，过点F作，交直线于点H． ①试说明； ②判断与的数量关系并加以证明． (2)若E为线段的延长线上任意一点，点F在射线上，（1）中的其他条件不变，借助图②画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）②中得出的结论是否发生改变，请直接写出结论，不必证明． B 抓核心 二大题型提升练 A 夯基础 七大题型提分练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $