福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期数学周末练习3

2024级厦外高一上学期数学周末练习3❤ 姓名：___________班级：___________座号：___________ 一、单选题(共40分) 1．已知函数与的定义如图所示，则方程的解集是（    ） A． B． C． D． 2．设偶函数定义域为R，当时，是减函数，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．设函数，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(共20分) 9．下列有关命题的说法正确的有（    ） A．的增区间为 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若集合中只有两个子集，则 D．对于命题: 存在， 使得， 则: 任意， 均有 10．下列说法正确的是（       ） A．若定义域为，则定义域为 B．表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 11．已知函数以下结论正确的是（    ） A．在区间上是增函数 B． C．若函数在上有6个零点，则 D．若方程恰有3个实根，则 12．已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D． 三、填空题(共40分) 13．函数的单调递增区间为__________． 14．已知的定义域为[0，3]，则的定义域是__________． 15．已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是_______． 16．对任意，函数，则的最小值是_______． 17.已知p：，：对于任意的，恒成立，成立是成立的______________． 18.已知定义在上的函数为增函数，且，则等于_______． 19.有下列五个命题:①函数是偶函数;②函数的值域为; ③己知集合,,若,则a的取值集合为; ④关于x的二次方程的一个根大于1,一个根小于1,则实数m的取值范围是; ⑤若的定义域为R,且在上是增函数,,且,则与的大小关系是．你认为正确命题的序号为:______． 20.定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，如的长度，设，其中表示不超过的最大整数，且，若用表示不等式的解集区间的长度，则当时，___________. 四、解答题(共50分) 21．已知函数，函数为R上的奇函数，且. (1)求的解析式；(2)判断在区间上的单调性，并用定义给予证明； (3)若的定义域为时，求关于x的不等式的解集. 22．已知函数（）. （1）若在区间上是单调减函数，求m的取值范围； （2）若方程在区间上有解，求m的取值范围； （3）设，若对任意的正实数m，总存在，使得，求实数k的取值范围. 23．已知是定义在R上的函数，且，当时，， (1)求函数的解析式； (2)当时，，当时，在R上单调递减，求m的取值范围； (3)是否存在正实数，当时，且的值域为，若存在，求出，若不存在，说明理由． 24． 定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，． (1) 求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】利用f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，g（2）=2，g（3）=1，g（1）=3，即可得出方程的解集． 【详解】：∵f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1， f（g（1））=2，f（g（2））=2，g（2））=3， ∴只有f（g（1））=2满足， 因此方程的解集是{1}． 故选A． 【点睛】本题考查了函数的值的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．C 【分析】依据偶函数性质及函数单调性即可对，，进行大小比较. 【详解】函数为偶函数，则， 当时，是减函数，又， 则，则 故选：C 3．A 【分析】首先根据题意得到为奇函数，排除C，D，再根据，排除B，即可得到答案. 【详解】，定义域为， ， 所以函数为奇函数，排除C，D． 因为，排除B， 故选：A 4．B 【分析】利用函数的奇偶性求出，得到函数的解析式，根据解析式求函数值即可. 【详解】由已知可得，则．因为是奇函数，所以，因为，解得，所以，所以. 故选：B． 5．D 【分析】作出函数和的大致图象，如图，联立直线和抛物线方程求出点A、B的横坐标，对m取、、、情况分类讨论，利用数形结合的数学思想即可得出结果. 【详解】如图，作出函数和的大致图象. ，得，解得，， 注意到点A是二次函数图象的最低点， 所以若，则当时，单调递减，不符合题意； 当时符合题意； 当时，则，在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意； 当时，符合题意. 所以m的取值范围为：或. 故选：D 6．A 【解析】根据，当，时，总有，转化为，当，时，总有，令，则在上递增，再根据，得到在上是偶函数，将，转化为求解. 【详解】令， 因为，当时，总有， 即，当时，总有， 即，当时，总有， 所以在上递增， 又因为， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以即， 解得， 所以实数的取值范围为 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解. 7．B 【分析】将已知函数整理得，令，由二次函数的性质求得，将不等式等价于，求解即可. 【详解】解：由已知得， 令，因为，所以，所以， 所以，当时，，当时，，即， 所以对任意，， 所以对任意，都有，等价于， 即，解得或，所以实数m的取值范围是， 故选：B. 8．C 【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出的取值范围． 【详解】解：显然当时，，不满足条件； 当时，易知，当时，，于是， 而由，可得，即，所以也不满足条件， 当时，函数， 因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方， 如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方， 只要即可，即， 化简可得，解得， 所以的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故选：C. 9．ABD 【分析】求出函数的增区间判断A；由充分条件、必要条件的定义判断B；由方程只有1个根求出k判断C；由存在量词命题的否定判断D作答. 【详解】对于A，函数中，由得， 又函数在上递增，而在上递增，因此在上递增，A正确； 对于B，当时，成立，而当时，或， 即“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，因集合中只有两个子集，则集合A含有1个元素， 即方程只有1个根，则或，解得，C不正确； 对于D，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，则: 任意， 均有，D正确. 故选：ABD 10．ACD 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】解：对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得， 即的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，， ，化简得， 两式相加得，解得，故D正确． 故选：ACD． 11．BC 【分析】A选项：根据解析式画出函数图象即可判断单调性；B选项：根据的解析式代入即可求函数值；C选项：根据图象的对称性即可求；D选项：把方程的根的个数转化成函数和图象交点的个数，再根据图象求解即可. 【详解】 的图象如上图所示， A选项：由图可知在区间上不单调，故A错； B选项：，，所以，故B正确； C选项：在上有六个零点，即与在有六个交点，如图所示，和关于轴对称，所以，和关于对称，所以，所以 ，故C正确； D选项：方程有3个实数根，即的图象和的图象有3个交点，当时，由图可知与有两个交点，此时要想有3个交点，只需要与的图象有一个交点即可，即相切，由题可知的解析式为，联立，得，则，所以或5(舍去)，所以D错. 故选：BC. 12．BC 【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，即可判断与两者的大小，从而判断选项A，选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定与的大小，从而确定函数的单调性，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断. 【详解】由已知，，， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 因为，所以在上单调递增，故选项A错误； 因为，，所以， 所以， 即，又因为， 所以在上单调递减，选项B正确； 因为时，恒成立， 所以令，代入上式得，即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC. 13． 【解析】先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】因为或 所以函数的定义域为 由在上单减，在单增 由复合函数单调性质得函数在单增 故答案为： 【点睛】复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题 14. 15． 【分析】将分为 三种情况讨论：当时， 满足条件；当时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当时，只需二次函数的即可，解出的取值范围，综上得的取值范围. 【详解】解：当时，，值域是[0，+∞），满足条件； 令 ， 当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件； 当m＞0时，的图象开口向上，只需的， 即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0， ∴，又 ，所以 综上，， ∴实数m的取值范围是：， 故答案为：. 16．2 【分析】分别作出三个函数的图像，利用数形结合即得. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出，，的图象， 则的图象如图中实线部分所示． ②④⑤ 【分析】逐项分析判断正误即可 【详解】①定义域为,不关于原点对称,错误 ②函数的值域为,正确 ③若,符合题意,错误 ④关于的一元二次方程的一个根大于1,一个根小于1等价于,即,即 即,即,正确 ⑤因为,所以,所以,正确. 故答案为: ②④⑤ 由，可得， 由图可得，． 故答案为：2． 17． 充分不必要条件 18. 19.②④⑤ 【分析】逐项分析判断正误即可 【详解】①定义域为,不关于原点对称,错误 ②函数的值域为,正确 ③若,符合题意,错误 ④关于的一元二次方程的一个根大于1,一个根小于1等价于,即,即 即,即,正确 ⑤因为,所以,所以,正确. 故答案为: ②④⑤ 20. 【分析】由所给的定义可得的解析式，分区间求出不等式的解集，进而求出不等式的解集区间长度． 【详解】解：因为表示不超过的最大整数，所以，即， 又， 所以等价于，即， ①当，即时，不等式化为，即不成立； ②当，即时，恒成立； ③当，即时，不等式化为恒成立， 所以不等式在时的解集为，所以解集的区间长度． 故答案为：． 21.(1)； (2)单调递增.证明见解析； (3) 【分析】（1）列方程组解得参数a、b，即可求得的解析式； （2）以函数单调性定义去证明即可； （3）依据奇函数在上单调递增，把不等式转化为整式不等式即可解决. (1) 由题意可知，即，解之得， 则，经检验，符合题意. (2) 在区间上单调递增. 设任意，且， 则 由，且，可得 则，即 故在区间上单调递增. (3) 不等式可化为 等价于，解之得 故不等式的解集为 22．(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据函数是奇函数以及大于零时的解析式，即可容易求得结果； （2）根据（1）中所求，结合的单调性，列出不等关系，即可求得参数范围； （3）根据的单调性，结合是方程的两个正根，求解即可. (1) 由题意，任取，则，故有， 因为是定义在R上的函数，且，即函数是定义在R上的奇函数， 时，，又时，，即， 所以． (2) 当时，，在单调递减， 又当时，，且在R上单调递减， 所以，解得， 即m的取值范围为. (3) 当时，， 若存在这样的正数a,b，则当，故， 在内单调递减， 所以是方程的两个正根， ， ， 故存在正数满足题意. 23．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）根据函数最高次项的系数，分类讨论与0的关系，并比较区间端点与对称轴的大小，进而求解； （2）若方程在区间上有解，在上有解，转化为函数值域，进而求解； （3）由，令，求导判断单调性，求出的值域，分类讨论找到的最大值，解不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）若在区间上是单调减函数， 当时，单调递减，符合题意； 当时，函数图象对称轴，即； 当时，恒成立； 综上，m的取值范围是； （2）若方程在区间上有解， 则有在上有解， 即在上有解， 当时，，， 所以， 所以m的取值范围是；’ （3）由， 令，恒成立， 在上我单调递增函数， 由，则， 因为总存在，使得， 所以，而， 若，即时，， 所以，所以； 若，即时，， 所以，所以； 综上，实数的范围为. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下： （1）对参数是否为0以及其符号进行讨论，结合一次函数的单调性以及二次函数图象对称轴与区间的关系，求得结果； （2）将零点问题转化为函数值域求解，不容易出错； （3）将任意存在问题转化为最值处理即可求得结果. 24．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明. （2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明. （3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理. （1） 令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数． （2） 设，则，所以． 因为，，，所以，即，所以． 又，所以，所以， 所以，即．所以在上是减函数． （3） 由（2）知函数在上是减函数， 所以当时，函数的最大值为， 所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，是关于a的一次函数，， 要使对任意恒成立， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $