福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期期中数学复习卷（一）

2024级厦外高一数学上学期期中复习卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．8 7．命题“，”，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 二、多选题 9．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（    ） A．2 B． C． D．1 10．设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 11．不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，设，，则下列说法正确的是（    ） A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为 C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为 答题卡：(友情提醒:1-8单选，9-12多选) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、填空题 13．函数的定义域为，的定义域为，则__________ 14．已知非负实数，满足，则的最小值为____________ 15．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围__________ 16．已知，，则的取值范围为_________ 四、解答题 17．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 18．已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19．已知，.，. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 20．设. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 21．（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 22．2020年初，为降低疫情影响，某厂家拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 23(附加题)．对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立. （1）试给出这个常数的值（不需要证明）； （2）在（1）所得结论的条件下证明命题. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：B. 2．B 【分析】由特称命题的否定可直接得到结果. 【详解】命题，则的否定为：. 故选：B 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 3．C 【分析】通过对集合的化简即可判定出集合关系，得到结果. 【详解】因为集合， 集合， 因为时，成立， 所以. 故选：C. 4．A 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．B 【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项； 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 【详解】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 6．C 【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】的解集为，则的两根为，， ∴，∴，，则，即， ，当且仅当时取“=”， 故选：C. 7．D 【分析】根据命题“，”为假命题，得到“，”为真命题，从而得到，再根据集合间的包含关系判断即可. 【详解】若命题“，”为假命题，则“，”为真命题，所以，，设集合，选项中a的范围构成集合，则，所以选D. 故选：D. 8．C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 9．AC 【解析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可． 【详解】解：由题意得，或， 若，即， 或， 检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去． 若，即， 或， 经验证或为满足条件的实数． 故选：AC． 【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题． 10．CD 【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果. 【详解】集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合. 故选：CD. 11．ABC 【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可. 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以，且， 所以所以，，， 故AC正确，D错误． 因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下， 所以当时，，故B正确． 故选：ABC． 12．BC 【解析】令，得，，利用的情况即可说明. 【详解】令， ， ，当且仅当，即时等号成立，， 故M有最大值，故B正确， 没有最大值，故M没有最小值，故A错误； 同理，故D错误，没有最小值，故C正确. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是变换形式，将转化为关于的式子求解. 13． 【分析】根据解析式，先分别求出定义域，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为，所以，解得，则； 又，所以，解得，则， 因此. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，考查求具体函数的定义域，属于基础题型. 14． 【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答. 【详解】非负实数，满足，有， 则 ，当且仅当，即时取“=”， 由，得， 所以当时，的最小值为. 故答案为： 15．或 【分析】令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以 令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为 故答案为： 16． 【分析】令求出m、n，再应用不等式的性质求的范围. 【详解】令，则， 所以，可得，故， 而，故. 故答案为： 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案. （2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围. （1） 当时，集合，或， ． （2） 若“”是“”的必要条件，则， ①当时，； ②，则且，. 综上所述，或． 18．（1）；（2） 【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围； （2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以或． 又且， 所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）若（补集思想），则． 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，得． 综上，知时，， 所以时，实数的取值范围是． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题，则，解之即可； （2）分别求出，是真命题时，的范围，再分是真命题，是假命题时和是假命题，是真命题时，两种情况讨论，即可得出答案. （1） 解：由，， 若为真命题， 则，解得或， 所以的取值范围为； （2） 解：若为真命题时， 则对恒成立， 所以， 若，一个是真命题，一个是假命题， 当是真命题，是假命题时， 则或，解得， 当是假命题，是真命题时， 则，解得， 综上所述. 20．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）不等式转化为对一切实数成立，列不等式即可求解； （2）不等式转化为，对a进行分类讨论求解即可. （1） 由题意可得对一切实数成立， 当时，不满足题意； 当时，得. 所以实数a的取值范围为. （2） 由题意可得， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为， 当时，， 当时，， ①当，解集， ②当，解集为或， ③当，解集为或. 综上所述， 当，不等式的解集为或， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据作差法证明即可； （2）由于，故，再结合（1）的结论易证. 【详解】证明：（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 22．(1) (2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元 【分析】（1）根据题意列方程即可. （2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. （1） 由题意知，当时，（万件）， 则，解得，∴． 所以每件产品的销售价格为（元）， ∴2020年的利润． （2） ∵当时，， ∴， 当且仅当即时等号成立． ∴， 即万元时，（万元）． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 23．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令可得，，分析即可得的值； （2）由分析法的思路：先证明，再类比可以证明，综合即可得证明； 【详解】解：（1）根据题意，由于对任意正数，恒成立， 令得：， 故； （2）先证明. ∵，，要证上式，只要证， 即证，即证，这显然成立. ∴. 再证明. ∵，，要证上式，只要证， 即证，即证，这显然成立. ∴. 【点睛】考查用分析法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，找出的值，是解题的突破口，属于中档题． 答案第10页，共13页 答案第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $