第6讲 用空间向量研究距离、夹角问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量在距离与夹角问题中的应用，系统构建点到直线、点到平面的距离公式及其求解步骤，清晰梳理异面直线所成角、线面角、二面角的向量法定义与计算逻辑，前后知识环环相扣，形成从基础概念到综合运用的学习支架。 资料设计突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养融合，如例题中通过几何直观识别空间结构，用向量运算推导角度关系，再以精确公式表达结果，体现数学建模与逻辑推理能力。课中教师可借助典型例题引导学生主动探究，课后学生可通过变式训练查漏补缺，强化对空间观念的理解和运算能力的提升，真正实现学以致用。

第6讲用空间向量研究距离、夹角问题 知识再现 一.距离问题 1.,点到直线距离 (),点P到直线1的距离：已知直线1的单位方向向量为⑦，A是直线1上的定点，P是直线1 外一点，设向量在直线1上的投影向量为=三，则点P到直线1的距离为 √2-(a.)如图. A (②)，点P到平面x的距离：设平面x的法向量为万，A是平面x内的定点，P是平面外一点，则 AP ,点P到平面的距离为 (如图) 2.向量法求，点到直线距离的步骤： ()根据图形求出直线的单位方向向量口， (②)在直线上任取一点M.计算，点M与直线外的点N的方向向量M )垂线段长度d=VM-(M.) 3.求点到平面的距离的常用方法 (I)作垂线：过P点作平面的垂线，垂足为Q,把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ 的长度就是，点P到平面a的距离. (2)转化法：若点P所在的直线1平行于平面a,则转化为直线1上某一个，点到平面α的距离 来求 (③)等体积法 (④向量法：设平面a的一个法向量为n,A是a内任意，点，则点P到a的距离为 PA. d= 网 4.直线到平面距离，两平行平面间的距离都转化为点到平面的距离。 第1页共20页 二.夹角问题 1.异面直线所成角 若n1,n2分别为直线l,l2的方向向量，0为直线l,12的夹角，则 cos0 cos <n,n 1n17n2 求两条异面直线所成角的两个关注，点 ①余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能 为钝角 ②范国：异面直线所成角的范周是0，，故两直线方向向量夫角的余孩值为负时，应取其 绝对值. 2.直线与平面所成角 (1)、夹角定义：设1是直线I的方向向量，n,是平面0的法向量，直线与平面的夹角为日.则 sin0= (1)、求直线与平面所成角的两个关注点 ①利用公式所求出的值为直线与平面夹角的正弦值，若题目要求余弦值，需转化。 ②范周：直线与平面所成角的范围是(0，]，故所求余孩值为负时，应取其绝对值。 3.平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二 面角称为这两个平面的夹角 若n1,n2分别为平面a,B的法向量，0为平面0，阝的夹角，则 cos0 cos <n,n 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝 角来解决。 题型一：求，点到直线的距离 例1.已知直线1过点A1,1,1,且方向向量为m=(1,0,-1,则点P(1,-1,-到1的距离为() 第2页共20页 A.2W2 B.6 C.5 D.√2 例2.空间中有三点PL0.0,ML,2.01,N0l》, 则，点P到直线MN的距离为() B. C.2W2 D.2 变式训练 1已知正方体ABCD-A,B,C,D,1的棱长为2，F是棱AD的中点，若点P在线段CD上运动， 则，点P到直线BF的距离的最小值为() A.⑤ 3 B.25 C.25 D.4V5 3 5 5 第3页共20页 2.已知长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=AD=2AA=2,圆E内切上底面正方形A1B,C,D1 ，F为圆E上的动点 (I)求，点D到直线AE的距离； (2)求AF的取值范围. D C A B ; D 分 题型二：求，点到平面的距离 例3.已知平面0a的一个法向量i=（-2,-2,1，,点A-1,3,0)在平面a内，则，点P(-2,1,4)到 平面α的距离为() A.10 B.3 c.9 D 第4页共20页 例4.已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2，E、F分别为上底面A,BC,D,和侧面CDD,C,的 中心，则点D到平面AEF的距离为() A. 2W11 B. √1 C.vi 11 11 D.4 4 11 A B 、C A 22---- 变式训练 1.如图，在三棱维P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠ABC=90°，点D,E,N分别为PA,PC,BC的 中点，M是线段AD的中，点，PA=AC=2AB=4,则直线MN到平面BDE的距离为（) A.3 4 1 B.7 C. 5 D.21 1 第5页共20页 2.在边长为1的正方体ABCD-A,BC,D1中，平面AB,C与平面A,DC,之间的距离为（) A.3 B.1 C.② 3 2 D.号5 第6页共20页 题型三：利用空间向量求线线角 例5在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AP=2,D,E分别为 PCBC的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为() A.3 B.② c.3 D.② 3 3 6 6 第7页共20页 例6.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长为2的等边三角形，AC=BC=√2，若三棱 绿P-ABC的体积等于5时，并面直线PA与BC所成角的余孩值为() 3 4.3 B.3 C.v D.② 3 4 4 3 例7.如图，在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,LBAD=I20°， PA=AB,点M是BC的中，点，，点N是PD上不与端，点重合的动，点，则异面直线AM与CN所 成角的正切值最小为() A. B.3 2 D.3 3 C.6 6 9 P B M 第8页共20页 变式训练 1.正四面体ABCD中，M、N分别为边BC、AB的中，点，则异面直线DM、CN所成角的 余弦值为一· 2.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E是棱CC1的中，点，AF=入AD,若 并面直线D,B和A,F所成角的余弦值为3 ,则异面直线A,F与BE所成角9的余弦值为() 10 A. √2 B. √2 10 C.5 10 D.-72 10 10 D A ! D 第9页共20页 3.如图，在三棱维P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.，点D、E、N分别为棱PA、 PC、BC的中，点，M是线段AD的中，点，PA=AC=4,AB=2. (I)求证：MN∥平面BDE; (回已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余孩值为万 ,求线段AH的长 A 第10页共20页 第6讲 用空间向量研究距离、夹角问题 知识再现 一．距离问题 1.点到直线距离 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M.计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)作垂线：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 4.直线到平面距离，两平行平面间的距离都转化为点到平面的距离。 二．夹角问题 1.异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 求两条异面直线所成角的两个关注点 ①余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． ②范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 2.直线与平面所成角 （1）、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． （1）、求直线与平面所成角的两个关注点 ①利用公式所求出的值为直线与平面夹角的正弦值，若题目要求余弦值，需转化。 ②范围：直线与平面所成角的范围是，故所求余弦值为负时，应取其绝对值． 3.平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 题型一：求点到直线的距离 例1.已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 解析：点，点. 又直线的方向向量为 所以点到的距离.故选：B. 例2．空间中有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 解：，则，， 则，所以点到直线的距离为.故选：A. 变式训练 1.已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 解析：在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则，设点， 则点到直线的距离 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.故选：D. 2.已知长方体中，，圆内切上底面正方形， 为圆上的动点． (1)求点到直线的距离； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 解析：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，取， 所以点到直线的距离为. （2）因为平面，， 所以，所以△为直角三角形， 而， 所以，即. 题型二：求点到平面的距离 例3.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 解：由题得，所以到平面的距离为， 故选：C. 例4.已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ）    A． B． C． D． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系    ，，，，，， 设平面的法向量为，，令，得 则点到平面的距离为.故选：A 变式训练 1.如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 解析：易知，，两两垂直，则以为坐标原点，，，的放向分别为轴，轴，轴正方向，建立如空间直角坐标系. 由题意，得 所以.设为平面的法向量， 则令，得. 又，所以，且平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 设为，因为，所以.故选：D 2.在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故，显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离．故选：A 题型三：利用空间向量求线线角 例5.在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    则，， 设异面直线与所成角的大小为，则.故选：C. 例6.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，若三棱锥的体积等于时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 解析：取的中点，连接，因为是边长为2的等边三角形， 所以且，又，所以， 由得，所以， 设到平面的距离为h，则三棱锥的体积等于，解得，而， 即为三棱锥的高，故平面，所以两两垂直，如图：    以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，所以，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C 例7.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 解析：如图所示，连接. 由题得，所以是等边三角形，所以. 因为平面，所以.以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则. 由题得, . 设. 所以. 设异面直线与所成角为， 则. 当时，最大为，此时最小，最小值为.故选：C 变式训练 2.正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为 ． 解析：为棱的中点，设， . 又为棱的中点, . 又的两两夹角都为，并设, . 又,, 异面直线与所成角的余弦值为.故答案为:. 2.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，=λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 解析：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）. 所以，又 所以，整理得，解得（舍去）, 所以，,所以，故cos θ=， 故选：B.    3．如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 解析：（1）证明：因为底面，， 如图，以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、、， ，， 设平面的法向量为，则，取，可得， 又因为，则，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）解：依题意，设，则， 所以，，， 由已知，得， 整理可得，解得或， 所以，线段的长为或. 题型四：利用空间向量求线面角 例8.直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 解析：设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是.故选：B 例9.在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：设正方体的棱长为4，直线与平面所成的角为， 以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，， ，所以， 由于，所以平面， 即平面的法向量为，， 所以.故选：B    变式训练 1.在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：由，得，又平面，平面，则， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， ，，，设平面的法向量为， 则，令，得，设直线与平面所成角为， 则，所以.故选：A 2.如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 解析：以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），   则，，， ，，，设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：C. 题型五：利用空间向量求二面角 例10.正方体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，可得， 则， 设是平面的一个法向量，则，即， 取，得，故， 又平面，故平面的一个法向量为， 所以，所以二面角的余弦值为.故选：D. 例11.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：因为平面，平面，所以，， 又是矩形，所以两两垂直， 故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    又，，，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为，而, 设平面的法向量为，则，取，则， ，所以30°， 所以锐二面角的大小为30°，故选：A. 例12.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，是的中点，在线段上，且. (1)求证： (2)求平面与平面所夹二面角余弦值. 解析：（1）连接四边形是正方形 平面平面 平面平面平面平面 . （2）由（1）知两两垂直如图， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 不妨设 则 平面平面的一个法向量为， 设， ， 设平面的法向量为，则，取，则 平面的一个法向量， 设平面与平面所夹二面角的平面角为 则 平面与平面所夹二面角余弦值为. 变式训练 1.如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面.    (1)证明：平面； (2)已知四边形是边长为2的菱形，且，求平面与平面所成角的正弦值. 解析：（1）在三棱柱中，由是的中点，得， 而平面平面，且平面平面平面， 所以平面. （2）因为四边形为菱形，，则为正三角形，连接，有， 而平面平面，平面平面，因此平面，两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系，    则，， 设平面的法向量，则，令，得， 显然平面的法向量，设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 2.如图，扇形的半径为，圆心角，点为上一点，平面且，点且，面．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值的大小． 解析：（1）证明：连接，设与相交于点，连接， 平面，在平面内，平面平面，， ，， 在中，由余弦定理可得，， ，又在中，， 由余弦定理可得，， ，故， 又平面，在平面内，， 又， 平面， 平面，平面；    （2）解：由（1）可知直线，，两两互相垂直，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则，可取； 设平面的一个法向量为，则，可取， ，平面与平面所成二面角的正弦值为． 题型六：空间角的探索性问题 例13.在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解析：（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 例14.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 解析：（1）取的中点,连接 ∵,∴是等腰三角形， ∵点为 的中点.∴., , ∵, 可得四边形是平行四边形，∴, 又∵平面平面，∴. 平面; （2）取中点为，连接,则有,因为所以 因为平面平面，交线为,平面，所以平面， 且平面，所以,且在等腰三角形中，， 所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 假设上存在一点，设 则 设平面的一个法向量为， 则，取则，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 即， 整理得，，解得或（舍去），故得到的长为. 例15.如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． (1)求证：面面； (2)若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 解析：（1）因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． （2）面面，面面， 故以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， 在平面内过D点作的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． ， ，，， 则平面的一个法向量， 设，则，， 设面的一个法向量为， ，即，令，得， 平面与平面夹角记为， 则，解得．所以. 变式训练 1.如图，在四棱锥中，，，，，，，过的平面分别交线段，于，. (1)求证： (2)若直线与平面所成角为，，，求平面和平面夹角的余弦值. 解析：（1） 由已知，∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，平面平面，∴，∴. 取中点，连接，∵，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴在中，，，，， ∴，即，又∵，∴， 又∵，，∴， ∵，平面，平面， ∴平面，又∵平面，∴， 即. （2）如图，取中点为，连接，∵，∴， 由第（1）问知平面， ∴以为原点，，所在直线为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由已知，，，，，设，（） 则， 易知平面的一个法向量为， ∵直线与平面所成角为， ∴，解得，∴， 又∵，，∴，分别为，中点，∴， ∴，，设平面的一个法向量为 由，得，令，则，， ∴平面的一个法向量为， 易知，平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， ∴平面和平面的夹角的余弦值为. 2．在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 解析：（1）因为四边形为菱形，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且. 理由如下： 取中点，连接，因为，所以， 又，所以为等边三角形，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 以为原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ， . 因为平面平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 假设上存在一点，使与平面所成角的正弦值为，设， 则，所以， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则，可取， 又，所以， 即，解得，此时； 因此上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $