第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（知识清单+易错+6必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 题型方法 题型一 用空间向量研究点线距 题型二 用空间向量研究点面距 题型三 用空间向量研究线面距、面面距 题型四 用空间向量研究线线角 题型五 用空间向量研究线面角 题型六 用空间向量研究二面角或面面角 知识清单 知识点01点到直线的距离 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 知识点02点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点03两异面直线所成的角 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 注意点： 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点04直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点05两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 易错分析 【易错点一】忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 【例1】设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为,若,则与所成的角为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角和线面角的关系求解即可. 【详解】∵, ∴与的法向量所在直线所成锐角为, ∴与所成的角为. 故选:C. 【举一反三】【变式1】（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案. 【详解】，因为向量夹角范围为， 故两向量夹角为，故两平面夹角为，即， 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ）    A．－ B． C．－ D． 【答案】B 【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可； 法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可. 【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一  取MN的中点G，连接BG，AG， 则G. 因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为，， 所以，， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为.    解法二  设平面AMN的法向量 由于， ， 则，即， 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量 . 所以 ， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 故选：B. 【变式3】（22-23高三·全国·课后作业）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小为 ． 【答案】或 【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果. 【详解】因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补且， 所以二面角的大小为或. 故答案为：或. 题型方法 【题型一】用空间向量研究点线距 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 解题技巧 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，，为坐标原点，向量，，计算： (1)求，； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出，，进而求出，； （2）求出夹角余弦值，进而求出夹角的正弦值，进而求出点B到直线的距离. 【详解】（1），， 则， 所以， 又，故. （2），， 则， 设求点B到直线的距离为，则. 【题型二】用空间向量研究点面距 【例2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 解题技巧 向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式即可. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】先求出平面的法向量为，再利用点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】因为，，，所以, 设平面的法向量为，则, 令，则，所以，由， 利用点到面的距离公式 故答案为: 【变式3】（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面BCD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】方法一：（1）由直三棱柱的性质结合题设易得，由，可得平面，进而得到，可得，进而求证即可； （2）设点到平面BCD的距离为d，利用等体积法，求解即可； 方法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证得，，进而求证即可； （2）利用空间向量求解即可. 【详解】（1）方法一：由直三棱柱的性质可知平面， 因为平面，所以，， 由题可知四边形为矩形，， 所以四边形为正方形，所以， 因为，，，且平面， 所以平面，又平面， 所以，因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面. 方法二：以A为原点，AB，AC，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 则，，， 所以， ， 所以，， 又因为，，平面，所以平面. （2）方法一：设点到平面BCD的距离为d， 易得，，， 则， 则， 所以， 则，， 由得，，解得， 所以点A到平面BCD的距离为. 方法二：由（1）得，，， 设平面BCD的一个法向量为，则，所以， 取，则，，所以， 设点A到平面BCD的距离为，则， 所以点A到平面BCD的距离为.    【题型三】用空间向量研究线面距、面面距 【例3】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.     【举一反三】【变式1】（24-25高二下·全国）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 【变式2】（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【分析】先证得平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面的距离. 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 【题型四】用空间向量研究线线角 【例4】（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面于点，证点为斜边的中点，且，建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 解题技巧 求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 【分析】首先将异面直线的方向向量运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案. 【详解】根据题意可知，. 所以. 因为，，，， 所以，. 所以. 根据勾股定理可得，， 所以异面直线所成角的余弦值为： . 【题型五】用空间向量研究线面角 【例5】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线与平面所成的角的正弦，进而可得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 解题技巧 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南·阶段练习）在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式及直线与平面夹角的向量公式求解即可． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为的中点，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 设，所以， 所以， 点M到平面的距离， 当时，即与点重合时，点M到平面的距离最大， 此时， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：D． 【变式2】（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由线面夹角公式即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，四棱柱的所有棱长都为2，AC交BD于点，且． (1)求证：平面ABCD； (2)若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由底面时菱形可得，利用边的关系可证，记得，再利用即可证平面ABCD； （2）根据题意，以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，写出点坐标，求得平面的一个法向量，再利用空间向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）由题意得四边形ABCD是边长为2的菱形，所以， 因为， 所以， 所以，即， 又， 所以平面ABCD. （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设直线AB与平面所成的角为， 则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 【题型六】用空间向量研究二面角或面面角 【例6】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二面角的向量求解公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设平面与平面的夹角为，则. 故选：D 解题技巧 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为，所以 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 5．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 6．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出，根据异面直线夹角公式即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，，得， 且，在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设异面直线AB与CD所成角为，则， 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故选：B. 二、填空题 7．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 8．（2025高三·全国·专题练习）已知棱长为1的正四面体，的中点为动点在线段上，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】 【分析】利用三正弦定理公式可求正切值的取值范围，或者利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围后可得正切值的取值范围. 【详解】法1：取的中点为，的中点为，的中心为， 则三点共线，连接，则， 由正三角形可得，同理， 而平面，故平面， 而平面，故，故为二面角的平面角， 因为，故，故 设二面角的平面角为，则. 设直线与平面所成的角为， 由三正弦定理得 又，所以，进而可得. 法2：取的中心为，的中点为，连接，，， 则三点共线，且， 故， 设，，则， 故， 设直线与平面所成角为，因为为平面的法向量， 所以，因为为正四面体，故， 故， ， 而， 故， 当时，； 当时，. 因为，故，故，故， 故， 综上，， 故答案为： 9．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点的坐标，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 三、解答题 11．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证； （2）设平面，可使得，且平面，可得平面的法向量，根据异面直线距离公式可得解. 【详解】（1）选取作为空间中的一组基底， 由题意可得：，， 且，， ， 则， 所以， 即直线直线. （2）由（1）得， 设平面，可使得，且平面， 设是平面的法向量， 则，且， 即, 令，则 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长. 由此可得：. 12．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线l为平面ABC与平面的交线，点P为交线l上的一动点． (1)证明：； (2)求点P到的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行的性质即可证明线线平行； （2）利用可得点P到的距离等于点到的距离，由图求出的各边长，即可求得； （3）依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）在正三棱柱中，因平面平面， 平面平面，平面平面， 故. （2）由（1）得到，点P为交线l上的一动点， 故点P到的距离等于点到的距离. 因，则， 即点P到的距离为. （3）分别以所在直线为轴，过点在平面内与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 则， 因， 设平面的法向量为， 则，可取 又， 设平面的法向量为， 则，可取. 因， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 13．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. （2）因为，，所以点坐标为. 那么，，.   设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得. 所以.   已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得.   1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 题型方法 题型一 用空间向量研究点线距 题型二 用空间向量研究点面距 题型三 用空间向量研究线面距、面面距 题型四 用空间向量研究线线角 题型五 用空间向量研究线面角 题型六 用空间向量研究二面角或面面角 知识清单 知识点01点到直线的距离 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 知识点02点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点03两异面直线所成的角 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 注意点： 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点04直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点05两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 易错分析 【易错点一】忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 【例1】设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为,若,则与所成的角为(   ) A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ）    A．－ B． C．－ D． 【变式3】（22-23高三·全国·课后作业）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小为 ． 题型方法 【题型一】用空间向量研究点线距 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 【变式3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，，为坐标原点，向量，，计算： (1)求，； (2)求点到直线的距离. 【题型二】用空间向量研究点面距 【例2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 【变式3】（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面BCD的距离. 【题型三】用空间向量研究线面距、面面距 【例3】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·全国）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【题型四】用空间向量研究线线角 【例4】（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【变式2】（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【变式3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【题型五】用空间向量研究线面角 【例5】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 解题技巧 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南·阶段练习）在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【变式3】（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，四棱柱的所有棱长都为2，AC交BD于点，且． (1)求证：平面ABCD； (2)若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【题型六】用空间向量研究二面角或面面角 【例6】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【变式3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 二、填空题 7．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知棱长为1的正四面体，的中点为动点在线段上，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 9．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 三、解答题 11．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 12．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线l为平面ABC与平面的交线，点P为交线l上的一动点． (1)证明：； (2)求点P到的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 13．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$