第6章 几何图形初步 同步练习 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

周测 1 几何图形 一、选择题(每小题3分，共18分) 主题情境 传统竹编 竹编工艺历史悠久，凝结着中华民族的智慧.请完成第1~3题： 1.如图是一种常见的“竹编斗笠”，用数学的眼光可将该“斗笠”近似地看成 () A. 球 B.圆柱 C.圆锥 D.棱柱 2.如图，竹编折扇作为传统手工艺品，因其独特的工艺和折叠后便于携带的特点深受人们喜爱.竹编折扇展开的过程运用的数学原理是 ( ) A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.面与面相交的地方是线 3.如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹编工艺品的形状最为近似的是 ( ) 4.如图所示的笔袋可近似看作一个直三棱柱，其展开图可能为 ( ) 5.下列四个几何体中，从正面和上面看到的平面图形相同的是 ( ) 6.(教材习题第11题改编)将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形可能是 ( ) 二、填空题(每小题3分，共12分) 7.如图是一个几何体表面的展开图，则这个几何体是 ， 8.下列是几种常见的几何体，按要求将其分类. (1)按柱体、锥体、球来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)按“有无曲面”来分，与其它三个不相同的是 . 9.从前面和从左面看一个四棱柱得到的形状图如图所示(单位：cm)，则其从上面看到的形状图的面积为 . 10.如图，方格纸上每个小正方形都完全相同，若要剪掉一个小正方形使阴影部分能折叠成一个正方体，则可以剪掉的小正方形有 .(填序号) 三、解答题(共30分) 11.(9分)如图，以下图形分别是从哪个方向看这个棱柱得的?请将结果填在相应的横线上. 12.(10分)一个无盖的包装盒展开后如图所示(单位：cm)，a，b分别是其长和高. (1)写出这个几何体的名称； (2)求这个几何体的体积. 13.(11分)一题多设问如图，是用6个完全相同的棱长为2 的小正方体搭成的几何体. (1)请在方格纸中分别画出它从前面看、从左面看、从上面看的形状； (2)求这个几何体的体积； (3)求这个几何体的表面积(包括底面积); (4)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从前面看和从左面看的形状不变，最多可添加几个小正方体? 周测 2 直线、射线、线段 一、选择题(每小题3分，共18分) 1.下列关于直线、射线和线段的表示正确的是 ( ) 2.射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上(如图)，才能射 A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.线段有两个端点 D.三点确定一条直线 3.如图，下列说法正确的是 ( ) A.点A 在直线l₂上 B.点 B 在直线l₁外 C.点B 在直线l₁上 D. 直线l₁与l₂交于点A 4. 如图,AC=BD,则AB 与 CD 之间的大小关系是 ( ) A. AB<CD B. AB=CD C. AB>CD D.无法确定 5.(教材练习第 4 题改编)如图，已知线段AB=3cm，按如下步骤完成尺规作图，则 CD的长是 ( ) ①作射线 BA,AB;②以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧，交射线 BA 于点 C；③以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交射线 AB 于点 D. A. 3cm B.6cm C. 9 cm D. 12 cm 6.(教材习题第10题改编)在同一平面内的4条直线，其交点个数最少和最多分别为 () A. 0,4 B. 0,6 C. 1,4 D. 1,6 二、填空题(每小题3分，共12分) 7.数轴上表示大于等于-3的部分可以看作 ，表示大于等于-3且小于等于 5的部分可以看作 .(填“直线”“线段”或“射线”) 8.(教材探究改编)小明的学校计划在操场举办一场安全知识讲座.如图，从教学楼到操场有①，②，③三条路可以走，则小明从教学楼到操场的最短路线是路线 ，其判断依据是 . 9. 日常生活情境高铁票如图，AD 是一段高铁行驶路线示意图，图中字母表示的4个点表示4个车站，高铁在这段路线上往返行车，需印制 种车票. 10. (教材习题第7题改编)已知A，B是数轴上的两点，AB=8，点 A 表示的数为2，则AB 的中点 C 表示的数为 不重合的射线 OA,OB,OC,OD时,可构成6个角，…，根据以上规律，若以点 O 为端点在点O 右侧任意作10条不重合的射线时，可构成角的个数是 . 周测 3 角 1. 下列选项中,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是 ( ) 2.如图，小明在纸片上画出∠AOC，然后将纸片沿 OB 折叠,射线 OA 的对应射线为 OA',则∠AOB 和∠BOC 的大小关系为 ( ) A. ∠AOB<∠BOC B. ∠AOB>∠BOC C. ∠AOB=∠BOC D.无法比较 3. 已知∠α=30.5°,∠β=30°5',则∠α与∠β的关系是 ( ) A. ∠α=∠β B. ∠α>∠β C.∠α<∠β D.以上都不对 4.将一副三角板按以下方式摆放，其中∠α与∠β一定互余的是 ( ) 5.(教材练习第 1 题改编)如图，∠α的度数为 ( ) A. 60° B. 90° C. 120° D.150° 6.定义：若从角的顶点出发的一条射线将角分为2∶3的两部分，则称这条射线为这个角的“胶着线”.例:如图,∠BOC:∠AOC=2∶3,则称射线 OC 为∠AOB 的“胶着线”.如果∠MPN=115°,PQ 是∠MPN 的“胶着线”，则∠MPQ的度数为 ( ) A. 23° B. 46° C. 69°或23° D. 69°或46° 二、填空题(每小题3分，共12分) 7. 已知∠A与∠B互补,若∠A=54°,则∠B 的度数为 °. 8.驯鹿每年入冬都会从北方向南方迁徙，迁徙过程中会有个别落单的情况.如图，从点O处观测到驯鹿群A位于北偏西50°的方向,落单驯鹿位于点 B 处,若∠AOB=142°,则落单驯鹿位于点 O 的南偏东 。方向上. 9. 如图,O 是直线 AB 上的一点,∠AOD =120°,∠AOC=90°,OE平分∠BOD,则图中∠COE 的大小是 . 10.如图，以点O为端点在点O右侧任意作2条不重合的射线 OA，OB 时，可构成1个角；以点O 为端点在点O 右侧任意作3条不重合的射线OA，OB，OC时，可构成3个角；以点O 为端点在点 O 右侧任意作4条 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共30分) 11.(教材习题第3题改编)(8分)计算： (2)90°-11°26'5". 12.(10分)(1)一个角的补角与余角的度数之和与它本身的 3 倍相等，求这个角的度数； (2)一个角的补角比它的余角的4倍少15°，求这个角的度数. 13. (12 分)已知:OD 平分∠AOC,∠BOC=90°,若∠AOB=α. (1)如图①,则∠BOD 的度数为 ;(用含有α的式子表示) (2)将图①中的∠BOC 绕顶点 O 按顺时针方向旋转至图②的位置，其他条件不变，试探究∠BOD 与α的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的∠BOC 绕顶点 O 按逆时针方向旋转至图③的位置，其他条件不变，写出∠BOD的度数.(用含有α的式子表示)，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 专题 线段中点的相关计算 方法 1 利用方程思想求线段长 1. 如图,C,D 是线段AB上两点,C 是线段AD的中点,AC : CB=2:3,若 BD=4,求 AB的长. 方法2 利用整体思想求线段长 2.如图,O是线段AB 上一点,C 是线段AO 的中点,D 是线段 BO 的中点,若AB=4,求线段 CD的长. 方法3 利用数形结合思想求线段长 3. 如图,已知AC-BC=m,点C在线段AB的延长线上，M，N分别是线段AC，BC 的中点，请根据已给的线段长m画出相应图形，并用含 m 的代数式表示线段 MN的长. 方法4 利用分类讨论思想求线段长 4. 已知线段AB=24,M 是AB 的中点,P 是直线AB 上一点,AP 的中点为N,若MN=3,求AP 的长. 二阶 综合训练 1.如图,D 是线段AB上一点,C 是线段AB 延长线上的点，已知 E 是 BC 的中点,BE=2,求线段 DE 的长. 2.如图,B 是线段 AC 上的点,O 是 AB 的中点,已知AB=6,BC=4,延长线段AC 至点E,使 CE=2BC,点 F 在直线 AC 上,OF= (1)根据题意，补全图形； (2)求线段 CF 的长. 3.如图，C是线段AB 上的一个动点，点C 以2cm /s的速度由点 A 到点 B 再到点 A,最后到达点A 时停止运动，D是线段BC 的中点.已知AB=20 cm,设点 C 的运动时间为t s. (1)求运动过程中线段AC 的长(用含 t的代数式表示)； (2)在运动过程中，设AC的中点为点 E，线段 DE 的长度发生变化吗?若不变，求DE的长；若发生变化，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 专题 角的平分线问题 教材原题改编练 教材原题 (教材习题第8题)如图，∠COD=35°,OC平分∠AOB,OD 平分∠AOC.求∠AOB的度数. 改编1 改变一个平分角为比例关系如图,OC 是∠AOB 的平分线,OD 是∠BOC内部一条射线,且∠COD:∠BOD=2∶3.已知∠AOB=110°,求∠COD 的度数. 改编2 增加一条射线，改变角平分线的位置如图,已知∠AOB=130°,射线 OC 在∠AOB内部,OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC.求∠MON的度数. 改编3 .不给定各角的相对位置 已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON的角度是多少? 综合训练 1.如图①，将一张纸的一角向上折叠，使角的顶点A 落在点A'处,BC 为折痕,∠ABC=40°. (1)求∠A'BD的度数; (2)如图②，如果将这张纸的另一角也向上折叠,使 BD 边与 BA'重合,折痕为 BE,求∠CBE的度数; (3)如图③，如果将这张纸的另一角也向上折叠,使BD处在 BC 与 A'B 之间 BD'的位置,若∠DBE=62°,求∠A'BD'的度数. 2.(中考新考法·阅读理解题)如图，在 的内部作一条射线OC，若该射线将∠AOB 分成的两个角中有一个角与∠AOB 互补，则定义该条射线为∠AOB的“分补线”，请回答下列问题. (1)已知 ，此时射线OC 是否为∠AOB 的“分补线”，请说明理由； (2)若OM平分∠AOB,且 OC 为∠AOB 的“分补线”. ①当OM与OC重合时，则 ②若∠AOM=2∠AOC,求∠AOB 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 周测 1 几何图形 1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. C【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A，B选项都不符合，且D 选项折叠后图案圆圈与五角星正好相对，不符合.所以能得到的图形是 C. 7.圆柱 8. (1)③④;②;①;(2)③ 9.20 cm² 【解析】根据从前面和从左面看四棱柱得到的形状图的相关数据可得，从上面看到的形状图是长为5cm ，宽为4cm的长方形，则从上面看到的形状图的面积为 10. ①②③ 【解析】剪去“①或②”后,展开图属于1-4-1型，能折叠成正方体；剪去“③”后，展开图属于2-3-1型，能折叠成正方体；剪去④后，展开图属于 2-4型，不能折叠成正方体，故①②③正确. 11.解：从上面看；从前面看；从左面看. (9分) 12. 解;(1)长方体; (4分) (2)b=15-10=5(cm), 由(1)可知，该几何体是长方体， 所以 答:这个几何体的体积为750 cm³. (10分) 13.解：(1)该几何体从前面看、从左面看、从上面看的形状如解图所示；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) (2)因为小正方体的棱长为2，所以一个小正方体的体积为2×2×2=8，由题图知该几何体由6个小正方体搭成，所以该几何体的体积为6×8=48；⋯⋯⋯⋯(6分) (3)该几何体的表面积为2×2×5×2+2×2×4×2+2×2×4×2=104; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (9分) (4)最多可以再添加4个小正方体.⋯(11分) 周测 2 直线、射线、线段 1. C 【解析】A 选项为射线AB,故错误;B 选项为线段AB,故错误;C 选项为直线 BA(或直线AB),故正确；D选项在表示直线、射线、线段时，应使用统一的字母，不能大小写混用，故错误. 2. B 3. B 4. B 【解析】因为AC=BD,所以AC+CB=BD+BC,即AB=CD. 5. D 【解析】因为AB=3c m,由题意可知AC=AB=3cm,BD=BC,因为BC=AB+AC=3+3=6(cm),所以BD=BC=6 cm,所以 CD=BC+BD =6+6=12(cm). 6. B【解析】在同一平面内，若4条直线都平行，则交点个数为0；若4条直线都不平行，其位置关系有3种，如解图，交点个数分别是1，4，6.综上可知，在同一平面内的4条直线，其交点个数最少是0,最多是6. 学科网（北京）股份有限公司 18 学科网（北京）股份有限公司 7.射线；线段 8.②，两点之间线段最短 9.12 【解析】图中线段有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6条，单程要6种车票，往返就是6×2=12种，即需印制12种车票. 10.6或-2 【解析】因为点 C 为线段 AB 的中点,所以 当点B在点A的右侧时，点C 表示的数为 当点 B 在点 A 的左侧时，点C 表示的数为 周测3 角 1. B【解析】∠O 无法表示一个角，故A 选项不符合题意；∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角，故B选项符合题意；∠O 无法表示一个角，故C，D选项不符合题意. 2. A 【解析】由折叠性质可知,∠AOB=∠A'OB,由图可知∠BOC>∠A'OB,所以∠AOB<∠BOC. 3. B 【解析】因为∠α=30.5°=30°30',∠β=30°5',所以∠α>∠β. 4. C 【解析】∠α=∠β,所以∠α与∠β不一定互余,故A 选项错误；∠α与∠β不互余，故B 选项错误；∠α与∠β互余,故 C 选项正确;∠α+∠β=180°,所以∠α与∠β互补，故 D 选项错误. 5. C【解析】由题图可得，此时分针指向12，时针指向4,因为钟面上每一个大格为360°÷ 12=30°,所以∠α的度数为 6. D 【解析】因为∠MPN=115°,PQ 是∠MPN 的“胶着线”，则由“胶着线”的定义可知有两种情况符合题意:①∠NPQ:∠MPQ=2:3,此时∠MPQ ②∠MPQ:∠NPQ=2:3,此时 所以∠MPQ 的度数为69°或46°. 7.126 【解析】因为∠A 与∠B 互补,所以∠B=180° 8.12 【解析】由题意可知 OA 与正北方向的夹角为50°，则OA 与正西方向的夹角为 因为∠AOB=142°,所以 OB 与正南方向的夹角为142°-40°-90°=12°,所以落单驯鹿位于点 O 的南偏东12°的方向上. 9. 60°【解析】因为∠AOD=120°,∠AOC=90°,所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∠COD=∠AOD-∠AOC=120°-90°=30°,∠BOD=180°-∠AOD = 180°-120°= 60°,因为 OE 平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE=30°,所以∠COE= 10.45 【解析】当以点O 为端点在点 O 右侧任意作2条不重合的射线时，可构成1个角；以点O 为端点在点 O 右侧任意作3条不重合的射线时，可构成3个角；以点 O 为端点在点 O 右侧任意作4条不重合的射线时，可构成6个角，…；根据以上规律，以点O 为端点在点 O 右侧任意作n条不重合的射线时，可构成角的个数是 故当n=10时, 11. 解:(1)原式=63°36'; (4分) (2)原式: =78°33'55". (4分) 12.解：(1)设这个角的度数为x，则这个角的补角为 ，这个角的余角为90°-x, 根据题意，得 解得x=54°，所以这个角的度数是54°； (5分) (2)设这个角的度数为x，则这个角的补角为180°-x,这个角的余角为990°-x, 根据题意，得 解得x=55°，所以这个角的度数是55°. (10分) 13. 解:(1)4 5 ^{\circ} - \frac{1}{2}\alpha ; (4分) 【解法提示】因为∠AOB=α,∠BOC=90°,所以∠AOC=90°+α,因为 OD 平分∠AOC,所以∠AOD 所以∠BOD=∠AOD- (2)结论: 理由:因为∠BOC=90°, 所以∠AOC=90°-α. 因为OD平分∠AOC, 所以 所以 (7分) (9分) 理由:因为∠AOB=α,∠BOC=90°,所以∠AOC=α-90°. 因为OD平分∠AOC, 所以 所以 α. (12分) 专题 线段中点的相关计算 一阶 方法分类练 1. 解:因为AC:CB=2:3, 所以设AC=2x,则CB=3x, 因为C 是线段AD的中点， 所以AC=CD=2x, 因为BD=CB-CD=4, 所以3x-2x=4,解得x=4, 所以AB=AC+CB=5x=20. 2.解:因为 C 是线段 AO 的中点,D 是线段 BO 的中点， 所以 所以 因为O是线段AB上一点， 所以OA+OB=AB, 所以 因为AB=4, 所以CD=2. 3.解：画出图形如解图所示， 因为点 C在线段AB的延长线上,AC-BC=m, 所以AB=m, 因为M,N分别是AC,BC的中点, 所以 所以 m2, 即线段MN的长为m². 学科网（北京）股份有限公司 4.解：因为M是AB的中点，所以 ①当点 N在点 M 左侧时，AN=AM-MN=12-3=9,因为 N是AP 的中点，所以AP=2AN=18;②当点N在点 M 右侧时，AN=AM+MN=12+3=15,因为N是AP 的中点，所以AP=2AN=30. 综上所述，AP的长为18或30. 二阶 综合训练 1. 解:因为BE=2,E是 BC的中点,所以BC=2BE=4. 因为AC:AB=5:3,设AC=5x,则AB=3x. 因为AC-AB=BC,即5x-3x=4, 解得x=2,所以AB=6, 所以 所以DE=BD+BE=4+2=6. 2.解：(1)若点 F 在点 O 的右侧，则补全图形如解图①; 若点 F 在点 O 的左侧，则补全图形如解图②； (2)因为O是AB的中点,AB=6, 所以AO=BO=3, 因为 BC=4,所以 CE=2BC=8, 所以 当 F在点O 的右侧时,CF=AC-AO-OF=3,当 F在点 O 的左侧时,CF=BC+BO+OF=11,综上所述，CF的长为3或11. 3. 解:(1)当动点 C 由 A 向 B 运动时,此时0≤t≤10,AC=2t; 当动点 C 由点 B 向点 A 运动时，此时10<t≤20, AC=40-2t; 综上所述， 因为 E为AC 的中点,D 为 BC 的中点;所以 CE= 所以 专题 角的平分线问题 教材原题改编练 教材原题 解:因为 OD平分∠AOC,∠COD=35°,所以∠AOC=2∠COD=70°,又因为OC平分∠AOB,所以∠AOB=2∠AOC=140°. 改编1 解:因为 OC是∠AOB 的平分线, 所以 因为∠COD:∠BOD=2:3, 所以可设∠COD=2x,∠BOD=3x. 因为∠COD+∠BOD=∠BOC, 所以2x+3x=55°,解得x=11°, 所以∠COD=2x=22°. 改编2 解:因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所以 所以 所以 因为∠AOB=130°,所以∠MON=65°. 改编3 解:因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,所以 如解图①，当OC在∠AOB的内部时，∠MON=∠BOM-∠BON=50°-30°=20°;如解图②,当OC在∠AOB 的外部时,∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.综上所述,∠MON的度数为20°或80°. 学科网（北京）股份有限公司 综合训练 1. 解:(1)由折叠的性质,得∠1=∠ABC=40°,所以 (2)由折叠的性质得 所以 所以∠CBE=90°; (3)由折叠性质可得∠ABC=∠A'BC,∠DBE=∠D'BE, 所以∠ABA'=2∠ABC,∠DBD'=2∠DBE, 又因为∠ABC=40°,∠DBE=62°, 所以∠ABA'=80°,∠DBD'=124°, 所以 2. 解:(1) 射线OC 是∠AOB 的“分补线”,理由如下: 因为∠AOB=150°,∠BOC=120°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°,因为. 所以射线OC为∠AOB 的“分补线”; (2)①120;【解法提示】因为 OM 平分∠AOB,所以 因为 OC为∠AOB 的“分补线”,OM 与OC 重合,所以 =180°,所以∠AOB=120°. ②如解图,设∠AOC=x,则∠AOM=2x,所以∠AOB=4x. 因为OC为∠AOB的“分补线”所以∠AOC+∠AOB=180°,即x+4x=180°,解得x=36,所以∠AOB=4∠AOC=4x=144°. 学科网（北京）股份有限公司 $