2025年初中数学中考专题：几何模型研究大讲堂 专题十七 “等分面积”模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十七：等分面积模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，过BC边上点D作一条直线，使三角形ABC面积平分.点E是BC中点，连接AE、AD，作EF∥AD，连接DF，DF交AE于点O.(也可以直接过B作平行线交CA延长线） 1. S△AEF=S△EFD； 2. S△AOF=S△DOE； 3. S△DFC=S四边形ABDF. 在四边形ABCD中，在上作交的延长线于点E，连接，交于点F，作的垂直平分线交于点I，连接． 1.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 新定义 求线段长、求解析式、证明等 1. 在选择题或填空题或解答题中考查： （1）求线段长、解析式； 2. 在解答题中考查： （1）证明相关内容，根据新定义解题 平行线间的距离处处相等 PART 2——模型思路. 这是一种多年前的热点模型，江苏、陕西等地考频较高，所谓等分面积，并不是简单的三角形中线平分面积，本模型可作为出题老师新定义的灵感内容，对于不了解该模型的学生做题会有困难，攻破这类模型的关键在于理解平行线间的距离处处相等，在此，编者根据最新几年该题型为出题老师和学生参考. PART 3——模型练习. 1.（2024·江苏南外期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点． 问题1：如图1：是的中线，求证： 问题2：如图2：，求证： 问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积： （1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线： ①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线． （2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线： ①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线． 下面就请你完成小孙和小悟的证明． 问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！ （保留作图痕迹并写出作图方法） 2.（2024·山东淄博校级月考）问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）． 迁移应用：如图1，，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2． 拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图） ①如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由； ②如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由． 3.（2025·辽宁本溪期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． 如图1，点、、、都是格点，连接，交于点．     (1)任务一：如图1，连接、、、，则四边形是 （填写形状）． (2)任务二：网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的作图痕迹（不要求写作法）． ①在图2中的线段上求作一点，连接，使得； ②在图3中，过点作直线，使直线平分的面积． 4.（2025·福建泉州期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 5.（2023·山西平遥校级自主）小小设计师——探究面积等分问题 问题提出： 物业公司计划绿化一块不规则空地，要求使用一条直线将空地分为面积相等的两部分，一部分种花，另一部分种植绿色植被．若你是设计师，应怎样设计才能满足要求？ 探索化归： 若一条直线把一个平面图形分为面积栩等的两部分，那么我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)小明从最简单的图形——三角形入手，很快就想到了它的一条面积等分线．如图1．过点A，利用尺规作出一条的面积等分线（保留作网痕迹，不写作法）； (2)平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线可以将其分成面积相等的两部分．图2由一个平行四边形和一个正方形组成，请仅用无刻度直尺画出这个图形的一条面积等分线（保留作图痕迹，不写画法）； 问题解决： (3)在等分图形面积的过程中，小明发现了如下结论： 如图，，点，，在上，点，在上，则． 如图3，四边形中，与不平行，，且，请在图3中，过点画出四边形的一条面积等分线，写出画法，并说明理由． 6.（2024·江苏无锡二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的顶点均在格点上．    (1)比较大小：　　；（用“>”或“=”或“<”填空） (2)请仅用无刻度的直尺过顶点A作一条直线，将四边形的面积平分并简要说明你的画法． 7.（2022·浙江台州期中）定理：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等.如图1，若直线a∥b，则有MN=PQ.运用此定理可得结论：如图2，直线a∥b，三角形ABC与三角形BCD，若都将BC看成底，则两三角形的高相等，从而面积相等，可记为S三角形ABC=S三角形BCD. 利用所得结论解决下列问题： (1)图2中，除S三角形ABC=S三角形BCD外，还有其它面积相等的三角形，请你写出所有面积相等的三角形； (2)如图3，已知三角形ABC，平面内有一点D，满足S三角形ABC=S三角形ABD，试画出所有符合题意的点D形成的图形（不要求写作法，作图工具不限）； (3)如图4，在一个88的网格中，我们把小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1.若要在网格中找到格点C，使三角形ABC面积为2，则点C位置有几种可能． 8.（2024·浙江金华期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 9.（2024·江苏淮安校级月考）【理解概念】 （1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”． （2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等． 【新知探究】 （1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法； （2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）． 【拓展提高】 （1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作： ①连接，过点C画，交的延长线于点D： ②找出线段的中点E，画直线ME． 小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由． （2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积． 过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理． 10.（2025·江苏扬州二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 11.（2022·宁夏银川校级一模）阅读理解：如图1，，连接AB、AC、BD、CD，则． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，由， 可得AF＝DE． 又∵，， ∴． 由此我们可以得到以下的结论：同底等高的三角形面积相等． (1)拓展应用：如图2，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，求△BDF的面积． (2)小明通过研究，发现过四边形的某一顶点的直线可以将该四边形平分为面积相等的两部分．他在如图3所示的图形中，得到了符合要求的直线AF． 小明的作图步骤如下： 第一步：连接AC； 第二步：过点B作交DC的延长线于点E； 第三步：取ED中点F，作直线AF， 则直线AF即为所求． 请你帮小明写出该作法的验证过程； 12.（2023·贵州遵义模拟）【知识重温】 （1）小聪在学习三角形中线知识时，作的中线， 得到和，则______（填“”或“”或“”）； 【知识迁移】 （2）小聪在此基础上继续思考“过四边形的某一顶点的直线，能否将该四边形分成面积相等的两部分？”他进行了如下思考： 如图2，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，即为所求． 证明：如图3，连接，过点作于，过点作交的延长线于    ；    请将上面证明过程补充完整． 【知识应用】 （3）如图4，四边形的顶点坐标分别为，，过点的直线将四边形分成面积相等的两部分，求的值． 13.（2025·福建福州期中）某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． (1)现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点； (2)根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性． (3)该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 14.（2025·山西临汾校级月考）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 15.（2024·陕西西安校级入学）问题提出： 如图①菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°点0是菱形ABCD两条对角线的交点,EF是经过点O的任意一条线段，容易知道线段EF将菱形ABCD的面积等分，那么线段EF的长度的最大值是 ，最小值是 ． 问题探究： 如图② 四边形ABCD中,AD∥BC,AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，请你过点D画出将四边形ABCD面积平分的线段DE，并求出DE的长． 问题解决： 如图③.四边形ABCD是西安城区改造过程中一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种两种花卉,打算过点C修一条笔直的通道，以方便市民出行和观赏花卉，并要求通道两侧种植的花卉面积相等，经测量AB=20米，AD=100米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长． PART 4——模型变式. 【变式1】（2025·陕西西安工大附中阶段）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【中考链接】本题原题目来源于2021四川乐山中考. 【变式2】（2023·陕西副题）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 【变式3】（原创）学习完平行四边形这一章后，渝北中学兴趣小组小莲和小华对四边形进行了探究，他们发现过任意四边形一顶点能画出平分该四边形面积的线，他们的思路如下：连接四边形一对角线，并往底边作对角线所分的靠侧边的角相等，这样就能做出与所连接对角线的平行线，再将产生的交点与作面积平分线的四边形顶点相连接，再做延长出去的线段的垂直平分线，就能构造出中线，利用我们在小学学到的同底等高的三角形面积相等与等底同高的三角形面积相等即可证明．请根据思路完成下面的作图与填空． (1)用尺规完成以下基本作图：在上作交的延长线于点E，连接，交于点F，作的垂直平分线交于点I，连接． (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵．（已知） ∴．（_______________________） ∴．（___________________________） ∴．（同底等高的三角形面积相等） ∵， ∴__________________．（等式的基本性质） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵垂直平分．（已知） ∴．（______________________） ∴．（_______________________） ∴．（________________） 【变式4】（2023·山东淄博校级月考）问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”． 迁移应用：如图1，，点和点在直线上，点和点在直线上，表示的面积，表示的面积．求证：； 拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图） （1）将图2中的四边形改成一个三角形，并保持面积不变． （2）如图3，一个五边形，你能否改成三角形并保持面积相等． 【变式5】（2024·江苏扬州期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十七：等分面积模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，过BC边上点D作一条直线，使三角形ABC面积平分.点E是BC中点，连接AE、AD，作EF∥AD，连接DF，DF交AE于点O.(也可以直接过B作平行线交CA延长线） 1. S△AEF=S△EFD； 2. S△AOF=S△DOE； 3. S△DFC=S四边形ABDF. 在四边形ABCD中，在上作交的延长线于点E，连接，交于点F，作的垂直平分线交于点I，连接． 1.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 新定义 求线段长、求解析式、证明等 1. 在选择题或填空题或解答题中考查： （1）求线段长、解析式； 2. 在解答题中考查： （1）证明相关内容，根据新定义解题 平行线间的距离处处相等 PART 2——模型思路. 这是一种多年前的热点模型，江苏、陕西等地考频较高，所谓等分面积，并不是简单的三角形中线平分面积，本模型可作为出题老师新定义的灵感内容，对于不了解该模型的学生做题会有困难，攻破这类模型的关键在于理解平行线间的距离处处相等，在此，编者根据最新几年该题型为出题老师和学生参考. PART 3——模型练习. 1.（2024·江苏南外期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点． 问题1：如图1：是的中线，求证： 问题2：如图2：，求证： 问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积： （1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线： ①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线． （2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线： ①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线． 下面就请你完成小孙和小悟的证明． 问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！ （保留作图痕迹并写出作图方法） 【答案】【问题1】见解析；【问题2】见解析；【问题3】见解析；【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． 【分析】【问题1】过点A作于点P，根据等底同高解答，即可； 【问题2】分别过点A，D作，垂足分别点K，L，根据等高同底解答，即可； 【问题3】（1）根据，可得，从而得到，再由M为中点，可得平分的面积，即可； （2）根据O为中点，可得平分的面积，平分的面积，从而得到，再由，可得，从而得到，即可； 【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． 【详解】【问题1】证明：如图，过点A作于点P， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； 【问题2】 证明：如图，分别过点A，D作，垂足分别点K，L， ∴， ∵， ∴， ∴； 【问题3】 （1）∵， ∴ ∴，即， ∵M为中点， ∴平分的面积，即平分四边形的面积． （2）∵O为中点， ∴平分的面积，平分的面积， ∴折线A－O－C平分四边形的面积， 即， ∵， ∴， ∴，即 ∴平分四边形的面积； 【问题4】 解：①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 即线平分五边形． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，根据等底同高或等高同底证得两个三角形的面积线等是解题的关键． 2.（2024·山东淄博校级月考）问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）． 迁移应用：如图1，，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2． 拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图） ①如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由； ②如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由． 【答案】【小题1】见解析； 【小题2】见解析； 【小题3】①画图见解析，理由见解析；②画图见解析，理由见解析． 【分析】（1）用反证法，假设平行线间的距离不相等，证明假设与实际相矛盾即可； （2）结合（1）可知，两个三角形同底等高，故面积相等； （3）①过点A作BC边上的中线，即可得到两个等底等高的三角形；②取BC中点E，连接AE，NE，过点A作AF∥EN交BC与点F，连接NF交AE于M，则直线NF为所求直线，然后根据等底等高的三角形面积相等可得S△ACE＝S△ABE，，求出，进而可证得． 【详解】迁移应用：已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB，GH⊥AB．求证：EF＝GH． 证明：假设 EF≠GH， 将GH沿着直线BA的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线AB上， ∵EF≠GH， ∴点Q与点F不重合， ∵EQ∥GH，GH⊥AB， ∴EQ⊥AB，而EF⊥AB， 同时EQ⊥AB，这与基本事实在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾． ∴假设不正确， ∴EF＝GH． 拓展延伸：∵AB∥CD ∴△EFH与△GFH是同底等高的两个三角形 ∴S△EFH＝S△GFH， ∴S1＝S2， 拓展延伸：①如图2，取BC中点E，连接AE，则直线AE为所求直线． ∵点E为BC中点， ∴BE=CE， ∴△ACE与△ABE是等底等高的两个三角形， ∴S△ACE＝S△ABE； ②如图，取BC中点E，连接AE，NE，过点A作AF∥EN交BC于点F，连接NF交AE于M，则直线NF为所求直线． 由①可得：S△ACE＝S△ABE ∵AF∥EN， ∴△AFN和△AFE是两个等底等高的三角形， ∴ ∴，即： ∵S△ACE＝S△ABE ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离处处相等，三角形的中线，正确的理解平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式找到等底等高的三角形是解题的关键． 3.（2025·辽宁本溪期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． 如图1，点、、、都是格点，连接，交于点．     (1)任务一：如图1，连接、、、，则四边形是 （填写形状）． (2)任务二：网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的作图痕迹（不要求写作法）． ①在图2中的线段上求作一点，连接，使得； ②在图3中，过点作直线，使直线平分的面积． 4.（2025·福建泉州期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 【答案】任务1：4；任务2：2；任务3：理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、平行线间的距离，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键． 任务1：先求出三角形的面积为4，再根据三角形和三角形的面积相等即可得； 任务2：先画出图形，根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为4，再根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，由此即可得； 任务3：先根据素材1可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得三角形的面积与三角形的面积相等，再根据三角形的中线可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得四边形的面积与三角形的面积相等，由此即可得． 【详解】解：任务1：∵三角形的面积为，三角形的面积为， ∴三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴三角形的面积为4， 故答案为：4． 任务2：由题意，画出图形如下： ∵在三角形中，是的中点，三角形的面积为8， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， ∵是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， 故答案为：2． 任务3：如图，连接，交于点， ∵， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积， 即三角形的面积三角形的面积， ∵在三角形中，点是的中点， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， 即四边形的面积三角形的面积， ∴直线平分三角形的面积． 5.（2023·山西平遥校级自主）小小设计师——探究面积等分问题 问题提出： 物业公司计划绿化一块不规则空地，要求使用一条直线将空地分为面积相等的两部分，一部分种花，另一部分种植绿色植被．若你是设计师，应怎样设计才能满足要求？ 探索化归： 若一条直线把一个平面图形分为面积栩等的两部分，那么我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)小明从最简单的图形——三角形入手，很快就想到了它的一条面积等分线．如图1．过点A，利用尺规作出一条的面积等分线（保留作网痕迹，不写作法）； (2)平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线可以将其分成面积相等的两部分．图2由一个平行四边形和一个正方形组成，请仅用无刻度直尺画出这个图形的一条面积等分线（保留作图痕迹，不写画法）； 问题解决： (3)在等分图形面积的过程中，小明发现了如下结论： 如图，，点，，在上，点，在上，则． 如图3，四边形中，与不平行，，且，请在图3中，过点画出四边形的一条面积等分线，写出画法，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点D，然后作直线即可； （2）连接相交于点M，连接相交于点N，作直线即可； （3）过点B作交的延长线于点G，连接，画出线段的中点H，画直线即可． 【详解】（1）如图， 直线为中过点A的一条面积等分线． （2）如图， 直线为这个图形的一条面积等分线． （3）如图，过点B作交DC的延长线于点G，连接，画出线段的中点H，画直线，由（1）可知直线为四边形的一条面积等分线． ∵， ∴的面积等于的面积， ∴原四边形的面积等于的面积加的面积，即为的面积． ∵H为的中点， ∴的面积等于的面积， ∴直线为四边形的一条面积等分线． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，平行四边形的性质，两平行线间的距离等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 6.（2024·江苏无锡二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的顶点均在格点上．    (1)比较大小：　　；（用“>”或“=”或“<”填空） (2)请仅用无刻度的直尺过顶点A作一条直线，将四边形的面积平分并简要说明你的画法． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题． （1）利用等高模型判断即可． （2）把四边形面积问题转化为三角形面积问题解决．连接，取格点，连接，，则，作出的中线所在的中线即可． 【详解】（1）解：由题意， ． 故答案为：； （2）解：如图，直线即为所求．    7.（2022·浙江台州期中）定理：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等.如图1，若直线a∥b，则有MN=PQ.运用此定理可得结论：如图2，直线a∥b，三角形ABC与三角形BCD，若都将BC看成底，则两三角形的高相等，从而面积相等，可记为S三角形ABC=S三角形BCD. 利用所得结论解决下列问题： (1)图2中，除S三角形ABC=S三角形BCD外，还有其它面积相等的三角形，请你写出所有面积相等的三角形； (2)如图3，已知三角形ABC，平面内有一点D，满足S三角形ABC=S三角形ABD，试画出所有符合题意的点D形成的图形（不要求写作法，作图工具不限）； (3)如图4，在一个88的网格中，我们把小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1.若要在网格中找到格点C，使三角形ABC面积为2，则点C位置有几种可能． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】（1）根据底边和底边上的高都相等的两个三角形面积相等可得出答案； （2）构建平行线FD∥EC∥AB，根据（1）中的结论得：S△ABD=S△ABC，从而得结论； （3）由题意画出图形可得出答案． 【详解】（1）∵a∥b， ∴S△ADB=S△ADC， ∴S△ADB-S△AOD=S△ADC-S△AOD， ∴S△AOB=S△COD． 故面积相等的三角形还有S△ADB=S△ADC，S△AOB=S△COD． （2）如图，所有符合题意的点D形成的图形是平行于AB的两条直线． （3）如图， 使三角形ABC面积为2的点C位置有9种． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力，也考查了学生的画图能力． 8.（2024·浙江金华期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 【答案】（1）相等；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，三角形中位线的性质； （1）利用平行线间的距离相等解决问题； （2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求； （3）如图，取的中点，连接，，．利用三角形中位线定理以及等高模型解决问题． 【详解】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离 （2）如图（作法不唯一） （3）如图，取的中点，连接，， 是的中点，是的中点 ∴ 9.（2024·江苏淮安校级月考）【理解概念】 （1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”． （2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等． 【新知探究】 （1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法； （2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）． 【拓展提高】 （1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作： ①连接，过点C画，交的延长线于点D： ②找出线段的中点E，画直线ME． 小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由． （2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积． 过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理． 【答案】（1）见解析；（2）；（1）同意，见解析；（2）见解析． 【分析】（1）三角形中线可将三角形面积平分，因此取中点连线即可； （2）平行线中先找到面积相等的三角形，再减去相同的部分直接求出剩余部分面积相等即可； （1）通过作辅助线得到，然后推论出，即可证明等积线； （2）与（ 1）同理，推论出，然后取中点，连接即可． 【详解】（1）取中点，连接，是的等积线． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （1）连接， ∵， ∴， ∴， ∵的中点是E， ∴， ∴ ∴就是的等积线． （2）过作交延长线于，连接， 取中点，连接， 与（1）同理可得，即为四边形的等积线． 【点睛】此题考查三角形中线的性质和平行线的性质，解题关键是在平行线中找出等面积的三角形进行转化． 10.（2025·江苏扬州二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不是的“等积线”，理由见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接，则为过点的“等积线”； （2）作的垂直平分线交于点，连接，以点为顶点，为边，作，交于点，连接，则直线为过点的“等积线”； （3）连接，，由，推出，由为中点，推出，据此即可说明不是的“等积线”． 【详解】（1）解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，， ∴， ∴为过点的“等积线”； （2）解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，， ∴，， ∵， ∴为过点的“等积线”； （3）解：不是的“等积线”，理由如下． 连接，， ∵， ∵， ∴， ∵为中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴不是的“等积线”． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形中线的性质，平行线的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 11.（2022·宁夏银川校级一模）阅读理解：如图1，，连接AB、AC、BD、CD，则． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，由， 可得AF＝DE． 又∵，， ∴． 由此我们可以得到以下的结论：同底等高的三角形面积相等． (1)拓展应用：如图2，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，求△BDF的面积． (2)小明通过研究，发现过四边形的某一顶点的直线可以将该四边形平分为面积相等的两部分．他在如图3所示的图形中，得到了符合要求的直线AF． 小明的作图步骤如下： 第一步：连接AC； 第二步：过点B作交DC的延长线于点E； 第三步：取ED中点F，作直线AF， 则直线AF即为所求． 请你帮小明写出该作法的验证过程； 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【分析】（1）连接CF，证明CF∥BD即可得到； （2）由BE∥AC得S△ABC=S△ACE，所以，接下来只要证明S△AFD＝S△AED＝S四边形ABCD即可． 【详解】（1）连接CF ∵正方形ABCD的右侧作正方形CEFG， ∴ ∴CF∥BD ∴ （2）如图中，连接AE， ∵BE∥AC， ∴S△ABC=S△ACE， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ACE+S△ACD=S△AED， ∵EF=FD， ∴S△AEF=S△AFD， ∴S△AFD＝S△AED＝S四边形ABCD． 【点睛】本题考查一次函数的有关知识、等积问题，把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 12.（2023·贵州遵义模拟）【知识重温】 （1）小聪在学习三角形中线知识时，作的中线， 得到和，则______（填“”或“”或“”）； 【知识迁移】 （2）小聪在此基础上继续思考“过四边形的某一顶点的直线，能否将该四边形分成面积相等的两部分？”他进行了如下思考： 如图2，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，即为所求． 证明：如图3，连接，过点作于，过点作交的延长线于    ；    请将上面证明过程补充完整． 【知识应用】 （3）如图4，四边形的顶点坐标分别为，，过点的直线将四边形分成面积相等的两部分，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象的平移． （1）利用三角形中线的性质即可求解； （2）证明，据此证明即可； （3）同理，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，利用待定系数法求得直线、直线和直线的解析式，联立，求得点的坐标，再利用中点坐标公式求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵的中线， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图3，连接，过点作于，过点作交的延长线于，   ，，， ， ；， ， ∴， ∵的中点， ∴， ∴， ∴即为所求； （3）连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，      设直线的解析式为，把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立，解得， ∴点的坐标为， ∵的中点， ∴点的坐标为， ∴直线过点， ∴， 解得． 13.（2025·福建福州期中）某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． (1)现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点； (2)根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性． (3)该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，三角形的中线平分面积，平行四边形的判定及性质，熟练掌握以上知识点，画出适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义画出图形，作直线即可； （2）证明四边形是平行四边形，得到，进而通过即可完成证明； （3）方法一：作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；利用三角形中线平分面积和两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，完成证明（方法不唯一，写出一种即可）． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求; （2）如图所示，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且点在上， ， ， ， 则四边形即为所求； （3）（方法不唯一，写出一种即可） 方法一：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ， 则即为所求做的分割线； 方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ， 则即为所求做的分割线． 14.（2025·山西临汾校级月考）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积、转化思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由三角形的情况拓展至四边形的情况即可得解； （2）过点作交延长线于，取中点； （3）根据、两条中线，结合阅读材料中的方法，计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，思路从三角形向四边形拓展的过程中体现的是转化思想； 故选：B； （2）解：如图所示： 过点作交延长线于，则，， 即， 取中点，则平分，那么也将四边形的面积平分为面积相等的两部分； （3）解：点是的中点， . 是的中点， . 是的中点， . 15.（2024·陕西西安校级入学）问题提出： 如图①菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°点0是菱形ABCD两条对角线的交点,EF是经过点O的任意一条线段，容易知道线段EF将菱形ABCD的面积等分，那么线段EF的长度的最大值是 ，最小值是 ． 问题探究： 如图② 四边形ABCD中,AD∥BC,AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，请你过点D画出将四边形ABCD面积平分的线段DE，并求出DE的长． 问题解决： 如图③.四边形ABCD是西安城区改造过程中一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种两种花卉,打算过点C修一条笔直的通道，以方便市民出行和观赏花卉，并要求通道两侧种植的花卉面积相等，经测量AB=20米，AD=100米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长． 【答案】问题提出：，；问题探究：线段DE如图所示，DE=；问题解决：通道CF如图所示，CF=35米. 【分析】问题提出：由题意可知，当EF⊥AD时，EF最短，当EF与BD重合时，EF最长，然后分别求解即可； 问题探究：如图②，取AB中点F，连接DF并延长交CB延长线于点G，取CG中点E，连接DE，首先易证△AFD≌△BFG，通过作CG中点E得到S△DEG=S△DEC，即可证明DE即为所求，然后根据等腰梯形的性质和∠C=60°可求出DM，EM，最后利用勾股定理求出DE即可； 问题解决：如图③，连接AC，过点B作BH∥AC交DA延长线于点H，取DH中点F，由S△HAC= S△BAC可知S四边形ABCD=S△CHD，即可证明CF即为所求；然后如图④，延长AB，DC交于点M，过点C作CN⊥AD，根据含30°直角三角形的性质可求出CN和ND，根据三角形面积可求出DF，然后利用勾股定理求出CF即可. 【详解】解：问题提出：如图①，由题意可知，当EF⊥AD时，EF最短， ∵AB=4，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=4，∠DAO=60°， ∴AO=2， ∴OE=， ∴EF=2OE=； 当EF与BD重合时，EF最长， ∵AB=4，AO=2， ∴BO=, 此时EF=BD=2BO=， 故答案为，； 问题探究：如图②，取AB中点F，连接DF并延长交CB延长线于点G，取CG中点E，连接DE，则DE即为所求； ∵AD∥BC， ∴∠ADG=∠G， ∵∠AFD=∠BFG，AF=BF， ∴△AFD≌△BFG， ∴S△AFD= S△BFG， ∵E是CG中点， ∴S△DEG=S△DEC， ∴S四边形ABED= S△DEC，即DE将四边形ABCD面积平分， 过点D作DM⊥BC于点M， ∵AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°， ∴CE=3，CM=1， ∴DM=，EM=2， ∴DE=； 问题解决：如图③，连接AC，过点B作BH∥AC交DA延长线于点H，取DH中点F，则CF即为所求； ∵BH∥AC， ∴S△HAC= S△BAC， ∴S四边形ABCD=S△CHD， ∵F为DH中点， ∴CF将四边形ABCD面积平分； 如图④，延长AB，DC交于点M， ∵∠ABC=150°，∠BCD=120°， ∴∠MBC=30°，∠BCM=60°， ∴∠M=90°， ∵AB=20米，AD=100米，∠A=60°， ∴∠D=30°， ∴AM=50米，MD=米， ∴BM=30米，MC=米， ∴S△CFD=S四边形ABCD=(S△AMD－S△BMC)=， 过点C作CN⊥AD，CD=米， ∴CN=米，ND=60米， ∴S△CFD=， 解得：DF=55米， ∴NF=5米， ∴CF=米. 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、等腰梯形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键． PART 4——模型变式. 【变式1】（2025·陕西西安工大附中阶段）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知解析式求出点A、B的坐标，根据过原点且将的面积平分列式计算即可； 【详解】如图所示， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵C在直线AB上， 设， ∴， ， ∵且将的面积平分， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键． 【中考链接】本题原题目来源于2021四川乐山中考. 【变式2】（2023·陕西副题）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；连接，由题意得O为的中点；由平行四边形的性质易证，则得；再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， 是的中点， ； ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（原创）学习完平行四边形这一章后，渝北中学兴趣小组小莲和小华对四边形进行了探究，他们发现过任意四边形一顶点能画出平分该四边形面积的线，他们的思路如下：连接四边形一对角线，并往底边作对角线所分的靠侧边的角相等，这样就能做出与所连接对角线的平行线，再将产生的交点与作面积平分线的四边形顶点相连接，再做延长出去的线段的垂直平分线，就能构造出中线，利用我们在小学学到的同底等高的三角形面积相等与等底同高的三角形面积相等即可证明．请根据思路完成下面的作图与填空． (1)用尺规完成以下基本作图：在上作交的延长线于点E，连接，交于点F，作的垂直平分线交于点I，连接． (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵．（已知） ∴．（_______________________） ∴．（___________________________） ∴．（同底等高的三角形面积相等） ∵， ∴__________________．（等式的基本性质） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵垂直平分．（已知） ∴．（______________________） ∴．（_______________________） ∴．（________________） 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角，作垂线，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角，作垂线的方法作图即可； （2）根据平行线间的距离处处相等，同底等高的三角形面积相等，三角形的中线平分面积，等量代换，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵．（已知） ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴．（平行线间的距离处处相等） ∴．（同底等高的三角形面积相等） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵垂直平分．（已知） ∴．（中点的性质） ∴．（三角形的中线平分面积） ∴．（等量代换） 【变式4】（2023·山东淄博校级月考）问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”． 迁移应用：如图1，，点和点在直线上，点和点在直线上，表示的面积，表示的面积．求证：； 拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图） （1）将图2中的四边形改成一个三角形，并保持面积不变． （2）如图3，一个五边形，你能否改成三角形并保持面积相等． 【答案】迁移应用：见解析 拓展延伸：（1） 见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线之间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等，三角形面积，读懂题意，理解题意是本题的关键． 问题背景：用反证法证明即可； 迁移应用：由两条平行线之间的距离处处相等，可得，即可证； 拓展延伸：（1）连接，过点作交的延长线于点，连接，则为所求的三角形； （2）连接，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，则为所求的三角形． 【详解】问题背景： 解：已知：如图1，，，，求证：．    证明：假设， 将沿着直线的方向平移，使点与点重合，点的对应点在直线上， ∵， ∴点Q与点F不重合， ∵，， ∴，而， 同时，这与基本事实在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾． ∴假设不正确， ∴； 迁移应用： 如图2，过点分别作，，垂足分别为，    ∵， ∴与是等底等高的两个三角形， ∴， ∴； 拓展延伸： （1）如图3，连接，过点D作交的延长线于点E，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴为所求的三角形． （2）如图4，连接，过点A作交的延长线于点M，过点D作交的延长线于点N，连接，    ∵，， ∴，， ∴为所求的三角形． 【变式5】（2024·江苏扬州期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析 【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积， 【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论； （2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论； 【深入思考】根据问题思考的结论即可得证； 【推广探究】根据问题思考的结论即可得证； 理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键． 【问题思考】解：（1）∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴和同底同高， ∴， 故答案为：； 【深入思考】证明：∵， ∴（由问题2的结论得） ∴， 即， ∵是的中点， ∴（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积； 【推广探究】证明：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴直线平分四边形的面积， 则直线即为所求直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $