第15章 综合与实践 最短路径问题（课件PPT）-【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

该初中数学课件系统梳理了轴对称中的最短路径问题，通过教材经典问题（如牧马饮水）引入，结合两定一动、一定两动、造桥选址等类型构建知识网络，串联轴对称性质、对称点作图等核心内容。 其亮点在于融合几何直观、推理意识与模型意识，设计分层探究活动，如通过等边三角形中△PBE周长最小值问题培养推理能力，借助坐标系找点P使PB+PC最短强化模型构建，助力学生用数学眼光观察、用数学思维解决实际问题，为教师提供精准复习支持。

数 学 2026人教 1 第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 2 教材再现：如图1，牧马人从 地出发，到一条 笔直的河边饮马，然后到 地．牧民到河边的 什么地方饮马可使所走的路径最短？ 3 问题解决：如图2，作出点关于的对称点 ，利用轴对称的性质，可 得．这样，问题就转化为：当点在直线的什么位置时， 与 的和最小？ 如图3，在连接，两点的线中，线段最短．因此，线段 与直线 的交点 的位置即为所求． 4 数学思考：有很多问题都可用类似的方法去思考． （1）如图4，在等边三角形中，是边上的高，为边 的中 点，为上一动点，若，，求 周长的最小值. 5 解：如解图所示，连接，与交于点 ，此时 的值最小. 是等边三角形， ， . ， 即的长度就是 的最小值. ，，点是边 的中点， ， . 的最小值是，即 周长 的最小值是 ． 6 （2）如图5，在中，，是中线，是 上一动 点，为上一动点，，则 的最小值为___． 3 7 一、两定一动型 1.某市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区， 的学生上学， 使，两小区到学校的距离之和最小，则学校 的位置应该在( ) C A. B. C. D. 8 2.如图，在中，，， 是 线段的垂直平分线，是直线 上的任意一点， 则 周长的最小值是____． 10 9 3.在平面直角坐标系中， 的位置如 图所示，，， 三点在格点上． （1）在图中作出关于 轴对称的图 形 . 10 解：如解图所示， 即为所求． 11 （2）写出点 的坐标. 解：由解图可得，点 的坐标为 ． 12 （3）在轴上作一点，使 的长度最短．（不写作法，保留画 图痕迹） 解：如解图所示，点 即为所求． 13 4.问题探究： （1）如图1，在中， ，是边上的点，过点 作 于点，则 的值为___. 14 （2）如图2，在等腰直角三角形中， ，， 是边的中点，若是边上一点，试求： 的最小值. 15 解：如解图所示，作， 于点 ，于点交于点 ． 是等腰直角三角形， ， ， . 是 的中点， . ， ， . ， . 16 . ， . ， ， ， . . . . 根据垂线段最短，可知当点与点 重合时， 的值最小，最小值为 的长， ，即 的最小值为 . （3）如图3，为等边三角形，为的中点，连接，以 为 斜边向上作等腰直角三角形，为线段上的一个动点，连接 ， 若，则当取最小值时， _ _______． 19 二、一定两动型 5.如图，在四边形中， ， ，在，上分别找一点， ，使 的周长最小，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 20 6.唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数 学问题：“将军怎样走才能使总路程最 短？”如图，在平面直角坐标系中，将军 从出发，先到山脉 的任意位置望 A A.4 B.6 C.8 D.12 烽火，再到河岸的任意位置饮马后返回到点，且与的夹角为 ， 则将军所走的最短总路程为( ) 21 7.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点， ，若 是直线上一动点，是直线上一动点，， ， 则 的最小值为____． 10 22 8.如图，在中，, , ,是边 上的中线． （1）若 ，则的度数是________．（用含 的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段 上的一个动点，则 的最小值是___． 23 三、造桥选址型 9.直线，表示一条河的两岸，且，村庄和村庄 在这条河的 两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸， 垂直），使 得从村庄经桥过河到村庄的路径最短，即 的 值最小，则下列图中满足条件的是( ) A A. B. C. D. 24 10.某市决定修建道路和一座桥，以方便张庄 和 李庄的群众出行到河岸．如图，张庄 和李庄 位于河岸 ，河的两岸是平行的直线，经测量， 张庄和李庄到河岸 的距离分别为 ， ，且 1 000 ．现要求建造的桥长要最短，且两村庄到河岸 侧桥头的 路程之和也最短，则这座桥应建造在，之间距_______ 处． （河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 25 $