2.4 一元二次方程根与系数的关系 课后训练 2025—2026学年湘教版九年级数学上册

2.4一元二次方程根与系数的关系课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级上册 一、选择题 1．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 3．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（      ） A．0 B．2025 C．2024 D．2023 4．已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若是方程 的一个根，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 7．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 8．若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或4 二、填空题 9．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 10．已知 ，是一元二次方程的两根，则 ． 11．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 12．已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 15．阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 17．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 参考答案 一、选择题 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 二、填空题 9． 10． 11．1 12． 三、解答题 13．【解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）解：∵方程的两个实数根 ∴，解得：； ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 14．【解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 15．【解】（1）解：∵关于的方程的两个根是和1， ∴，即：， ∴． 故答案为2． （2）解：设关于的方程的两个实数根分别为， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程化为， 则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为， 则，此方程有两个不相等的实数解． 综上所述，的值为． （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∵ ∴是方程的两个的实数根，且． ∵， ∴． 16．【解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 17．【解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 18．【解】（1）， 无论k为何值，，即， 关于x的一元二次方程都有实数根； （2）当时，原方程为，则， ． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $