专题2.6 一元二次函数、方程和不等式 讲义（3大考点19种题型）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义围绕一元二次函数、方程与不等式构建了清晰的知识体系，通过框架图梳理核心概念间的逻辑关系，用表格对比不等式性质与基本不等式的适用条件，借助思维导图呈现含参不等式分类讨论的解题路径，突出判别式、根的分布和恒成立问题的重难点关联。 讲义的亮点在于“结构化归纳”与“分层训练”的融合设计，如题型10中“1的妙用”技巧，引导学生从代数变形到构造定值，提升运算能力和逻辑推理素养。题型19的应用类题目贴近生活情境，培养学生用数学语言表达现实问题的能力，例如草坪绿化问题需建立面积不等式模型并求解，帮助不同层次学生实现从理解到迁移的跃升。讲义配套错题集锦和方法口诀，既支持学生自主复习，也为教师提供精准教学依据，助力课堂效率最大化。

专题2.6 一元二次函数、方程和不等式 【考点1：等式性质与不等式性质】 1 【题型1：由已知条件判断不等关系是否正确】 1 【题型2：比较大小】 2 【题型3：利用不等式的性质证明不等式】 4 【考点2：基本不等式】 6 【题型4：由不等式比较大小】 9 【题型5：由不等式证明不等关系】 9 【题型6：基本不等式求积的最大值】 12 【题型7：基本不等式求和的最小值】 15 【题型8：二次与二次（或一次）的商式的最值】 17 【题型9：基本不等式的恒成立问题】 19 【题型10：基本不等式中“1”的妙用】 21 【题型11：基本不等式的应用】 24 【考点3：二次函数与一元二次方程、不等式】 27 【题型12：解不含参的一元二次不等式】 31 【题型13：解含参的一元二次不等式】 32 【题型14：由一元二次不等式的解求参】 35 【题型15：一元二次方程根的分布】 37 【题型16：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 39 【题型17：一元二次不等式中的恒成立问题】 41 【题型18：一元二次不等式中的有解问题】 45 【题型19：一元二次不等式的应用】 48 【考点1：等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1：如果a＝b，那么b＝a； 性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型1：由已知条件判断不等关系是否正确】 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 2．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质可判断AB，利用作差法可判断D，利用举反例法可判断C. 【详解】对于A，由，两边同时乘以得：，故A正确； 对于B，由，两边同时加上可得：，故B正确； 对于D，由，可知，故D正确； 对于C，当时，不等式不成立，故C错误； 故选：C. 3．（多选）（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 4．（多选）（25-26高一上·河北衡水·开学考试）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则； D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若且，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：ABC. 5．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断BC的正误，利用作差法结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 【题型2：比较大小】 1．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 2．（10-11高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 3．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 4．（25-26高一上·河北衡水·开学考试）用作差比较法判断大小： (1)与的大小 (2)与的大小 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）， 因为（且只有时取等号）， 所以若，则，即； 若，则，即； 若，则，即. 5.（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）比较下列两个代数式的大小 (1)和 ； (2)已知， 和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法和配方法来判断大小即可； （2）利用作差法和因式分解，再来判断大小即可. 【详解】（1）由， 则，当且仅当时取等号； （2）由， 因为，所以， 又因为，所以， 即有， 则有. 【题型3：利用不等式的性质证明不等式】 1．（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合综合法，即可得证. 【详解】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 4．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【考点2：基本不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4：由不等式比较大小】 1．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段练习）设，且，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用基本不等式判断．证明即得． 【详解】∵， ∴， 当且仅当且，即时等号成立， ∵，∴． 故选：A． 【点睛】本题考查用基本不等式比较两个实数的大小，解题时要注意基本不等式中等号成立的条件，如果条件不能满足，则等号不成立． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）若0<a<b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为（    ） A．a B．2ab C． D．无法确定 【答案】C 【分析】.根据0<a<b，a＋b＝1，得到a<，再利用基本不等式得到ab<＝，再比较即可. 【详解】.因为0<a<b，a＋b＝1， 所以a<， 因为ab<＝， 所以2ab<， 所以a，，2ab中最大的数为， 故选：C. 【点睛】本题主要考查基本不等式比较大小，属于基础题. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 5．（24-25高二下·广东汕头·期中）我市某公司，第一年产值增长率为，第二年产值增长率，这二年的平均增长率为，那与大小关系是（　　） A． B． C． D．与取值有关 【答案】A 【分析】利用每年的增长率和平均增长率可表示出第二年产值，构造出等式，利用基本不等式可确定与的大小关系. 【详解】设原产值为，则第一年产值为，第二年产值为， 则，即. （当且仅当，即时取等号） ，，即，. 故选：. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键是能够利用每年的增长率和平均增长率构造出等量关系，进而利用基本不等式得到大小关系. 【题型5：由不等式证明不等关系】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式证明即可. （2）对不等式左边变形，然后根据基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为a，b是正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故. （2） ， 当且仅当时，即，时，取等号. 3．（24-25高二下·山西临汾·期末）已知都是正数 （1）若，求证：； （2）若，求证： 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式得， ，再利用不等式性质三式相乘得结果，（2）根据基本不等式得，，再三式相加得结果 【详解】证明：因为为正数，所以， 同理 ， 所以 因为，所以 （2）证明：由，且 ， 可得， 同理可得， 三式相加，可得 ， 即为， 则成立． 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 4．（24-25高三上·辽宁·期中）设，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）由基本不等式可得到,，，，三个式子相加可得到结论; （2）由,再结合基本不等式证明,进而可得到结论. 【详解】证明：（1）因为,所以，，，当且仅当,即时,等号成立. 三个式子相加得,, 故． （2）由题意,,当且仅当时,等号成立. 所以. 因为． 所以，即． 【点睛】本题考查了不等式的证明,考查了基本不等式的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题. 5．（2025·吉林长春·一模）已知，，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据重要不等式得到进而得到结果； （2）根据均值不等式得到结果. 【详解】解：（1）因为，所以根 据 重 要 不 等 式 得 到：，当且仅当时取等号， 所以； （2）因为，所以，等号成立的条件为：，即， 故. 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用等. 【题型6：基本不等式求积的最大值】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 2．（24-25高三上·上海·期中）若正数满足，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即  ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 3．（25-26高一上·广东广州·阶段练习）若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得且， 又因为，可得， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：5 4．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函数性质可得答案. 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 故答案为：25 【题型7：基本不等式求和的最小值】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 【题型8：二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 【答案】 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 当时取等号. 为将化为常数，则需， 解得， 所以， 故的最大值为． 5．（24-25高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【题型9：基本不等式的恒成立问题】 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 2．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 4．（2025高一上·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 5．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【题型10：基本不等式中“1”的妙用】 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C 4．（多选）（25-26高三上·山东烟台·开学考试）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可判断AB，由，利用基本不等式即可判断C，利用(当且仅当时，等号成立)，即可判断D. 【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：由，又， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：由，所以， 当且仅当时，所以等号不成立，故D错误. 故选：BC. 5．（多选）（江苏省盐城市2025-2026学年高三上学期三校调研考试数学试卷）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D． 【详解】由，，， 对于选项A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于选项B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于选项C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于选项D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即无最小值，故D错误． 故选：AC． 【题型11：基本不等式的应用】 1．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 4．（24-25高二上·河南郑州·期末）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为万件，若举行促销活动，年销售量(单位；万件)与年促销费用(单位；万元)满足为常数).已知生产该产品的固定成本为万元，每生产万件该产品需要再投入生产成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求的值，并写出该产品的利润(单位:万元)与促销费用(单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 【答案】（1），；（2）万元. 【解析】（1），代入已知模型求出，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得　利润函数； （2）利用基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意，可知当时， ， 解得 又每件产品的销售价格为元， （2）， 当且仅当时等号成立， 故该工厂计划投入促销费为万元时，才能获得最大利润，最大利润为万元. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 5．（25-26高三·全国·阶段练习）某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现，该水果年产量（万斤）与用于改良品种的资金投入（万元）之间的关系大致为：（，为常数），若不改良品种，年产量为1万斤.该水果最初售价为每斤4.75元，改良品种后，售价每斤提高元.假设产量和价格不受其他因素的影响. （1）设该果农种植该水果所获得的年利润为（万元），试求关于资金投入（万元）的函数关系式，并求投入2万元改良品种时，年利润为多少？ （2）该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），6.25万元；（2）一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大为7万元. 【解析】（1）由已知可得，解得，则销售额为，由此可得年利润，，进而可求出投入2万元改良品种时的年利润 （2）对变形得，然后利用基本不等式可求得最值 【详解】（1）根据已知可得当时，， 所以，所以. 改良品种投入万元时，销售额为， 所以年利润，当果农投入2万元改良品种时，年利润为 ， 即该果农年利润为6.25万元 （2）因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大，最大利润为7万元. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【考点3：二次函数与一元二次方程、不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 5．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型12：解不含参的一元二次不等式】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 2．（25-26高一上·福建·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即得， 解得或， 即不等式的解集是或. 故选：D. 3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设满足条件p，q的集合分别为集合，，由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，根据集合的包含关系可得答案. 【详解】由得或，设. 设满足的集合为，则， 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以， 故选：B 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】根据一元二次不等式的结构特征，运用配方法和分解因式法化简不等式即可求解. 【详解】（1）由可得，解得， 故原不等式的解集为； （2）由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. 5．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得， 解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得， 解得或， 所以原不等式的解集为：或； （3）由， 得，即， 解得， 所以原不等式的解集为. 【题型13：解含参的一元二次不等式】 1．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 2．（多选）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 4．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 5．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【题型14：由一元二次不等式的解求参】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设，不等式的解集为或，则（　　） A． B．0 C．2 D．7 【答案】A 【分析】根据题意可知和是方程的两个根，根据韦达定理求出，的值即可求解. 【详解】由题意可知：和是方程的两个根，则由韦达定理可得：和，即，，所以. 故选：A. 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到判别式的值和的正负，从而解出和的值，得到的值. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且， 所以，解得， 代入一元二次方程得，解得，所以， 所以， 故答案为：. 4．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将用表示,再化简所求的不等式并求解. 【详解】已知不等式的解集为,所以，且方程的两根为， 根据韦达定理，，所以，. 不等式可化为，两边同时除以， 得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为，求的值． 【答案】， 【分析】根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解. 【详解】不等式的解集为， 则，且的两根为和， 则，所以. 【题型15：一元二次方程根的分布】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 2．（25-26高一上·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 【答案】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 3．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 故答案为：. 4．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过一元二次方程根的分布与判别式和特殊点的关系即可确定实数的取值范围； （2）根据开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）令，其对称轴为， 若一元二次方程的两根都大于0， 则，，解得， 实数的取值范围是； （2）若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． 【题型16：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（多选）（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 2．（多选）（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 【答案】ABC 【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案. 【详解】不等式的解集为，，故A正确； ，令，，即，故B正确； 由上所述，易知，， 由题意可得为一元二次方程，则，， 则，，即为方程的解， 则可知不等式的解集为，故C正确，D错误. 故选：ABC. 3．（多选）（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D. 【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误； 因为，故B正确； 不等式可以化简为，解得，故D正确； 故选：ABD 4．（多选）（25-26高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【答案】AD 【分析】根据给定的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由不等式的解集为或，得是方程的二根，且， 则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式为：，解得，B错误； 对于C，不等式为：，解得，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 5．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 【题型17：一元二次不等式中的恒成立问题】 1．（25-26高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】分和两种情况，当时，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于，得到，不合题意， 当时，因为不等式的解集是，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 2．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式的解集，讨论参数结合对应二次函数性质求参数范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，满足题意； 当时，则，解得； 综上，的取值范围是． 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当 时，显然成立；当时，由求解即可； （2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可. 【详解】（1）当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上， ． （2）因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为． 5．（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 【题型18：一元二次不等式中的有解问题】 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 2．（25-26高一上·海南·阶段练习）命题“使得”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得在R上有解，只需，再根据二次函数的性质求出最大值，由此即可 【详解】因为使得是真命题， 即在R上有解，只需， 又函数，所以，解得 即实数的取值范围为. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式在内有解等价于在内，． 【详解】解：不等式在内有解等价于在内，． 当时，， 所以． 故选：D． 4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 5．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 【题型19：一元二次不等式的应用】 1．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 5．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 一元二次函数、方程和不等式 【考点1：等式性质与不等式性质】 1 【题型1：由已知条件判断不等关系是否正确】 1 【题型2：比较大小】 2 【题型3：利用不等式的性质证明不等式】 3 【考点2：基本不等式】 4 【题型4：由不等式比较大小】 6 【题型5：由不等式证明不等关系】 6 【题型6：基本不等式求积的最大值】 7 【题型7：基本不等式求和的最小值】 10 【题型8：二次与二次（或一次）的商式的最值】 10 【题型9：基本不等式的恒成立问题】 10 【题型10：基本不等式中“1”的妙用】 11 【题型11：基本不等式的应用】 12 【考点3：二次函数与一元二次方程、不等式】 12 【题型12：解不含参的一元二次不等式】 15 【题型13：解含参的一元二次不等式】 16 【题型14：由一元二次不等式的解求参】 17 【题型15：一元二次方程根的分布】 18 【题型16：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 19 【题型17：一元二次不等式中的恒成立问题】 20 【题型18：一元二次不等式中的有解问题】 21 【题型19：一元二次不等式的应用】 22 【考点1：等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1：如果a＝b，那么b＝a； 性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型1：由已知条件判断不等关系是否正确】 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）（25-26高一上·河北衡水·开学考试）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则； D．若，则 5．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2：比较大小】 1．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 2．（10-11高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 3．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 4．（25-26高一上·河北衡水·开学考试）用作差比较法判断大小： (1)与的大小 (2)与的大小 5.（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）比较下列两个代数式的大小 (1)和 ； (2)已知， 和. 【题型3：利用不等式的性质证明不等式】 1．（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知，且，求证： 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 4．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【考点2：基本不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4：由不等式比较大小】 1．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段练习）设，且，，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）若0<a<b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为（    ） A．a B．2ab C． D．无法确定 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 5．（24-25高二下·广东汕头·期中）我市某公司，第一年产值增长率为，第二年产值增长率，这二年的平均增长率为，那与大小关系是（　　） A． B． C． D．与取值有关 【题型5：由不等式证明不等关系】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 3．（24-25高二下·山西临汾·期末）已知都是正数 （1）若，求证：； （2）若，求证： 4．（24-25高三上·辽宁·期中）设，． （1）求证：． （2）求证：． 5．（2025·吉林长春·一模）已知，，. (1)求证：； (2)求证：. 【题型6：基本不等式求积的最大值】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·期中）若正数满足，则的最大值为 . 3．（25-26高一上·广东广州·阶段练习）若，且，则的最大值为 ． 4．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 【题型7：基本不等式求和的最小值】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【题型8：二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 5．（24-25高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【题型9：基本不等式的恒成立问题】 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 4．（2025高一上·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 5．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型10：基本不等式中“1”的妙用】 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4．（多选）（25-26高三上·山东烟台·开学考试）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 5．（多选）（江苏省盐城市2025-2026学年高三上学期三校调研考试数学试卷）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【题型11：基本不等式的应用】 1．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 4．（24-25高二上·河南郑州·期末）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为万件，若举行促销活动，年销售量(单位；万件)与年促销费用(单位；万元)满足为常数).已知生产该产品的固定成本为万元，每生产万件该产品需要再投入生产成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求的值，并写出该产品的利润(单位:万元)与促销费用(单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 5．（25-26高三·全国·阶段练习）某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现，该水果年产量（万斤）与用于改良品种的资金投入（万元）之间的关系大致为：（，为常数），若不改良品种，年产量为1万斤.该水果最初售价为每斤4.75元，改良品种后，售价每斤提高元.假设产量和价格不受其他因素的影响. （1）设该果农种植该水果所获得的年利润为（万元），试求关于资金投入（万元）的函数关系式，并求投入2万元改良品种时，年利润为多少？ （2）该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大？最大利润为多少？ 【考点3：二次函数与一元二次方程、不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 5．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型12：解不含参的一元二次不等式】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列不等式的解集： (1) (2) 5．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式： (1) (2) (3) 【题型13：解含参的一元二次不等式】 1．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（多选）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 5．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【题型14：由一元二次不等式的解求参】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设，不等式的解集为或，则（　　） A． B．0 C．2 D．7 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集为，则 . 4．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为，求的值． 【题型15：一元二次方程根的分布】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 3．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 4．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 5．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【题型16：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（多选）（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 2．（多选）（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 3．（多选）（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 4．（多选）（25-26高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 5．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【题型17：一元二次不等式中的恒成立问题】 1．（25-26高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 2．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 5．（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【题型18：一元二次不等式中的有解问题】 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高一上·海南·阶段练习）命题“使得”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 5．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【题型19：一元二次不等式的应用】 1．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    4．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $