第15章轴对称进阶单元卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第15章轴对称（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.西安碑林博物馆收藏的字体包括篆书、隶书、楷书、行书等，这些字体不仅展示了中国书法的演变历程，还体现了不同历史时期的艺术风格．下面四个篆体字是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各命题的逆命题，属于假命题的是(    ) A. 等腰三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 等边对等角 D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 3.如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，和关于直线对称，下列结论：直线垂直平分直线平分正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，，若的周长为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为(    ) A. B. 或 C. D. 或 8.如图，， ，若，则  (    ) A. B. C. D. 9.在等边三角形中，，分别为，边上的动点，，连结，以为边在内作等边三角形，连结，当从点向运动不运动到点时，大小的变化情况是(    ) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 10.如图，，内有一定点，且若在，上分别有动点，，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图是平面镜里看到背面墙壁的电子钟显示数，这时的时间是          ． 12.如图，在平面直角坐标系中，线段与线段关于第一、三象限的角平分线对称．已知点的坐标为，则点的坐标为          ． 13.如图，等边的边长为，，分别是，上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为          ． 14.如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则的值为           ． 15.如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是          ． 16.如图，的平分线与的外角的平分线相交于点，过点作交于点，交于点若，，则的长为          ． 17.平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数有          个． 18.如图，是等边三角形，，于点，交于点，下列结论：；；；，其中正确的有          选填序号 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在正方形网格中，已有个小正方形被涂黑．请你分别在图中将个空白的小正方形涂黑，使涂黑的图形成为轴对称图形．图要求只要条对称轴，图要求只有条对称轴 20.本小题分 在如图的网格中按要求画图： 把向右平移格，再向下平移格，画出所得； 画，使得它与关于直线对称； 画出与的对称轴直线． 21.本小题分 如图，在等边中，交于点，交于点，延长至点，于点，且，连接． 求证：； 求证：． 22.本小题分 如图，点是轴上一点，点在第一象限，，为轴上一点，，轴于点． 求证：； 若点的纵坐标为，求的值． 23.本小题分 如图和图，在四边形中，，，平分．     如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是          ； 如图，求证：； 如图，在等腰三角形中，，平分，求证：． 24.本小题分 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员经过研讨给出定义：若两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”． 如图，与都是等腰三角形，，，且则有          ≌          ． 如图，已知，以，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，并连接，交于点，           如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章轴对称（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.西安碑林博物馆收藏的字体包括篆书、隶书、楷书、行书等，这些字体不仅展示了中国书法的演变历程，还体现了不同历史时期的艺术风格．下面四个篆体字是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.下列各命题的逆命题，属于假命题的是(    ) A. 等腰三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 等边对等角 D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 【答案】D  【解析】解：、等腰三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形是等腰三角形，是真命题，本选项不符合题意； B、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，本选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，本选项不符合题意； D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题，本选项符合题意． 故选：． 根据等腰三角形的判定，等边三角形的判定，全等三角形的判定，角平分线的性质一一判断即可． 本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 3.如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.如图，和关于直线对称，下列结论：直线垂直平分直线平分正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  5.如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，，若的周长为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，． 垂直平分，，， 的周长为， ， ，选A． 6.如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  7.在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B  8.如图，， ，若，则  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  9.在等边三角形中，，分别为，边上的动点，，连结，以为边在内作等边三角形，连结，当从点向运动不运动到点时，大小的变化情况是(    ) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 【答案】A  【解析】提示：在上截取，连接易知由，，得易证≌，所以，，所以，所以． 10.如图，，内有一定点，且若在，上分别有动点，，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图是平面镜里看到背面墙壁的电子钟显示数，这时的时间是          ． 【答案】  12.如图，在平面直角坐标系中，线段与线段关于第一、三象限的角平分线对称．已知点的坐标为，则点的坐标为          ． 【答案】  13.如图，等边的边长为，，分别是，上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为          ． 【答案】  【解析】由折叠，得，，所以阴影部分图形的周长和为． 14.如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则的值为           ． 【答案】  【解析】垂直平分，，，． 15.如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是          ． 【答案】或  【解析】如图，在中，，，所以由作图可知，所以所以由作图可知，所以因为，所以所以综上所述，的度数是或． 16.如图，的平分线与的外角的平分线相交于点，过点作交于点，交于点若，，则的长为          ． 【答案】  17.平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数有          个． 【答案】  18.如图，是等边三角形，，于点，交于点，下列结论：；；；，其中正确的有          选填序号 【答案】  三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在正方形网格中，已有个小正方形被涂黑．请你分别在图中将个空白的小正方形涂黑，使涂黑的图形成为轴对称图形．图要求只要条对称轴，图要求只有条对称轴 【答案】解：如图所示答案不唯一． 20.本小题分 在如图的网格中按要求画图： 把向右平移格，再向下平移格，画出所得； 画，使得它与关于直线对称； 画出与的对称轴直线． 【答案】(1)解：如图，即为所求． ​​​​​​​  (2)解：如图，△即为所求． ​​​​​​​  (3)解：如图，直线即为所求． 【解析】 根据平移的性质作图即可．  根据轴对称的性质作图即可．  连接，，作线段，的垂直平分线即可． 21.本小题分 如图，在等边中，交于点，交于点，延长至点，于点，且，连接． 求证：； 求证：． 【答案】(1)证明：∵DE// BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，  ∠AED＝∠ACB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE． ∵AB＝AC， ​​​​​​​∴BD＝CE；  (2)证明：连接CD． ∵CG⊥DF，DG＝FG， ∴CF＝CD， ∴∠F＝∠CDF＝∠BCD．  又∵∠CEF＝∠AED＝∠B＝60°， ∴， ​​​​​​​∴EF＝BC．  22.本小题分 如图，点是轴上一点，点在第一象限，，为轴上一点，，轴于点． 求证：； 若点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1)证明：∵OA＝AB，AD⊥x轴， ∴∠OAD＝∠DAB． ∵AD⊥x轴，OP⊥x轴， ∴AD// OP， ∴∠OAD＝∠POA，  又∠POA＝∠PBA， ​​​​​​​∴∠POA＝∠PBA＝∠DAB；  (2)解：延长BA交y轴于点C．作AE⊥OC于点E，  则OE＝4． ∵AD// OP， ∴∠OCB＝∠DAB．  又∵∠POA＝∠PBA＝∠DAB， ∴∠OCB＝∠PBC＝∠POA， ∴OA＝AC，PB＝PC， ∴OC＝OP+PC＝OP+PB． ∵AE⊥OC， ∴OC＝2OE＝8， ​​​​​​​∴OP+PB＝8．  23.本小题分 如图和图，在四边形中，，，平分．     如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是          ； 如图，求证：； 如图，在等腰三角形中，，平分，求证：． 【答案】(1)角的平分线上的点到角两边的距离相等  (2)证明：如答图①，过点分别作，交的延长线于点，于点.平分，，，.，，.在和中，，.   图①               (3)如答图②，在上截取，连接.，，.平分，.，，即，由（2）的结论得.，，，，，.            ​​​​​​​图②​​​​​​​  24.本小题分 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员经过研讨给出定义：若两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”． 如图，与都是等腰三角形，，，且则有          ≌          ． 如图，已知，以，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，并连接，交于点，           如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)△BAD    ;△CAE  (2)60  (3)BD=CE,BD⊥CE．理由如下： ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD. 在△ABD和△ACE中 AB=AB, ∠ BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE. ∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠LACE, ∴∠BPC=∠BAC=90° ∴BD⊥CE. 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $