22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质 教学设计 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y＝ax²的图像与性质，以一次函数图象为起点，通过类比迁移构建学习支架，引导学生从画图、观察到归纳，逐步形成对抛物线形状、开口方向、顶点位置及增减规律的认知体系。 本资料突出数形结合与分类讨论思想，借助描点法绘制不同a值下的函数图像，让学生直观发现a＞0时开口向上、a＜0时开口向下，以及|a|越大开口越小的规律，体现几何直观与推理能力的融合。在操作1和操作2中，分组探究对比图像特征，强化了抽象能力和模型意识，帮助学生理解参数a的作用机制。教师可直接套用此设计开展高效课堂，学生则能在动手实践中深化概念理解，提升数学表达与逻辑思维能力。

《22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质》教案 学习目标 1.会用描点法画出形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,了解抛物线的有关概念. 2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质. 重点、难点 重点： 画出二次函数y=ax2的图象,根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的性质 难点：二次函数y=ax2的性质的应用 教学过程 一、情景引入( 1. 什么是二次函数？ 2.一次函数的图像是一条直线，通常怎样画一个函数的图像?二次函数的图像是什么形状呢? 我们可以类比一次函数的学习方法来研究二次函数的图形和性质，本节课我们先来学习y=ax2（其中a≠0）的图像和性质。 二、探索新知 知识点1、二次函数y=ax2的图象和画法 1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 三、应用新知 例1、画二次函数y=x2的图象。 解：（1）列表： 思考：自变量x的取值范围是什么?x取整数还是取其他数较好?y是一个数的平方,它的值与x的值有什么关系? 在x的取值范围内列出函数对应值表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … （2） 在直角坐标系中描点： 思考：在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长? 用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 （3）连线： 观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?我们应该怎样连接这7个点?用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 请画函数y=－x2的图像 提问：观察这两个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 ●归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. 从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.全班学生分为两组，第一组完成操作1、第二组完成操作2，然后回答下列的问题： 操作1、在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图像 函数y= x2和y=2x2的图像与函数y=x2的图像相比,有什么共同点和不同点?具有怎样的性质？ 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最低点除顶点外,图像都在x轴上方 不同点：开口大小不同 性质：a>0，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小，反之越大 操作2、在同一直角坐标系中画出函数y=－ x2和y=－2x2的图像 函数y=－ x2和y=－2x2的图像与y=-x2的图像相比,有什么共同点和不同点? 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点除顶点外,图像都在x轴下方 不同点：开口大小不同 性质：当a＜0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。 思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2呢？ 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2也有同样的关系。 四、归纳小结 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴　,顶点是(0,0)。当a>0时,抛物线的开口向上　,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小　,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大。当a<0时,抛物线的开口向下　,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大　,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小。 你能说一说，二次函数在生活中有哪些应用吗？（学生举例、教师点评） 例、已知y=(n+2)是关于x的二次函数 (1)求函数满足条件的 n 的值； (2)当 n 为何值时，抛物线有最高点； (3)当 n 为何值时，抛物线开口向上． 思路点拨：(1)n 需满足两个条件：①n2＋n－4＝2；②n＋2≠0.(2)(3)中 n 值的确定都与二次项系数的正负有关． 解：（1）当 n＝2 或 n＝－3 时，原函数为二次函数． (2)当 n＝－3 时，n＋2<0，∴当 n＝－3 时，抛物线有最高点． (3)当 n＝2 时，n＋2>0，∴n＝2 时，抛物线开口向上． 自主尝试 1、函数y=πx2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________ ;是抛物线的最_______点 2、函数y=－4x2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________;是抛物线的最_______点 答案：1. 向上、y轴、（0,0）、低 2.向下、y轴、（0,0）、高 五、当堂检测 1. 函数y=2x2的图象的开口___________, 对称轴___________,顶点是___________; 在对称轴的左侧，y随x的增大而___________ ,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________. 答案：向上、y轴、（0,0）、减小、增大 2. 函数y=-3x2的图象的开口___________,对称轴___________ ,顶点是__________ ;在对称轴的左侧, y随x的增大而___________,在对称轴的右侧, y随x的增大而__________ . 答案：向下、y轴、（0，0）、增大、减小 3.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．C A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0 4.已知y=（k+2）x k2+k-4 是二次函数，且当x>0时，y随X增大而增大，则k= ___________；答案：2 5.如图：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较 a，b，c，d 的大小，用“＞”连接____________ 答案：a＞b＞d＞c 6.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8） （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）因为-4≠-2(-1)2，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。 板书设计 1、画函数y=x2 y=x2 y=2x2 的图像 2、画函数y=-x2 y=-x2 y=-2x2 的图像 3、一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴　,顶点是(0,0)。当a>0时,抛物线的开口向上　,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小　,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大。当a<0时,抛物线的开口向下　,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大　,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小。 教学反思 设计意图：二次函数y=ax2的图像和性质教案设计意图，是围绕学生的认知规律和数学核心素养培养展开，具体可从以下几方面体现： 1. 衔接旧知，搭建认知桥梁 - 结合学生已学的一次函数、正比例函数的图像与性质，通过类比的方式引入二次函数y=ax2，帮助学生建立“函数解析式—图像—性质”的关联认知，降低新知学习的门槛。 - 强调其作为最简单二次函数的特殊性，为后续学习含一次项、常数项的二次函数（如y = ax^2 + bx + c）提供“由简到繁”的研究基础。 2. 突出数形结合，培养直观想象 - 设计“列表—描点—连线”的画图环节，让学生亲自动手绘制不同a值（如a = 1, -1, 2, -2, , -）对应的图像，直观感受抛物线的形状、开口方向等特征。 - 通过对比图像，引导学生从“形”的角度归纳“数”的性质（如对称性、顶点、最值等），强化“以形助数、以数释形”的思维方式。 3. 聚焦参数影响，渗透分类讨论思想 - 以参数a为核心，设计探究小组活动：让学生观察a>0与a<0时图像的差异（开口方向、最值变化），以及|a|大小对图像“宽窄”的影响。 - 在分析过程中，引导学生对a的正负、绝对值大小进行分类讨论，培养严谨的逻辑推理能力。 4. 强化过程体验，提升探究能力 - 通过“观察—猜想—验证—总结”的流程，让学生自主发现图像的对称性（关于y轴对称）、顶点坐标（原点）、增减性（如a>0时，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧反之）等性质。 - 鼓励学生用自己的语言描述规律，在合作交流中完善认知，培养归纳概括和表达能力。 5. 奠定后续学习基础 - 本节课的图像特征（抛物线）、参数作用（a的影响）、基本性质（对称、顶点、最值）是二次函数体系的核心基础，为后续学习图像平移、解析式转化、实际应用等内容提供知识和方法支撑。 学科网（北京）股份有限公司 $