第10课 第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图像与性质 同步练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

第10课 第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图像与性质人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 知识点一、二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点二、二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点三、二次函数的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点四、二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 考点01 二次函数y=ax2的图象和性质 例题1（1）.二次函数的图象的顶点是          ，开口          ，对称轴是          ；当           时，随的增大而增大；当           时，随的增大而减小，顶点是抛物线的最          点  例题1（2）.抛物线的开口          ，对称轴是          ，顶点坐标是          当           时，有最          值，是          ．  变式1（1）.二次函数的图象的顶点是          ，开口          ，对称轴是          ；当           时，随的增大而减小；当           时，随的增大而增大，顶点是抛物线的最          点 变式1（2）.二次函数的图象是一条          ，它的开口方向向          ，顶点坐标是          ，对称轴是          ，当时，随的增大而          ；当时，随的增大而          ；当时，有最          值，为          ．   考点02 二次函数y=ax2+k的图象和性质 例题2.对于抛物线，填空： 它的开口向          ，对称轴是          ，顶点坐标是          ； 当时，随的增大而          ，函数有最          值，为          ； 抛物线可由抛物线向          平移          个单位长度得到． 变式2.已知二次函数． 若点在函数图象上，则点的坐标为          ； 函数图象与轴的交点坐标为          ； 当时，随的增大而          ；当时，随的增大而          ； 因为，所以有最          值，当          时，取最          值，是          ． 考点03 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 例题3.抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线          ，抛物线是由抛物线向          平移          个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向          平移          个单位长度得到．   变式3（1）.抛物线的开口          ，对称轴是          ，图象存在最          点，坐标是          ；当           时，函数的值随值的增大而减小．   变式3（2）.已知函数，当          时，函数值随的增大而减小，当          时，函数取得最          值，为          ． 考点04 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 例题4.二次函数的性质：图象是抛物线，开口          ，对称轴是直线          ，顶点坐标是          ，函数图象有最          点，函数有最          值．当           时，随的增大而          ，当           时，随的增大而          ；当           时，函数取得最          值，为          ．   变式4（1）.抛物线的开口          ，顶点坐标是          ，对称轴是          ；当           时，有最          值，这个值是          ．   变式4（2）.开口方向：          ；对称轴：          ；顶点坐标为          ． 开口方向：          ；对称轴：          ；顶点坐标为          ． 开口方向：          ；对称轴：          ；顶点坐标为          ． 变式4（3）.填表： 二次函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标                                                                                                                                     考点05 二次函数y=a(x-h)2+k的平移规律 例题5.抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位后的解析式是          ． 变式5（1）.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式          ． 变式5（2）.抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线          ． 变式5（3）.把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后图象对应的二次函数解析式为          ． 变式5（4）.抛物线可以看成由抛物线向          平移          个单位长度得到抛物线的对称轴是直线          ，顶点坐标是          ． 变式5（5）.抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线          ，抛物线是由抛物线向          平移          个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向          平移          个单位长度得到． 变式5（6）.抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线          ． 变式5（7）.把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，则          ，          ，          ． 考点06 二次函数y=a(x-h)2+k的函数值大小比较 例题6.设，，是拋物线图象上的三点，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 变式6（1）.已知，点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 变式6（2）.若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是，，(    ) A. B. C. D. 变式6（3）.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 变式6（4）.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 变式6（5）.已知，，是图象上三点，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 变式6（6）.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为  (    ) A. B. C. D. 变式6（7）.若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 考点07 求二次函数y=a(x-h)2+k的解析式 例题7.若二次函数图象的顶点坐标为，且图象过点，求二次函数的解析式．   变式7（1）.已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式． 变式7（2）.已知二次函数的图象经过点，并且当时，函数有最大值，求这个二次函数的解析式． 变式7（3）.已知抛物线过点． 求抛物线的解析式 画出示意图，并写出对称轴、顶点坐标 观察图象回答：当取何值时，随的增大而增大 变式7（4）.抛物线的对称轴是直线，且过点． 求抛物线的解析式 求抛物线的顶点坐标 当为何值时，随的增大而增大 变式7（5）.把的图象向上平移个单位长度． 求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； 画出平移后的函数图象； 求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 变式7（6）.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点 求这个二次函数的解析式 点在这个函数的图象上吗为什么 你能通过左右平移函数图象，使它过点吗若能，请写出平移方案． 变式7（7）.已知点的坐标为，抛物线为常数与轴的交点为． 若抛物线经过点，求它对应的函数解析式，并写出此时其对称轴及顶点坐标； 设点的纵坐标为，求的最大值，此时抛物线上有两点，，其中，试比较与的大小． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2.已知点，，都在函数的图象上，则(    ) A. B. C. D. 3.若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是(    ) A. 先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 5.二次函数的最大值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若抛物线经过点，则           ． 7.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是          ． 8.已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是           填“”“”或“”． 9.抛物线的对称轴是          ，顶点坐标是          ． 10.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式； 判断点是否在此抛物线上； 求出抛物线上横坐标为的点的坐标．  12.已知抛物线的顶点是，且经过点，求抛物线的表达式． 13.如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． 求两个函数的解析式 求的面积． 14.已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 当取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 15.如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点，恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”正方形为它的内接正方形． 若抛物线是“美丽抛物线”，则           ； 若抛物线是“美丽抛物线”，则的值为          ； 若抛物线是“美丽抛物线”，求，之间的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图像与性质人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 知识点一、二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点二、二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点三、二次函数的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点四、二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 考点01 二次函数y=ax2的图象和性质 例题1（1）.二次函数的图象的顶点是          ，开口          ，对称轴是          ；当           时，随的增大而增大；当           时，随的增大而减小，顶点是抛物线的最          点 【答案】;向上;轴;;;低 .   例题1（2）.抛物线的开口          ，对称轴是          ，顶点坐标是          当           时，有最          值，是          ． 【答案】向下；轴  ；  ； ；大 ；    变式1（1）.二次函数的图象的顶点是          ，开口          ，对称轴是          ；当           时，随的增大而减小；当           时，随的增大而增大，顶点是抛物线的最          点 【答案】   ；向下；轴；；；高   变式1（2）.二次函数的图象是一条          ，它的开口方向向          ，顶点坐标是          ，对称轴是          ，当时，随的增大而          ；当时，随的增大而          ；当时，有最          值，为          ． 【答案】抛物线；            下；；轴；减小；增大；大；   考点02 二次函数y=ax2+k的图象和性质 例题2.对于抛物线，填空： 它的开口向          ，对称轴是          ，顶点坐标是          ； 当时，随的增大而          ，函数有最          值，为          ； 抛物线可由抛物线向          平移          个单位长度得到． 【答案】(1)下;y轴;（0，1）  (2)增大;大;1  (3)上;1  【解析】 解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是． 故答案为下，轴，． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质即可解答，本题得以解决．  解：抛物线， 当时，随的增大而增大，函数有最大值，为， 故答案为增大，大，． 本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质即可解答．  解：抛物线可由抛物线向上平移个单位长度得到． 故答案为：上，． 根据二次函数图象上加下减的平移规律即可求得平移后抛物线的解析式． 本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 变式2.已知二次函数． 若点在函数图象上，则点的坐标为          ； 函数图象与轴的交点坐标为          ； 当时，随的增大而          ；当时，随的增大而          ； 因为，所以有最          值，当          时，取最          值，是          ． 【答案】(1)(1，0)或(-1，0) ； (2)(0，-3) ； (3)增大；减小 ； (4)小；0 ；小；-3  考点03 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 例题3.抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线          ，抛物线是由抛物线向          平移          个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向          平移          个单位长度得到． 【答案】；右；；左；   变式3（1）.抛物线的开口          ，对称轴是          ，图象存在最          点，坐标是          ；当           时，函数的值随值的增大而减小． 【答案】向上；直线 ；低 ； ；   变式3（2）.已知函数，当          时，函数值随的增大而减小，当          时，函数取得最          值，为          ． 【答案】  ；；大； 考点04 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 例题4.二次函数的性质：图象是抛物线，开口          ，对称轴是直线          ，顶点坐标是          ，函数图象有最          点，函数有最          值．当           时，随的增大而          ，当           时，随的增大而          ；当           时，函数取得最          值，为          ． 【答案】向上；； ；低 ；小 ； ；减小  ；     ；增大 ；  ；小；   变式4（1）.抛物线的开口          ，顶点坐标是          ，对称轴是          ；当           时，有最          值，这个值是          ． 【答案】向下；；直线；；大；   变式4（2）.开口方向：          ；对称轴：          ；顶点坐标为          ． 开口方向：          ；对称轴：          ；顶点坐标为          ． 开口方向：          ；对称轴：          ；顶点坐标为          ． 【答案】(1)向上;直线;（-4，-1）  (2)向下;直线;（5，2）  (3)向下;直线;（-1，6）  变式4（3）.填表： 二次函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标                                                                                                                                     【答案】向下；轴；；向上；直线；；向上；直线 ；； 向下；直线 ；   考点05 二次函数y=a(x-h)2+k的平移规律 例题5.抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位后的解析式是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，按照“左加右减，上加下减”的规律本题据此回答即可． 【解答】 解：将抛物线向下平移个单位得，再向右平移个单位，得； 故所得抛物线的解析式为． 变式5（1）.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．  【解答】 解：抛物线向右平移个单位，得：； 再向上平移个单位，得：． 故答案为． 变式5（2）.抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线          ． 【答案】  变式5（3）.把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后图象对应的二次函数解析式为          ． 【答案】  变式5（4）.抛物线可以看成由抛物线向          平移          个单位长度得到抛物线的对称轴是直线          ，顶点坐标是          ． 【答案】右；；； 变式5（5）.抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线          ，抛物线是由抛物线向          平移          个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向          平移          个单位长度得到． 【答案】  ；右；；左； 变式5（6）.抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线          ． 【答案】  变式5（7）.把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，则          ，          ，          ． 【答案】 ；；； 考点06 二次函数y=a(x-h)2+k的函数值大小比较 例题6.设，，是拋物线图象上的三点，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【解答】 解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 又关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故选A． 变式6（1）.已知，点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式6（2）.若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是，，(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式6（3）.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：的图象的对称轴为直线，开口向下，离对称轴越远的点的纵坐标越小， 可知：点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， ． 故选C． 变式6（4）.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式6（5）.已知，，是图象上三点，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式6（6）.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式6（7）.若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  考点07 求二次函数y=a(x-h)2+k的解析式 例题7.若二次函数图象的顶点坐标为，且图象过点，求二次函数的解析式． 【答案】解：设二次函数的解析式为， 图象过点， ， ， ．   变式7（1）.已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：二次函数的图象的顶点坐标是，设二次函数的解析式为  将原点坐标代入，得  解得这个二次函数的解析式为．  变式7（2）.已知二次函数的图象经过点，并且当时，函数有最大值，求这个二次函数的解析式． 【答案】  变式7（3）.已知抛物线过点． 求抛物线的解析式 画出示意图，并写出对称轴、顶点坐标 观察图象回答：当取何值时，随的增大而增大 【答案】解： 图略，对称轴是直线顶点坐标为 ．  变式7（4）.抛物线的对称轴是直线，且过点． 求抛物线的解析式 求抛物线的顶点坐标 当为何值时，随的增大而增大 【答案】(1)y=- ；(2)(-2,0) ；(3)x<-2  变式7（5）.把的图象向上平移个单位长度． 求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； 画出平移后的函数图象； 求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 【答案】(1)解：，顶点坐标是（0，2），对称轴是y轴．  (3)当x＝0时，y有最大值，为2．  变式7（6）.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点 求这个二次函数的解析式 点在这个函数的图象上吗为什么 你能通过左右平移函数图象，使它过点吗若能，请写出平移方案． 【答案】(1)y=-  (2)不在.理由:把x=2代人y=-,得y=-=--2,所以点B(2,-2)不在这个函数的图象上.  (3)能,将二次函数y=-的图象向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度可过点B(2,-2)  变式7（7）.已知点的坐标为，抛物线为常数与轴的交点为． 若抛物线经过点，求它对应的函数解析式，并写出此时其对称轴及顶点坐标； 设点的纵坐标为，求的最大值，此时抛物线上有两点，，其中，试比较与的大小． 【答案】(1)把A（2，1）代入y＝－（x－h）2＋1，得－（2－h）2＋1＝1．∴h＝2．∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－（x－2）2＋1，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）  (2)由题意，可知yB＝－h2＋1，∴当h＝0时，yB有最大值，最大值为1，此时抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋1．∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴当x≥0时，y随x的增大而减小．∴当x1＞x2≥0时，y1＜y2  一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C  2.已知点，，都在函数的图象上，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把点的横坐标代入求值对应的值，进行比较可得结论． 【解答】 解：函数， 当时，； 当时，， 当时， ， 故选：． 3.若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是(    ) A. 先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 【答案】C  5.二次函数的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若抛物线经过点，则           ． 【答案】  7.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是          ． 【答案】  8.已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是           填“”“”或“”． 【答案】  9.抛物线的对称轴是          ，顶点坐标是          ． 【答案】轴 ； 10.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式； 判断点是否在此抛物线上； 求出抛物线上横坐标为的点的坐标． 【答案】(1)解：把A（-2，-8）代入中，解得，∴；  (2)当时，，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上；  (3)当时，，∴横坐标是的点的坐标是（-3，-18）．  12.已知抛物线的顶点是，且经过点，求抛物线的表达式． 【答案】．  13.如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． 求两个函数的解析式 求的面积． 【答案】(1)二次函数的解析式为y=​​​​​​​ ​​​​​​​一次函数的解析式为y=-x+2  (2) 3  14.已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 当取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 【答案】(1)解：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，-8)．  (2)当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．  (3)当x＝3时，y有最小值，最小值是-8．  15.如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点，恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”正方形为它的内接正方形． 若抛物线是“美丽抛物线”，则           ； 若抛物线是“美丽抛物线”，则的值为          ； 若抛物线是“美丽抛物线”，求，之间的数量关系． 【答案】(1)-1  (2)4  (3)易知抛物线经过点，.整理，得.，.，之间的数量关系为  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$