9.2.4 总体离散程度的估计 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新知一

【方差和标准差的定义】假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数为=　　　　　　　　，方差为s2=　　　　　　　　　　　　，标准差为s=　　　　　　　　. 

注1：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2=　　　　　　　为总体方差，S=　　　　为总体标准差. 

注2：总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=　　　　　　　　. 

【情境问题】树人中学的教导主任鲤鱿鱿为了整治后排睡觉的学生，决定选拔一名「纪律委员」，考核项目是——用粉笔头精准打击开小差同学（10次机会）：

甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4           乙：9  5  7  8  7  6  8  6  7   7

如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？

Tip：可根据方差来判断两名竞选学生的成绩的离散程度，

=                             ，

=                              .

由此可以估计，           比          的成绩更稳定

如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果①两人都排在前面，就选______________选手；

②如果两人都排在后面，就选_____________选手.

【例题1】例1.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下：

甲：99　100　98　100　100　103             乙：99　100　102　99　100　100

（1）分别计算两组数据的平均数及方差；

（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

【训练1】（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的

标准差是（　　）

A.1                      B.2                       C.3                        D.4

（2）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（　　）

A.40.6，1.1              B.48.8，4.4             C.81.2，44.4             D.78.8，75.6

【例题2】对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（      ）

A.s2>s1>s3          B.s1>s3>s2            C.s3>s1>s2        D.s3>s2>s1

【训练2】如图所示是小王与小张二人参加某打击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和 ̅，方差分别为和，则（        ）

新知二

1.   计算方差常用公式

（1）定义法：

（2）简化法：

2.具有线性关系的数据的平均数和方差

若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么y1，y2，…，yn的

平均数为           ，方差为         ，标准差为           .

【训练2】

（1）若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则2x1−1,2x2−1，…，2x10−1的平均数为(　 )

A．8             B．15                        C．16                     D．32

（2）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则2x1−1,2x2−1，…，2x10−1的标准差为(　 )

A．8             B．15                        C．16                     D．32

（3）已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为(　 )

A.2    B.8    C.18    D.20