9.2.4 总体离散程度的估计 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦总体离散程度的估计，系统讲解方差与标准差的定义、计算方法及实际应用，通过情境问题引入选拔考核案例，构建从数据波动到决策判断的学习支架，前后衔接自然，帮助学生从生活现象中抽象出统计量的本质特征。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合。以真实情境激发探究兴趣，引导学生用数学语言描述数据差异，借助例题与训练深化对离散程度的理解，强化运算能力与逻辑推理意识，尤其在分层抽样方差计算中展现跨层分析的建模思维，助力学生形成科学的数据观念和理性决策能力。

样样落实，天天坚持 9.2.4 总体离散程度的估计 学案 新知一 【方差和标准差的定义】假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数为=　　　　　　　　，方差为s2=　　　　　　　　　　　　，标准差为s=　　　　　　　　.  注1：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2=　　　　　　　为总体方差，S=　　　　为总体标准差.  注2：总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=　　　　　　　　.  【情境问题】树人中学的教导主任鲤鱿鱿为了整治后排睡觉的学生，决定选拔一名「纪律委员」，考核项目是——用粉笔头精准打击开小差同学（10次机会）： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ Tip：可根据方差来判断两名竞选学生的成绩的离散程度， = ， = . 由此可以估计， 比 的成绩更稳定 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果①两人都排在前面，就选______________选手； ②如果两人都排在后面，就选_____________选手. 【例题1】例1.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 （1）分别计算两组数据的平均数及方差； （2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 【训练1】（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的 标准差是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（　　） A.40.6，1.1 B.48.8，4.4 C.81.2，44.4 D.78.8，75.6 【例题2】对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（ ） A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 【训练2】如图所示是小王与小张二人参加某打击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和 ̅，方差分别为和，则（ ） A． < ̅， > B． < ̅， < C． > ̅，> D． (> ̅，< 新知二 1. 计算方差常用公式 （1）定义法： （2）简化法： 2.具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么y1，y2，…，yn的 平均数为 ，方差为 ，标准差为 . 【训练2】 （1）若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则2x1−1,2x2−1，…，2x10−1的平均数为(　 ) A．8 B．15 C．16 D．32 （2）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则2x1−1,2x2−1，…，2x10−1的标准差为(　 ) A．8 B．15 C．16 D．32 （3）已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为(　 ) A.2 B.8 C.18 D.20 新知三 【分层随机抽样的方差】假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则 =xi，s2=(xi-)2，=yi，t2=(yi-)2. 若记总的样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出 =xi+yi)= ， b2= = . 【例题3】在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不能，说明理由. 【训练3】(1)已知某省二、三、四线城市数量之比为1：3：6，2024年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为_________. (2)为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用比例分配的分层随机抽样. 现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5；抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8；抽取高三学生100人，其每天学习时间为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为________. 【例题4】为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动. 已知该班男生35人，女生25人. 根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为和，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ） A. = B. ≥ C. = D. ≥ 【训练4】已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为n_1,n_2,n_3, 样本平均数分别为 ̅, ̅, ̅,样本方差分别为,,，若：：=1:2:3，则（ ） A. ：： ̅=1:2:3 B. ：：=1:4:9 C. 总体样本平均数 ̅=+2 ̅+3 ̅ D. 当 = ̅= ̅时，总体方差=++ 【随堂训练】 1.下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是(　　) A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差 2.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为(　　) A.1 B. C. D.2 3.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入表格： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是(　　) A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀) D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 4.某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为　　　　.  小贴士：课后请整理好今日所学，再开始写分层作业 学习不是为了一纸文凭，而是为了拥有更自由的未来.2 学科网（北京）股份有限公司 $