专题07 期中真题百练通关（182题33大常考题型）（期中专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题07 期中真题百练通关（182 题33大常考题型） 题型一判断元素与集合的关系 题型十八根据充分条件、必要条件求参 题型二根据元素与集合的关系求参数 题型十九反证法及其应用 题型三根据集合中的元素个数求参数 题型二十一元二次方程根与系数的关系 题型四根据集合相等求参数 题型二十一不等式性质的应用 题型五描述法表示集合 题型二十二利用不等式求值或取值范围 题型六列举法表示集合 题型二十三一元一次不等式（组）的解集 题型七集合的子集与真子集 题型二十四解不含参数的一元二次不等式 题型八判断集合间的关系 题型二十五解含有参数的一元二次不等式 题型九根据集合的包含关系求参 题型二十六根据一元二次不等式的解集求参 题型十集合的交集运算 题型二十七一元二次不等式的恒成立问题 题型十一根据交集运算的结果求参数 题型二十八分式不等式的解法 题型十二集合的并集运算 题型二十九绝对值不等式的求解 题型十三根据并集运算的结果求参数 题型三十基本不等式求最值 题型十四集合的补集运算 题型三十一根式的化简 题型十五根据集合的补集运算求参 题型三十二指数幂的运算 题型十六命题真假的判断及应用 题型三十三对数的运算 题型十七充分、必要条件的判断 题型1 判断元素与集合的关系 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 题型2 根据元素与集合的关系求参数 6．（24-25高一上·上海·期中）设集合   若2∈A，则 . 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 8．（22-23高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 题型3 根据集合中的元素个数求参数 10．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 11．（22-23高一上·上海静安·期中）若集合有且仅有一个元素，则实数的值是 ． 12．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 题型4 根据集合相等求参数 13．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 14．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知集合，，且，则集合 . 15．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 16．（24-25高一上·上海·期中）1.若集合，则的值为 17．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 题型5 描述法表示集合 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，方程的解集是 ． 20．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 21．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 题型6 列举法表示集合 22．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 23．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 24．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用列举法表示方程组的解集为 . 25．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 26．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 题型7 集合的子集与真子集 27．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 28．（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个. 29．（23-24高一上·上海金山·期中）满足关系，的集合A的个数为 . 30．（24-25高一上·上海·期中）已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 31．（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 32．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 33．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 题型8 判断集合间的关系 34．（24-25高一上·上海·期中）下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 35．（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 36．（23-24高一上·上海松江·期中）若集合，集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·上海·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型9 根据集合的包含关系求参 38．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 39．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 40．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 41．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 42．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，，则a的取值范围是 . 43．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 题型10 集合的交集运算 44．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 45．（24-25高一上·上海·期中）已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 46．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则 ． 47．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，求 ． 48．（24-25高一上·上海·期中）集合，则集合 . 题型11 根据交集运算的结果求参数 49．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 51．（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 52．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型12 集合的并集运算 53．（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 54．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 55．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 题型13 根据并集运算的结果求参数 56．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知集合，，且，求实数组成的集合为 57．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 58．（23-24高一上·上海虹口·期中）若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 59．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 60．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 题型14 集合的补集运算 61．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知全集 ，集合 ，则 . 62．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则= ． 63．（24-25高一上·上海·期中）设全集，，则 . 64．（23-24高一上·上海普陀·期中）若全集，，则用列举法表示集合 ． 65．（23-24高一上·上海·期中）设全集为，，，则 . 66．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 67．（24-25高一上·上海·期中）若，，则 . 题型15 根据集合的补集运算求参 68．（24-25高一·上海·课堂例题）若全集，，，则的值是 ． 69．（22-23高一上·上海奉贤·期中）设，，，则实数的值是 . 70．（21-22高一上·上海杨浦·期中）设全集，集合，若，则实数 ; 71．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 72．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 题型16 命题真假的判断及应用 73．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 74．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 75．（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（   ）. A．存在实数x，使得 B．对任意的实数x，都有 C．存在实数x，使得 D．存在无数个实数x，使得 76．（23-24高一上·上海浦东新·期中）命题“存在，使得”的否定是 77．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 题型17 充分、必要条件的判断 78．（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 79．（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 80．（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 81．（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 82．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 83．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 题型18 根据充分条件、必要条件求参 84．（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 85．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 86．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 87．（22-23高一上·上海徐汇·期中）设，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 88．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 89．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 题型19 反证法及其应用 90．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 91．（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 92．（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 93．（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 94．（24-25高一上·上海·期中）已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 95．（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 题型20 、一元二次方程根与系数的关系 96．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 97．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 98．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 99．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 100．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 101．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 102．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 题型21 、不等式性质的应用 103．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 104．（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列不等式正确的是 （  ） A． B． C． D． 105．（24-25高一上·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 106．（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 107．（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 108．（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 109．（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 题型22 、利用不等式求值或取值范围 110．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 111．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 112．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 113．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的最大值为 114．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 115．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，且，则的取值范围是 ． 题型23 、一元一次不等式（组）的解集 116．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 117．（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 118．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 119．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 120．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 题型24 、解不含参数的一元二次不等式 121．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 ． 122．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 123．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 题型25 、解含有参数的一元二次不等式 124．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 125．（23-24高一上·上海·期中）求解关于x的不等式：（是常数） 126．（24-25高一上·上海·期中）设. (1)若，解不等式； (2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (3)解关于x的不等式. 题型26 、根据一元二次不等式的解集求参 127．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 128．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 129．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 130．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 131．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 132．（20-21高二上·江苏苏州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 题型27 、一元二次不等式的恒成立问题 133．（24-25高一上·上海·期中）若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 134．（24-25高一上·上海松江·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ． 135．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 136．（24-25高一上·上海·期中）如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 137．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 题型28 、分式不等式的解法 138．（24-25高一下·上海宝山·期中）不等式的解集为 139．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 140．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 141．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 142．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 143．（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 题型29 、绝对值不等式的求解 144．（23-24高一上·上海金山·期中）不等式的解集是 . 145．（24-25高一上·上海奉贤·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1) (2)． 146．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 147．（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 148．（24-25高一上·上海·期中）若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 149．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 题型30 、基本不等式求最值 150．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 151．（22-23高一上·上海普陀·期中）已知正实数、满足，则的最小值为 . 152．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 153．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 154．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 155．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 156．（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 157．（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 158．（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 题型31 、根式的化简 159．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 160．（24-25高一上·上海·期中）当时，化简： . 161．（24-25高一上·上海·期中）化简: . 162．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 题型32 、指数幂的运算 163．（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 164．（23-24高一上·上海·期中）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 165．（21-22高一上·河北沧州·阶段练习）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 166．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 167．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 168．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 169．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 170．（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 171．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 题型33 、对数的运算 172．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 173．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 174．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 174．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 176．（21-22高一上·上海黄浦·期中）已知，，则 177．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 178．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 179．（24-25高一上·上海宝山·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 . 180．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 181．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）计算以下对数的值：； （2）已知，，用a、b来表示. 182．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 1．已知，，则 . 2．若，用表示 . 3．陈述句“或”的否定形式为 ． 4．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 5．设集合，，则 ． 6．已知全集，集合，则 ． 7．已知实数、满足，则的最小值为 ． 8．已知，且，则的最小值为 ． 9．已知，则关于的不等式的解集为 ． 10．不等式的解集为 ． 11．关于与的二元一次方程组的解集为 ． 12．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练通关（182 题33大常考题型） 题型一判断元素与集合的关系 题型十八根据充分条件、必要条件求参 题型二根据元素与集合的关系求参数 题型十九反证法及其应用 题型三根据集合中的元素个数求参数 题型二十一元二次方程根与系数的关系 题型四根据集合相等求参数 题型二十一不等式性质的应用 题型五描述法表示集合 题型二十二利用不等式求值或取值范围 题型六列举法表示集合 题型二十三一元一次不等式（组）的解集 题型七集合的子集与真子集 题型二十四解不含参数的一元二次不等式 题型八判断集合间的关系 题型二十五解含有参数的一元二次不等式 题型九根据集合的包含关系求参 题型二十六根据一元二次不等式的解集求参 题型十集合的交集运算 题型二十七一元二次不等式的恒成立问题 题型十一根据交集运算的结果求参数 题型二十八分式不等式的解法 题型十二集合的并集运算 题型二十九绝对值不等式的求解 题型十三根据并集运算的结果求参数 题型三十基本不等式求最值 题型十四集合的补集运算 题型三十一根式的化简 题型十五根据集合的补集运算求参 题型三十二指数幂的运算 题型十六命题真假的判断及应用 题型三十三对数的运算 题型十七充分、必要条件的判断 题型1 判断元素与集合的关系 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系解题. 【详解】N为自然数集，则. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 【答案】 【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合. 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【分析】根据集合的定义与整除的概念判断. 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 6．（24-25高一上·上海·期中）设集合   若2∈A，则 . 【答案】 【分析】根据2∈A，由求解. 【详解】解：因为集合   且2∈A， 所以，解得， 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 8．（22-23高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先写出，将代入解不等式即可. 【详解】由得， 因为，所以，即. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数. 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 题型3 根据集合中的元素个数求参数 10．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 11．（22-23高一上·上海静安·期中）若集合有且仅有一个元素，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的值. 【详解】当时，，符合题意. 当时，令， 解得， 综上所述，的值为或 故答案为：或 12．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 题型4 根据集合相等求参数 13．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 14．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 【答案】1 【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性. 【详解】集合，，且，则有，解得或， 当，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 符合题意. 故答案为：1 16．（24-25高一上·上海·期中）1.若集合，则的值为 【答案】12 【分析】根据集合相等的表示及二次方程求解元素即可. 【详解】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 17．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用集合的互异性及集合相等，求出即得. 【详解】由，得且，当时，显然，于是， 解得，，所以. 故答案为： 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，所以，，可得， 从而，所以，，且，解得， 因此，. 故答案为：. 题型5 描述法表示集合 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 20．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为. 故答案为：. 21．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 题型6 列举法表示集合 22．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 23．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可． 【详解】小于10的素数组成的集合为：． 故答案为：． 24．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用列举法表示方程组的解集为 . 【答案】 【分析】求得方程组的解，再写出相应集合． 【详解】， 因此解集为， 故答案为：. 25．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】利用列举法来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以和都是自然数， 所以. 故答案为： 26．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论. 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 题型7 集合的子集与真子集 27．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用真子集定义即可求得集合A的真子集的个数. 【详解】集合中有3个元素，则集合A的真子集的个数为 故选：A 28．（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个. 【答案】16 【分析】分析集合中的元素个数，由于，则符合的集合个数即可确定. 【详解】，则当时，； 当时，； 当时，； 所以 又，集合中有4个元素，为子集， 故符合这样的集合有. 故答案为：16. 29．（23-24高一上·上海金山·期中）满足关系，的集合A的个数为 . 【答案】4 【分析】根据集合包含关系得到集合，求出答案. 【详解】由题意得或或或. 故答案为：4 30．（24-25高一上·上海·期中）已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】先根据非空集合，确定集合的个数，再排除不满足条件的集合即可. 【详解】首先：因为非空集合，所以集合的个数为：个， 其中：，，不满足条件：“若则”. 故满足条件的集合的个数为：4. 故答案为：4 31．（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 【答案】 【分析】根据题意分别令，再由子集的定义求解即可. 【详解】因为，所以当时，不成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，不成立， 所以满足题意的为，， 所以集合的子集个数为：. 故答案为： 32．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 33．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 【答案】6 【分析】依题意，集合S中的元素，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可. 【详解】因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个. 故答案为：6. 题型8 判断集合间的关系 34．（24-25高一上·上海·期中）下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 35．（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，集合与集合的关系不能用“”，所以①错误. ②，的元素完全相同，所以，所以②正确. ③，空集是任何集合的子集，所以正确. ④，空集是没有元素，有一个元素，所以④错误. ⑤，中有个元素，有一个元素，所以⑤错误. ⑥，元素与集合的关系是属于或不属于，所以⑥错误. 所以正确的有个. 故选：B 36．（23-24高一上·上海松江·期中）若集合，集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 【详解】当时，； 当时，包含无理数，即， 故选：D. 37．（24-25高一上·上海·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】元素与集合的关系是“”或“”，集合与集合的关系是“”关系. 【详解】①中自然数集有元素0，∴，正确； ②中有理数集里面没有无理数，∴，不正确； ③有理数集包含了集合，∴，不正确； ④集合中的元素都在集合里面，∴，正确. 故选：B. 题型9 根据集合的包含关系求参 38．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】0 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 39．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】由绝对值解出集合，再由得到，或，或，然后由元素的互异性讨论即可； 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 40．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，讨论、求对应参数范围，即可得答案. 【详解】若时，满足，此时只需； 若时，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 41．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 42．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意结合包含关系分析求解即可. 【详解】因为集合，，， 可知，所以a的取值范围是. 故答案为：. 43．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 题型10 集合的交集运算 44．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【答案】 【分析】由集合交集可得答案. 【详解】由交集定义，结合，则. 故答案为： 45．（24-25高一上·上海·期中）已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，再结合交集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 且是3的倍数，所以. 故答案为：. 46．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】利用交集的运算法则运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 47．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，求 ． 【答案】 【分析】解方程组，可得交集的元素. 【详解】集合，集合， ∴. 故答案为：． 48．（24-25高一上·上海·期中）集合，则集合 . 【答案】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】因为集合，由题意可知. 故答案为： 题型11 根据交集运算的结果求参数 49．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解． 【详解】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 故选：D 50．（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 51．（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 52．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 题型12 集合的并集运算 53．（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 54．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 55．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 【答案】 【分析】利用并集的定义，直接运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 题型13 根据并集运算的结果求参数 56．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知集合，，且，求实数组成的集合为 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到或，解得，再代入检验. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或， 解得或或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 综上可得实数组成的集合为. 故答案为： 57．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】按并集定义计算即可得解. 【详解】，又 所以 故答案为： 58．（23-24高一上·上海虹口·期中）若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解. 【详解】由可得， 由于，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 所以,故Q的真子集个数为， 故答案为：7 59．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解. 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 60．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【详解】（1），或， 所以或， 即； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知. 题型14 集合的补集运算 61．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知全集 ，集合 ，则 . 【答案】 【分析】利用集合补集的概念直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 62．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则= ． 【答案】 【分析】由补集的概念求出集合. 【详解】. 故答案为： 63．（24-25高一上·上海·期中）设全集，，则 . 【答案】 【分析】根据补集运算即可得结果. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 64．（23-24高一上·上海普陀·期中）若全集，，则用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】先用描述法求出，进而采用列举法求出. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 65．（23-24高一上·上海·期中）设全集为，，，则 . 【答案】 【分析】由补集与交集运算可得. 【详解】由全集，， 则，又， 则. 故答案为：. 66．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 67．（24-25高一上·上海·期中）若，，则 . 【答案】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意知，，又，所以. 故答案为：． 题型15 根据集合的补集运算求参 68．（24-25高一·上海·课堂例题）若全集，，，则的值是 ． 【答案】2或8 【分析】由即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得或. 故答案为：2或8. 69．（22-23高一上·上海奉贤·期中）设，，，则实数的值是 . 【答案】8 【分析】根据全集，补集概念得即可解决. 【详解】由题知：，，， 所以 ，得 ， 故答案为：8. 70．（21-22高一上·上海杨浦·期中）设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 71．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 72．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 题型16 命题真假的判断及应用 73．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 74．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，非真子集，假命题. 故选：B 75．（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（   ）. A．存在实数x，使得 B．对任意的实数x，都有 C．存在实数x，使得 D．存在无数个实数x，使得 【答案】A 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】全称命题的否定是特称命题， 因此命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是存在实数x，使得， 故选：A． 76．（23-24高一上·上海浦东新·期中）命题“存在，使得”的否定是 【答案】“对任意，都有” 【分析】根据特称命题的否定是全称命题书写即可. 【详解】命题“存在，使得”， 则命题的否定为“对任意，都有”， 故答案为：“对任意，都有” 77．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分、讨论可得答案； （2）求出命题①、②都为真命题时的取值范围，再求其补集可得答案. 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 题型17 充分、必要条件的判断 78．（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为不能推出， 所以“”不是“”的充分条件， 因为“”能推出“”， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 79．（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的意义判断得解. 【详解】由或，得，而， 所以“或”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 80．（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”能推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 81．（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可 【详解】因为，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 82．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 83．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 题型18 根据充分条件、必要条件求参 84．（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 85．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 86．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 87．（22-23高一上·上海徐汇·期中）设，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合不等式的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可． 【详解】由得 解得， 设 由得 解得， 设． 是的必要不充分条件， ，即真包含于 ，解得 实数的取值范围为 故答案为： 88．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求解不等式，结合必要非充分条件的取值范围包含关系判断即可. 【详解】解得，解得. 由必要非充分条件的取值范围包含关系可得包含，故且，解得. 故答案为： 89．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解； （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 题型19 反证法及其应用 90．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 91．（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 92．（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数 【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 93．（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 94．（24-25高一上·上海·期中）已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由指数函数的单调性即可求解不等式； （2）先假设都小于，然后求得解集为，从而可得假设不成立，即可证明. 【详解】（1）由可得，即. （2）证明：假设都小于，即， 所以，即，解集为， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 中至少有一个大于或等于． 95．（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）假设是有理数，可设，互质，且，分析可知2为的公约数，即可得矛盾； （2）根据题意可得，假设均小于，可得，即可得矛盾. 【详解】（1）假设是有理数，可设，互质，且， 可得，可知为2的倍数，则为8的倍数， 可知为2的倍数，即2为的公约数， 这与互质相矛盾，所以是无理数. （2）因为，则， 可得， 假设均小于，即， 则， 即，即假设不成立，所以中至少有一个不小于. 题型20 、一元二次方程根与系数的关系 96．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 97．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 98．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【分析】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 99．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【分析】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】由韦达定理，得， 有，得， 又，所以，即， 所以，解得. 故答案为：1 100．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解出验证即可. 【详解】因为是关于的方程的两实根， 所以由根与系数的关系得， 因为是关于的方程的两实根， 所以， 即，， 所以，解得， 经验证可得，所以， 所以. 故答案为：3. 101．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 102．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 题型21 、不等式性质的应用 103．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①，作差法比较大小；②，先得到，，作差法得到，故，即；③，由不等式性质得到，，得到③正确；④，由同号可加性得到. 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 104．（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列不等式正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，当时不成立；对于B，举例即可判断；对于C，当时和没有意义可判断；对于D，作差计算，根据差值即可判断得解. 【详解】已知， 对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，和没有意义，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：D. 105．（24-25高一上·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：可以推出，充要条件，选项错误； 选项B：解得，推不出，是“”成立的必要不充分条件，选项错误； 选项C：可以推导出，但是时不成立，是“”成立的充分非必要条件，选项正确； 选项D：,当时，不成立，选项错误； 故选：C. 106．（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果. 【详解】当时，，A选项错误； 当，时，，，，B选项错误； ∵且，∴，C选项正确； 当时，，D选项正确. 故选：C. 107．（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立. 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 108．（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 109．（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由，又， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，满足，， 而，故D错误. 故选：C. 题型22 、利用不等式求值或取值范围 110．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 111．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围. 【详解】由题意得，； 当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，； 综上所述： 故答案为： 112．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 113．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的最大值为 【答案】3 【分析】由绝对值不等式的性质求解即可； 【详解】由，可得 ， 当时等号成立. 故答案为：3. 114．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 115．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可得，，代入，可求得的取值范围． 【详解】因为，且，可得，， 所以，两边除以， 有，得， 所以的取值范围是. 故答案为：． 题型23 、一元一次不等式（组）的解集 116．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 117．（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 118．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 119．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 120．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 题型24 、解不含参数的一元二次不等式 121．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】求出集合，再根据交集的运算法则求两个集合的交集. 【详解】因为或. 所以. 故答案为： 122．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为方程的解为，， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 123．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意利用配方法分析求解. 【详解】因为，即不等式对任意实数均成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型25 、解含有参数的一元二次不等式 124．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意将不等式因式分解为：，然后再分情况进行讨论，从而求解. 【详解】由题意得：，可化简为：，得：有两解：，， 当时，即：时，不等式的解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 125．（23-24高一上·上海·期中）求解关于x的不等式：（是常数） 【答案】答案见解析 【分析】根据系数与的大小，以及的大小分类讨论即可. 【详解】由，解得，或.故分以下情况讨论不等式的解集： ①当时，不等式为，无解； ②当时，不等式为，无解； ③当，即，或时， （i）当时，不等式可化为，解得，或； （ii）当时，不等式可化为，解得； ④当，即时， 不等式可化为，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当，或，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 126．（24-25高一上·上海·期中）设. (1)若，解不等式； (2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）把代入求解一元二次不等式即可； （2）由题设得对一切实数恒成立，讨论参数，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可； （3）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）当时，， 化简得，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）由题设，即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，； （3）由，即， 整理得， 当时，，得，解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，得或，解集为； 若，即时，得，解集为； 若，即时，得或，解集为； 若，则，得，解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型26 、根据一元二次不等式的解集求参 127．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 128．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意可得，和3为方程的根，且，进而结合韦达定理可求得的值，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意，和3为方程的根，且， 则，解得，， 所以不等式，即为， 即，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 129．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式的解集知方程的两个根，根据韦达定理求得的值，再解不等式即可求得解集. 【详解】∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 130．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 131．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式的解集求出的关系，再把不等式化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可． 【详解】因为不等式的解集为， 所以 和是的两根，且， 所以即， 所以可化为， 所以， 解得. 故答案为： 132．（20-21高二上·江苏苏州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可. 【详解】对于不等式，可得不等式， 若，解得，无正整数解，不合题意； 若，不等式无解，不合题意； 若，解得，由题意可得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 题型27 、一元二次不等式的恒成立问题 133．（24-25高一上·上海·期中）若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，由此可求的取值范围. 【详解】因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 134．（24-25高一上·上海松江·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意讨论：时显然满足题意；时，结合二次函数图象求解即可. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 135．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 136．（24-25高一上·上海·期中）如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式在实数集上恒成立，易知当符合题意，当时有，解之即可求解. 【详解】原不等式可转化为， 又该不等式的解集为R， 当即时，不等式为，符合题意； 当时，得，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 137．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 题型28 、分式不等式的解法 138．（24-25高一下·上海宝山·期中）不等式的解集为 【答案】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式，进而求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 139．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法计算即可求解. 【详解】由，得， 解得或， 原不等式的解集为. 故答案为： 140．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式求解，移项通分变形，可由符号法则转化为整式不等式求解. 【详解】不等式可化为， 即，则有①，或②， 由①得， 由②得，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为： 141．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 142．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】由题意，原不等式可变形为，分类讨论的取值情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 当时，，解得，此时原不等式的解集为； 当时，令，得， 当即时，，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为. 综上，时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 143．（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)或或. (2) 【分析】（1）解不等式分别求得集合，再由集合中的元素特征可得结果； （2）由可得，分类讨论集合是否为空集再由包含关系解得实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式可得或； 易知； 当时，可得； 由集合且可得或或. （2）由可得， 当时，可得； 当时，若，可得， 由可得，即； 若，可得，此时恒成立，即即可； 综上可得，实数的取值范围为. 题型29 、绝对值不等式的求解 144．（23-24高一上·上海金山·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质直接得出. 【详解】 故答案为： 145．（24-25高一上·上海奉贤·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1) (2)． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）分析可得，解分式不等式即可得解； （2）分类讨论两根大小解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，则， 由可得，等价于，解得或； 由可得，等价于，解得或； 综上所述：的解集为. （2）因为， 令，解得或， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 146．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 【答案】 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 147．（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质可得，根据恒成立问题，运算求解即可. 【详解】对于，不等式恒成立， 等价于即可. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得：. 故选：D. 148．（24-25高一上·上海·期中）若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的性质求参数的取值范围. 【详解】因为或， 即或. 故答案为： 149．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】将两侧同时平方，移项整理得，令，，讨论，同负、，两种情况，结合对应二次函数性质求参数范围. 【详解】由对任意都成立， ， 令，， 即且，或者同负， 若、同负，零点相同（不符合）； 若，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：问题化为，进而转化为两个二次函数乘积形式，结合二次函数性质分类讨论求参数范围. 题型30 、基本不等式求最值 150．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 151．（22-23高一上·上海普陀·期中）已知正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】采用拼凑法可得，再结合“1”的妙用即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，时取到等号. 故答案为： 152．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 153．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 154．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 155．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是. 故答案为： 156．（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24 【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 157．（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【答案】(1)的长应在 (2)当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米 【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案； （2）利用基本不等式求解可得答案. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， 所以的长应在； （2）时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 158．（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 题型31 、根式的化简 159．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 160．（24-25高一上·上海·期中）当时，化简： . 【答案】x 【分析】利用根式化简计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：x 161．（24-25高一上·上海·期中）化简: . 【答案】 【分析】利用根式和分数指数幂的运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 162．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 题型32 、指数幂的运算 163．（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 164．（23-24高一上·上海·期中）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 165．（21-22高一上·河北沧州·阶段练习）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的意义来判断AB选项，利用指数幂的运算来判断CD选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 166．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 167．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 168．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 169．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据直接求解即可. 【详解】解：因为， 所以，即 故答案为： 170．（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 171．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 题型33 、对数的运算 172．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 173．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化可得出的值. 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 174．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为:##. 174．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 【答案】e 【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解. 【详解】解：， 所以． 故答案为：e． 176．（21-22高一上·上海黄浦·期中）已知，，则 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 177．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 178．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 【答案】1 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 179．（24-25高一上·上海宝山·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故答案为：. 180．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【详解】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 181．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）计算以下对数的值：； （2）已知，，用a、b来表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】使用换底公式和对数运算性质得出答案即可. 【详解】（1） ； （2） 182．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数运算性质求解即可； （2）根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为，所以． 1．已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 2．若，用表示 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 所以. 故答案为：. 3．陈述句“或”的否定形式为 ． 【答案】且 【分析】根据或命题的否定为且命题，注意相应条件取反，即可写出原命题的否定形式. 【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且. 故答案为：且. 4．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 5．设集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集运算的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 6．已知全集，集合，则 ． 【答案】; 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 7．已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 8．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以由基本不等式可得： ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 9．已知，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式解法计算即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 11．关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 12．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意的最小值是，进一步列出关于的不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，等号成立当且仅当，即中一个大于或等于0，另外一个小于或等于0， 所以的最小值是， 所以，解得或. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $