2.3.1 二次根式的概念及性质（6题型+针对训练）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第二章 实数 2.3.1 二次根式的概念及性质 命题1：二次根式的概念与性质…………………………………………………1 命题2：求二次根式的值…………………………………………………………1 命题3：求二次根式中的参数……………………………………………………2 命题4：二次根式有意义的条件【常考点】……………………………………2 命题5：利用二次根式的性质化简………………………………………………2 命题6：化简复合二次根式………………………………………………………3 针 对 训 练………………………………………………………………………4 命题1：二次根式的概念 1．下列各式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．请任意写一个二次根式： ． 命题2：求二次根式的值 6．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 7．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．当时，二次根式的值是 ． 9．当时，二次根式的值是 ． 10．当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 命题3：求二次根式中的参数 11．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 13．若，则 ． 14．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 15．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 命题4： 二次根式有意义的条件【常考点】 16．已知是二次根式，则的值可以是（    ） A．5 B． C． D． 17．若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 18．若在实数范围内有意义，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 19．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 20．代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 21．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 命题5： 利用二次根式的性质化简 22．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 23．计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 24．化简：（    ） A． B． C． D． 25．化简： ． 26．在实数范围内要使成立，则的取值范围是 ． 27．当时，化简代数式． 28． 若，化简． 命题6： 化简复合二次根式 29．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 30．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 31．若 是实数，化简的结果为（  ） A． B． C．3 D．4 32．化简： ． 33．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 针对训练： 1．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 2．使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．24 5．当时，二次根式的值为 ． 6．如果则的范围是 ． 7．化简 ． 8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 9．已知，则的值为 ． 10．若，则的值为 ． 11．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为 ． 12．若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ． 13．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 14．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 15．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 16．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 17．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.3.1 二次根式的概念及性质 命题1：二次根式的概念与性质…………………………………………………1 命题2：求二次根式的值…………………………………………………………3 命题3：求二次根式中的参数……………………………………………………4 命题4：二次根式有意义的条件【常考点】……………………………………6 命题5：利用二次根式的性质化简………………………………………………8 命题6：化简复合二次根式………………………………………………………10 针 对 训 练………………………………………………………………………13 命题1：二次根式的概念 1．下列各式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 形如的式子是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式，不是二次根式，不符合题意； B．是分式，不是二次根式，不符合题意； C．是二次根式，符合题意； D．不是二次根式，不符合题意． 故选C． 2．下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，所以是二次根式，故A选项符合题意． B、，所以不是二次根式，故B选项不符合题意． C、是三次方根不是二次根式，故C选项不符合题意． D、，所以不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 3．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 4．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的识别，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A、当时，是二次根式，当时，没有意义，故该选项不符合题意； B、当时，是二次根式，当时，没有意义，故该选项不符合题意； C、不是二次根式，故该选项不符合题意； D、由于，故是二次根式，故该选项正确， 故选：D． 5．请任意写一个二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 命题2：求二次根式的值 6．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 7．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 8．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 9．当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】将x的值代入计算可得． 【详解】解：当x=0时，， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，要懂得将x=0代入计算，能准确化简二次根式是关键． 10．当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 命题3：求二次根式中的参数 11．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 12．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 15．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断是个平方数，即可求解． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数的最小值是， 故答案为：． 命题4： 二次根式有意义的条件【常考点】 16．已知是二次根式，则的值可以是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数可得出答案． 【详解】解：是二次根式， 则a的值不能是负数，故A符合题意． 故选：A． 17．若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． 18．若在实数范围内有意义，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求解即可． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ， 解得， 故选：C． 19．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】取任意实数 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵当取任意实数时，都有， 又∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴取任意实数， 即x的取值范围是取任意实数． 故答案为：取任意实数． 20．代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得，求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 21．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得． 故答案为：． 命题5： 利用二次根式的性质化简 22．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用进行化简即可． 【详解】解：． 故选：B． 23．计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：， 故选：B． 24．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B 25．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 26．在实数范围内要使成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简公式可得，从而可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为：． 27．当时，化简代数式． 【答案】1 【分析】 根据二次根式的性质得出绝对值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后合并即可． 【详解】 解：， 原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质解答． 28．若，化简． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 命题6： 化简复合二次根式 29．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 30．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解： 有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 31．若 是实数，化简的结果为（  ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂运算法则，绝对值意义，正确应用运算法则是解题关键．根据二次根式性质，二次根式加减运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 32．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 33．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 针对训练： 1．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 3．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式的定义逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不一定是非负数，则不一定是二次根式，故该选项不符合题意； B、，则一定是二次根式，故该选项符合题意； C、是立方根，不是二次根式，故该选项不符合题意； D、，则不是二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B 4．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．24 【答案】C 【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即6a是完全平方数； ∴a的最小正整数值为6． 故选：C． 5．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 6．如果则的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，解不等式即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故答案为：. 7．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识．先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据绝对值的定义化简绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上实数的位置与符号的关系、绝对值的性质以及二次根式的性质（，解题的关键是根据数轴信息确定a、b的符号及、的符号，再利用“负数的绝对值是它的相反数”化简． 根据数轴知a在原点左侧、b在原点右侧且，由此判断（异号两数相加，绝对值大的数的符号为和的符号）、（负数减正数结果为负）；利用将二次根式转化为绝对值，再根据绝对值性质时分别化简和，最后合并计算． 【详解】解：由数轴可知，且． ∴． ∵时，绝对值为其相反数）， 时，绝对值为其相反数）． ∴原式． 故答案为：． 9．已知，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． ∴ 故答案为：24． 10．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为 ． 【答案】3 【分析】先变形得到，根据题意n必须是3的完全平方数倍，所以最小正整数n为3． 【详解】解：∵，而是整数， ∴最小正整数n为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，一般利用化简二次根式． 12．若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质、求算术平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性，结合二次根式有意义的条件求得x、y值，进而求得即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴且， ∴，解得， 将代入中，得， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 13．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 14．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴． 15．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 16．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 17．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题中规律可得； ． （2）解：根据题中规律可得； （3）解：原式 ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $