2023年8月第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动（全国总决赛）八年级数学二试试题

第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动 (全国总决赛) 八年级答案 二试 1、(1)解：：√m-2+√2-m=27-n,且m-220,2-m20, .m=2,n=27=3, 原式=，1+1 1 1 1 1+2+1+2+3+1+2+3+4+1+2+3+4+5+…+1+2+3+4+5+23 1,1,1,1 =2×3+3x4+4x5+5x6+…+ 23×24 2222 2 -2+2+22 2 2×33×44×55×6 23×24 - 2324 =2传动 2、(1)解：点P从点M运动到点N共用29+30=10+30=40（秒： 1 答：点P从点M运动到点N共用40秒； (2)解：设经过t秒时，有O2=OP, 当0≤t≤10时，0P=20-2t,02=30-t, .20-2t=30-t, 解得t=-10,不存在； 当10<t≤30时，0P=t-10,02=30-t, .t-10=30-1, 解得t=20; 当t>30时，0P=t-10,00=2(t-30), .t-10=2(t-30), 解得t=50; 综上，经过20秒或50秒时，有O2=OP; (3)解：当0≤t≤10时，0P=20-2t,00=30-t, oP-0g=02-0P=(30-t)-(20-24)=10+t,此时10s10+ts20; 当10<t≤20时，0P=t-10,00=30-1, 0P-0g=02-0P=(30-t)-(t-10)=40-2t,此时0≤40-21<20； 当20<t≤30时，0P=t-10,02=30-t, 0P-0g=0P-02=(t-10)-(30-t)=2t-40,此时0<2t-40≤20； 当30<t≤50时，0P=t-10,00=2(t-30), 0P-0g=0P-02=(t-10)-2(t-30)=50-t,此时0≤50-t<20; 当t>50时，0P=t-10,02=2(t-30), oP-0g=02-0P=2(t-30)-(t-10)=t-50,此时t-50>0; 综上，存在常数a恰好有三个不同的时间使得OP-Og=a成立，a的值为20. 3、解：设售价的整数部分的数字为x,小数部分的数字为y, 则(+)*后+137. 整理得：19y=98x-274; ·售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数， .0<x<10,10<y<100,且x,y为整数， 「x=9 y=32 ∴.外卖的售价为9.32元，小开转了32.9元，小南退还给小开的金额为32.9-9.32=23.58元； 64 4、该玩具最低的下落高度为h= =64m, 10×0.1 ∴t= 2h_2×64_85=8×2.236=3.5776s. ≈ V8 V 10 5 5 ∴.最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人 5、(1)8x+b=c,方程的解为x=} ..x=c-b I =二>0 84 .c>b,c-b=2① .'c>8 ∴.c为斜边 .82+b2=c2 .c2-b2=(c+b)(c-b)=64② 将①代人②得：c+b=32③ 由①③可得b=15,c=17, “股雅值"为2×8动=60 (2).m>q>p √m为斜边 ∴.p2+g=m ·对应的股雅值为2 2 ∴pg=V2 解方程m+2-1 y-1 y 可得(3-m)y=2 方程无解 .①3-m=0,m=3 ②当3-m≠0时，y=22=1,m=1 3-m 3-m0时，y3二m0, ①当m=3时，p2+g2=3 ∴.(g-p2=g2-2p9+p2=3-22=(V2-12 ∴g-p=5-1 ②当m=1时，p2+g2=1 ∴.(9-p)2=g2-2p9+p2=1-25<0(舍) …x=9-2-2-1-6-5 √m53 6、解：如图，设直线BC与y轴交于点D,过点B作BE⊥y轴于点E, 令x=0,则y=b, ∴.D(0,b) 令y=V5x=-V3x+b, x=5b. 6 DE=0E=0, ∴△OBD是等腰三角形 8E=5b,0B=b. 6 2 08=56, 3 .∠BOE=∠BDE=30°， ∴.∠EBD=∠ABE=60°， 过点C作CF⊥BE于点F, D ∴.∠BCF=30°， 设BF=t,则CF=√5t,BC=2t, c(得s-+ o8-c=9 (9八 则r=2-手即：8-3=4， 12 点c怎-+在反比例函数y上 -+网-r9 7、(1)解：①.在图2中，四边形ABCD是正方形， .正方形ABCD的面积为S正方形=(a+b)2, ,四个基本图形的面积为4ab, ∴.S阴影=(a+b)2-4ab; ②四边形EFGH是正方形， ..EH=EF=a-b, ∴.S阴影=EH2=(a-b)2: ∴.(a+b)2-4ab=(a-b)2. (2)解：NP=a+b,MN=a+b, .四边形EFGH是正方形， ∴.S阴影=MN2-4ab=(a+b)2-4ab, 即S阴影=(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2. (3)证明：根据图形可知，AF=a+x-2b, m=S1-S2 =2b2b+bx-(a-2b+x)b-3bb =4b2+bx-(ab-2b2+bx)-3b2 =4b2 +bx-ab+2b2-bx-3b2 =3b2-ab S与x无关 A Q A D M b 2 H 图2 图3 图4 8、解：如图，设AE与CD的交点为F, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=2,AD=BC, ,·△ABC沿AC翻折至△AEC, ∴.AB=AE=2,BC=CE,∠B=∠AEC=60°， ∴.AE=CD,AD=CE, 又'DE=ED, .△ADE≌aCED(SSS), ∴∠CDE=∠AED, ..DF =EF, .AE1CD,∠AEC=60°， .∴.∠DCE=30°， .∴.CE=2EF, 又：CF=VCE2-EF2=V5EF, CD=CF+DF, ..2=3EF+EF, 解得：EF=V5-1, .BC=CE=2EF=25-1=23-2. (2)解：①如图，当∠ADE=90°时， .'∠B=∠ADC=60°， .∠CDE=30°， 由(2)可知，△ADE≌△CED, .∴.∠AED=∠CDE=30° .∴.AE=2AD .AB=2BC. AB :.BC =2 B C ②如图，当∠AED=90°时， AB 1 同理可得： E A D ③如图，当∠DAE=90°，点E在AD的上方时， 过点A作AH 1 AB,交BC于H, 四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°， .∠BAD=120°， .∴.∠BAE=∠BAD+∠DAE=210°， ·,△ABC沿AC翻折至△AEC, .∴.∠BAC=105°， AH I AB, ∴.∠HAC=15°，∠AHB=30°， .∴.∠HAC=∠HCA=15°， ..AH=HC, .AH1AB,∠AHB=30°， ∴.AH=N3AB,BH=2AB, .BC=(2+V3)AB, AB1=2-5 :B02+万 E D B H C ④如图，当∠DAE=90°，点E在AD的下方时， 同理可得： B=2+5 BC D B E 综上可得： 畏的值为2或号或2-5或25。 90Ac00日→ AB=18,原点O恰为线段AB的中点， :.04=OB=1AB=9, 2 若点C是线段OA的中点，点D在线段OB上，BD=OB 3 AC=104=4.5,BD=10B=3 2 .CD=AB-AC-BD=10.5, 即线段CD的长为10.5； (2)设线段MN的中点为点P,运动时间为t秒，则点M回到出发点需要2OA÷2=9(秒)，点N回到出 发点需要20B÷3=6(秒)， ∴.0≤t≤6， ①点M、N开始运动后，点P能与原点重合， .OA=OB=9,点M、N的速度分别为每秒2个单位长度和每秒3个单位长度， ∴点N从点B向原点O运动的过程中即0<t≤3时，点P在原点左侧，与原点不可能重合； 当点N从点O向点B返回且点M还没有到达原点O的运动过程中即3<t≤4.5时，点P能与原点重合， 此时，OM=9-2t,0N=3t-9, ,点P是线段MN的中点， ∴.点P与原点重合时，PM=OM=PN=ON,即9-2t=3t-9, 解得1=9 当点N从点O向点B返回且点M也从点O向点A返回的运动过程中即4.5<t≤6时，点P在原点的右侧， 与原点不可能重合， 综上所述，重合时的运动时间t的值为 8 ②在运动的全过程中，点P刚开始与原点重合，当t=3时，点N与原点重合， MN=OM=OA-2t=9-2×3=3, 有Mp0网 B ∴.OP=PN=一MN=1.5,即点P运动的路程为1.5个单位长度； 当3<t≤4.5时，点P从-1.5表示的点向右运动， 当t=4.5时，点M与原点重合 MN=ON=3t-OB=3×4.5-9=4.5, OP-MP-7MN-2.25, 此时，点P运动的路程为1.5+2.25=3.75（个单位长度） 当4.5<t≤6时，点M也从点0向点A返回，此时OM=2t-OA=2t-9,ON=3t-OB=3t-9, .MN=3t-9+(2t-9)=5t-18, 当t=6时，MN=5t-18=12,ON=3t-9=9, A M O P BO PN=W=6,从面0P=ON-PW=3, 此时，点P运动的路程为3-2.25=0.75（个单位长度）， 综上所述，在运动的全过程中，点P经过的总路程是1.5+3.75+0.75=6（个单位长度）绝密★启用前 第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动 (全国总决赛) (2023年8月) 温馨提示： 1、本卷共10题，第16题每小题10分，第710题每小题15分，共计120分。 2、答题前请将自已的地区、学校、姓名、试场、活动证号码写在规定的位置。 3、考试时不能使用计算工具。 4、考试完毕时试卷、答题纸和草稿纸将被收回。 题号 三 四 五 六 七 八 九 + 总分 核 得分 八年级试题（二试） (考试时间90分钟) 1、已知有理数m、n满足等式√m-2+√2-m=27-n.计算：（本小题10分） 1 1 m-1+mm-1+m+nm-1+m+n+n++m-1+m+n+n+1+n+2+…+ m-1+m+n+n+1+n+2…n+23 2、如图，己知∠AOB,M是OA上一点，N是OB上一点，OM=20,ON=30。点P从M 点出发，沿着M→0→B的方向运动，同时，点Q从N点出发，沿着N→O→A的方向运动。在射 线OA上运动时，点P和点Q每秒运动2个单位；当在射线OB上运动时，点P和点Q每秒运动 1个单位。（本小题10分） (1)点P从点M运动到点N共用多长时间？ (2)经过多少时间，有O0=OP? (3)在点P和点Q运动的过程中，存在常数a恰好有三个不同的时间使得OP-Og=a成立， 求a的值。 M B N 八年级二试试题卷第1页 3、小南帮同学小开点了一份外卖（售价小于100元），小开给小南转账还钱时，不小心将 支付金额的整数部分与小数部分数字看倒置了（例如：把27.96元看成96.27元），并按看 错的数字将钱转给了小南，小南收到后加上原有余额13.7元后，恰为外卖售价的5倍，于是 将多收的金额退还给了小开。若售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数，那么小南 退还给小开的金额是多少元？（本小题10分） 4、小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”。 为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t(单位：s) 和商度h(单位：近似满足公式1一臣 (不考虑风速的影响，g≈10m/s2,√5≈2.236)小明 查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千 克)×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害 到楼下的行人？（本小题10分） 八年级二试试题卷第2页 5、我们不妨约定：若一个关于x的一元一次方程能写成ax+b=c的形式，其中a,b,c为 常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”。满足条件的直角三角形的 面积称为此方程对应的“股雅值”。如：方程3x=1,可写成3x+4=5,3+42=52,则3,4,5 能构成直角三角形的三边，所以3x=1是一元勾股方程.此时对应的“股雅值为7×3×4=6。（本 小题10分) )者方程8x+6=c(c>8)为一元勾股方程，该方程的解为x=子，求其对应的“股雅值 (②关于x的方程、m+p=9(Vm>q>p)为一元勾股方程，其对应的股雅值”为 2 关于y的方程”+2=1无解，求原一元勾股方程的解。 y-l y k 6、如图，正比例函数y=V3x与反比例函数y,=二(x>0)的图像交于点A,另有一次函数 y=-V5x+b与X、乃图像分别交于B、C两点（点C在直线OA的上方），且OB'-BC:= 3 求k的值。（本小题10分） 八年级二试试题卷第3页 7、把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）。 (本小题15分) D S2 H 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH,用两种不同的 方法计算图中阴影部分的面积（用含α，b的代数式表示)，并写出一个等式： (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ,求阴影部分的面积（用含a,b 的代数式表示)； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个 单位后得到一个长方形图形，若AB=b,BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分 别记为S,S2,若m=S,-S2,求证：m与x无关。 八年级二试试题卷第4页 8、己知，如图1，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AEC,连 接DE。(本小题15分) D B 图1 图2 (2)若点E在直线AD下方，如图2，AB=2,AE⊥CD,求BC的长； 3)在翻折过程中，若△MD为直角三角形，求的值。 9、如图，点A,B在数轴上，AB=18,原点O恰为线段AB的中点。（本小题15分） A 0 日→ (I)若点C是线段OA的中点，点D在线段OB上，BD=OB,求线段CD的长： (2)点M从点A出发，点N从点B出发，沿数轴分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位 长度同时相向运动，到达原点后分别立即返回出发点，速度保持不变.当其中一点回到出发点 时，点M,N同时停止运动.设线段MN的中点为点P. ①点MW开始运动后，点P能否与原点重合？若能，求出重合时的运动时间1的值；若不能， 请说明理由； ②在运动的全过程中，点P经过的总路程是多少个单位长度？ (友情提示：先根据题意补齐图形，再进行计算) 八年级二试试题卷第5页 10、在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。（本小题 15分) 问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，连接EF,将 四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C、D处，设∠EFC=a。 D D D 图1 图2 图3 (I)如图I,若∠EFC=75°，AD=AB,点F为BC的中点，延长DC交AB于点P.则PC' 与PB的数量关系是一，写出图中一个30°的角：； (2)如图2，若点F为BC的中点，AD=2AB,45°<a<90°，延长DC交AB于点P.求PC 与PB的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若AB=3,AD=6,BF=1,连接CE,当点E为AD的三等分点时，直接写出 的值。 EF 手级二试试题卷第6页