2.2 有理数的乘法与除法（讲义） 2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法运算，系统构建从法则理解到运算律应用、再到混合运算与实际问题解决的学习路径，前后衔接紧密，层层递进，形成清晰的知识支架。 资料设计亮点突出，体现数学核心素养的深度融合。通过真实情境题（如废纸回收、洗衣液质量检测）培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，借助选择题和填空题强化运算能力与推理意识，以阶乘定义拓展思维深度，展现数学语言表达的严谨性。课中便于教师引导探究，课后助力学生查漏补缺，实现知识内化与能力提升的双重目标。

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 （讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 掌握有理数乘法与除法的运算法则。 2. 理解乘法运算律（交换律、结合律、分配律）在有理数范围内的适用性。 3. 熟练进行有理数的乘除混合运算，并能解决简单实际问题。 4. 明确倒数的概念，会求有理数的倒数。 知识点梳理 1. 有理数的乘法 （1）法则 · 同号两数相乘：结果为正，绝对值相乘。 例：；。 · 异号两数相乘：结果为负，绝对值相乘。 例：；。 · 任何数与0相乘：结果为0。 例：。 （2）符号规律 · 奇数个负数相乘，结果为负； · 偶数个负数相乘，结果为正。 例：（3个负数）；（2个负数）。 （3）运算律 · 交换律： · 结合律： · 分配律： 2. 有理数的除法 （1）法则 · 除以一个数等于乘它的倒数（除数不为0）。 例：；。 · 符号规则：同号得正，异号得负。 （2）倒数 · 乘积为1的两个数互为倒数。 例：的倒数是；的倒数是。 · 注意：0没有倒数。 3. 乘除混合运算 · 顺序：从左到右依次计算，或先将除法转化为乘法。 · 技巧：先确定符号，再计算绝对值；可约分时先约分。 例： 知识点总结 核心要点 关键内容 乘法法则 同号得正，异号得负；绝对值相乘；0乘任何数为0。 除法法则 转化为乘倒数；符号规则与乘法相同。 运算律 交换律、结合律、分配律均适用。 倒数 乘积为1的两个数；0无倒数。 混合运算 先统一为乘法，再按符号和绝对值计算。 巩固练习 一、选择题 1．从﹣3，﹣1，1，5，6五个数中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为a，最小值为b，则的值为（　　） A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣10 2．计算，运用哪种运算律更简便？（　　） A．加法交换律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．加法结合律 3．-的倒数是（　　） A． B．- C．2 D．-2 4．与﹣3的积为1的数是（　　） A．3 B． C．- D．-3 5．﹣0.5的倒数为（　　） A．2 B．0.5 C．-2 D． 6．计算（﹣25）÷的结果等于（　　） A．- B．-5 C．-15 D．- 7．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是 3 或－3．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．计算：（﹣）×（﹣2）的结果等于（　　） A．1 B．-1 C．4 D．- 9．计算的值为（　　） A．1 B．36 C．﹣1 D．0 二、填空题 10．如果，则的值为． 11．计算：1－2＝　 　；－[－(－0.3)]＝　 　；－3×(－2)＝　 　. 12．计算：0+（-2）=　 　，-1-1 =　 　，2×（-1）=　 　 . 13．定义一种新的运算：x❉y，则2❉-3 ＝　 　． 14．定义运算：，如．则：　 　． 15．若规定，则　 　． 16．计算：（﹣2）×（﹣）=　 　． 17．比大小：　 　（填“<”、“=”或“>”）． 18．科学家最新研究表明，吸烟会导致人的寿命减少，按天计算，平均每天吸一包烟可以导致寿命减少2小时20分，如果一个人一个月有n天每天吸一包烟，则这个月他的寿命减少了　 　 天． 19．对于有理数a、b，有如下规定：，例如，若，则　 　． 20．在计算器上，按照下面的程序进行操作 下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是　　 　 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y ﹣5 ﹣2 1 4 7 10 三、解答题 21．根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，中学生使用电子产品的时间不应超过2小时．某校想了解该校学生每天刷抖音的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天刷抖音的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据上表的数据可知该生星期三刷抖音的时间是____________小时； （2）刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多____________小时； （3）该生这一周刷抖音共用了多少小时？ 22．质量检测部门对某洗衣液厂产品进行检测，从9月份生产的洗衣液中抽出了20袋进行检测，洗衣液每袋标准质量500克，超过标准质量的部分用“+”记录，不足标准质量的部分用“-”记录，记录如下： 超过或不足（克） 0 袋数 2 1 3 8 4 2 （1）用你认为简便的方法求出这20袋洗衣液的总质量； （2）厂家规定超过或不足的部分大于4克时，不能出厂销售，若每袋洗衣液的定价为10元，请计算这20袋洗衣液中合格品的销售总金额为多少元？ （3）如果从这20袋洗衣液中任意选两袋洗衣液称重，并记两袋洗衣液质量的差的绝对值为，则可能是哪些数？你能全部写出来吗？ 23．我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： （1） （2） （3）用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 24．某自行车厂一周平均每天生产自行车200辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超计划生产量为正、不足计划生产量为负，单位：辆） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 －2 －4 +13 －10 +16 －9 （1）根据记录可知前三天共生产自行车______辆；这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； （2）若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车可得人民币60元，那么该厂工作这一周的工资总额是多少元？ 25．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足） 0 （1）请你计算七年级六班同学收集废纸的质量； （2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量； （3）若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，以内的2元/千克，超出的部分5元/千克．求废纸卖出的总价格． 参考答案 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．C 8．A 9．C 10． 11．-1；-0.3；6 12．-2；-2；-2 13． 14． 15． 16．3 17．< 18． 19． 20．+，1 21．（1）0 （2）10 （3）25小时 22．（1）10000克 （2）180元 （3）0，1，2，3，4，5，7，9 23．（1）120 （2） （3）不恒成立 24．（1）599，26 （2）84540 25．（1）六班收集废纸的质量为 （2）获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为 （3）废纸卖出的总价格为75元 学科网（北京）股份有限公司 $