专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 讲义+巩固提升训练-2026届高三数学一轮复习

专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 题型1 同角三角函数的基本关系 2 考点1 “知一求二”问题 2 考点2 关于，齐次式的求值问题 4 考点3 与关系 7 题型2 利用诱导公式化简求值 11 题型3 互余型与互补型化简求值 13 题型4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 15 高考真题演练 20 知识点一 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 ， 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切. 2.基本关系式的变形公式 知识点二 同名三角函数之间的诱导公式 1.公式一 2.公式二 3.公式三 4.公式四 5.公式一~公式四的作用： 利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。记忆口诀：“负化正，大化小，化到锐角可得值”. 知识点三 异名函数之间变换的诱导公式 1.公式五. 2.公式六. 六组诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，诱导公式可以概括为的三角函数值与角的三角函数值之间的关系： 当为偶数时，得的同名三角函数值； 当为奇数时，得的异名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”是指中的奇偶，当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦，当为偶数时，函数名不变.“符号”看的是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是的三角函数值的符号. 拓展 (1) ①当时，由诱导公式有； ②当时，由诱导公式有： (2) ①当时，由诱导公式有 ②当时，由诱导公式有 题型1 同角三角函数的基本关系 考点1 “知一求二”问题 1．（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A．0和 B． C． D．和0 4．（2025·甘肃金昌·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 考点2 关于，齐次式的求值问题 6．已知，求下列各式的值： （1）                         （2） （3） 7．我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·三模）已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点3 与关系 11．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 14．（1）已知，，则 ； （2）若，则 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 16．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型2 利用诱导公式化简求值 17．（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知角的终边经过点，则 ． 19．（1）求值：； （2）已知角 终边上的一点，求的值. 20．已知，则 ． 21．（多选）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型3 互余型与互补型化简求值 22．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025·福建莆田·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，且，则 ． 25．已知cos，且-π<α<-，则cos等于（    ） A． B．- C． D．- 26．（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 题型4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 27．已知，则（    ） A． B． C． D．2 28．设tan10°＝m，则＝ （结果用含m的式子表示）. 29．（2025高三�全国�专题练习）化简求值： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．已知. (1)已知角的终边过点，求的值； (2)若，且，求的值. 31．已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 32．如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．（2017·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 基础巩固 一、单选题 1．（2024�四川成都�二模）若角的终边位于第二象限，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】首先求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边位于第二象限且， 则，所以. 故选：D． 2．（2024�云南�一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的正弦公式及诱导公式化简，并运用齐次式运算求解. 【详解】已知, 则， . 故选：B. 3．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由正余弦的齐次式转化为正切即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4．若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为， 所以， 故选：B. 5．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可. 【详解】因为角α的终边在函数的图象上，所以， = 故选：A. 6．（2024�湖北荆州�三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 7．在中，，则为（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由通过诱导公式辅助角公式化简可得，再由 化简可得，又三角形内角和为，所以 ，进而得出结果. 【详解】由可得即，再由辅助角公式化简得即，又，所以，再由可得，所以，又 ，所以，所以，所以为直角三角形. 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、辅助角公式的化简，属于基础题. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由平方，得，即，∴，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·云南大理·模拟预测）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由，将等式两边平方可得，可判断；继而利用求得，结合选项即可逐一求解. 【详解】∵, ， 等式两边平方得 ， 解得 ∵，， ∴,A错误， 由可知， ， 且 ， 解得， 联立可得，，进而可得，故BD正确，C错误 故选：BD 11．若是第二象限角，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】判断的三角函数值符号，再利用同角公式判断作答. 【详解】由是第二象限角，得，，， 对于A，，即有，A错误； 对于B，由，即，得，B正确； 对于C，，于是，C错误； 对于D，由商数关系知，成立，D正确. 故选：BD 12．（2024·吉林·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若， 【答案】BCD 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：若，则， 且，则， ， 可得 ，所以，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 13．（2025·河北石家庄·一模）已知为第一象限角，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】由同角三角函数的平方关系可得，再由诱导公式化简即可得到结果. 【详解】因为，且为第一象限角，则， 所以. 故答案为： 14．（2025·浙江温州·模拟预测）若角的终边逆时针旋转后经过点，则 ． 【答案】/0.6 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义可得，即可根据诱导公式求解. 【详解】由题意可知， 故， 故答案为： 15．已知，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号. 【详解】设,,那么,从而. 于是.因为, 所以.由,得. 所以, 所以. 故答案为：. 四、解答题 16．已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）结合诱导公式即可对已知式子进行化简； （2）把已知角代入，结合诱导公式即可化简求解； （3）由已知结合同角基本关系即可求解． 【详解】解：（1）； （2）若，则； （3）由，可得， 因为，，所以， 所以. 17．求下列各式的值：已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式以及弦化切可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值； （2）利用诱导公式以及弦化切可得出关于的代数式，代值计算即可得解. 【详解】（1）因为， ，，即， ，则，； （2） . 18．已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、利用正切函数的单调性求参数 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，解得或， 因为，由正切函数的性质，可得，所以. （2）解：由（1）知， 又由 . 19．已知，且函数． (1)化简； (2)若，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可， （2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值 【详解】（1） ． （2）由， 平方可得， 即． ∴． 又，∴，， ∴， ∵， ∴． 能力提升 20．已知角，角，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义可求. 【详解】点到原点的距离为1，故即为， 由诱导公式得，， 故， 又，则，结合可得． 故选：A． 21．（2024�新疆乌鲁木齐�二模）已知角终边上点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解. 【详解】因为， 所以角的终边在第二象限， 又因为 ， 且， 所以. 故选：B. 22．已知为第二象限角，且满足，则 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角的三角函数关系式化简可得该式等于，结合角的范围去掉绝对值符号，即得，平方后结合二倍角正弦公式即得答案. 【详解】由题意得 ， 因为为第二象限角，，， 则有， 结合已知即得，两边同时平方得，故， 故答案为： 23．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数关系并结合的范围逐一计算判断即可. 【详解】对于A，由，得，∴ ，故A正确； 对于B，由，得，又，∴， ∴， ，故B不正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， 故选：ACD. 24．定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错. 【详解】若，则， 所以，故选项A符合条件； ，故选项B不符合条件； ，即，又，∴，故选项C不符合条件. ，即，又，∴，故选项D不符合条件； 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 题型1 同角三角函数的基本关系 2 考点1 “知一求二”问题 2 考点2 关于，齐次式的求值问题 4 考点3 与关系 7 题型2 利用诱导公式化简求值 11 题型3 互余型与互补型化简求值 13 题型4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 15 高考真题演练 20 知识点一 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 ， 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切. 2.基本关系式的变形公式 知识点二 同名三角函数之间的诱导公式 1.公式一 2.公式二 3.公式三 4.公式四 5.公式一~公式四的作用： 利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。记忆口诀：“负化正，大化小，化到锐角可得值”. 知识点三 异名函数之间变换的诱导公式 1.公式五. 2.公式六. 六组诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，诱导公式可以概括为的三角函数值与角的三角函数值之间的关系： 当为偶数时，得的同名三角函数值； 当为奇数时，得的异名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”是指中的奇偶，当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦，当为偶数时，函数名不变.“符号”看的是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是的三角函数值的符号. 拓展 (1) ①当时，由诱导公式有； ②当时，由诱导公式有： (2) ①当时，由诱导公式有 ②当时，由诱导公式有 题型1 同角三角函数的基本关系 考点1 “知一求二”问题 1．（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：D 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 3．已知，，则（    ） A．0和 B． C． D．和0 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 整理得，解得或， 由则当时，（代入条件验证矛盾舍去）， 当时，， 所以. 故选：B 4．（2025·甘肃金昌·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：C. 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、由条件等式求正、余弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由题设结合求出，，将化简代入即可. 【详解】因为，，所以， 因为为第四象限角，所以， 所以 . 故选：B. 考点2 关于，齐次式的求值问题 6．已知，求下列各式的值： （1）                         （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、利用平方关系求参数 【分析】（1）原式的分子分母同除以，再把代入求值即可； （2）原式的分子、分母同除以，再把代入求值即可； （3）把要求的式子利用“1”的代换可得， ，再把分子、分母同除以，再把代入求值即可. 【详解】（1），，分子、分母同除以，得 （2）分子、分母同除以，得. （3）将代入，得 分子、分母同除以，得 【点睛】关键点点睛：本题考查利用同角三角函数的基本关系进行齐次式的化简求值问题，其中“1”的巧用把弦化切是求解本题的关键，重点考查学生的运算能力，属于中档题，常考题型. 7．我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，分别求得，结合，求得，结合，即可求解. 【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为， 因为是直角三角形较小的锐角，所以， 可得， 则， 即， 解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 8．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先应用把已知分式转化为齐次式，再应用弦化切计算得值. 【详解】 故选：C. 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用平方关系和商数关系可求的值. 【详解】 因为，所以， 故，故 ， 而，故， 等号左边分子分母同时除以得， 解得． 故选：B. 10．（2025·山东济南·三模）已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据二倍角公式进行弦化切即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 考点3 与关系 11．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 12．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以，故B正确． 又，所以， 所以由，解得，故C错误， 所以，，故A错误，D错误， 故选：B． 13．（2025高三·全国·专题练习）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用同角三角函数关系结合已知条件求解即可. 【详解】依题意，拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， 则小正方形的边长为， 因为小正方形的面积是，所以， 因为为直角三角形中较小的锐角， ，所以， 又因为，所以，解得， 所以，即，所以， 所以， 故选：D 14．（1）已知，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 /； . 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）将已知等式两边平方求出，又，所以，，即，再利用完全平方公式计算即可求出的值； （2）方法一：由，构造，两式平方相加可求得，进而可求得； 方法二：根据题意，结合三角函数的平方关系，联立方程可求得， ，进而可求得； 方法三：令，与已知联立，可求得，，再根据三角函数的平方关系，可求得，进而可求得. 【详解】（1）由题意，所以， 解得. 又，所以，，所以， 所以， 解得． （2） 方法一： 由于，设，两式平方相加得，得到． 因此，从而，所以. 方法二： 由，得，代入， 得，即，解得， 所以，则． 方法三： 设，则，代入，得，则． 又，则，解得，即． 故答案为：（1）；（2）. 15．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】运用同角的平方和关系进行换元法，再结合二次函数的最值性质进行求解即可. 【详解】设， 则， 由， 因为，所以，解得， 所以． 因为， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值． 故函数的值域为． 故答案为： 16．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 题型2 利用诱导公式化简求值 17．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【详解】． 故选：D． 18．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以，. 故答案为：. 19．（1）求值：； （2）已知角 终边上的一点，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）先利用诱导公式化简成特殊角的三角函数，然后根据特殊角的三角函数值进行计算； （2）根据点在角终边上，计算出，再利用诱导公式化简，即可解出. 【详解】（1）原式； （2）因为点在角终边上，所以，      化简：. 20．已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式结合角之间的关系即可计算求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 21．（多选）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用三角形内角和为及诱导公式即可逐项判断． 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 题型3 互余型与互补型化简求值 22．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可． 【详解】， ． 故选：A 23．（2025·福建莆田·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】. 故选：C. 24．已知，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式和角之间的关系结合平方关系即可计算求解. 【详解】因为， 又，所以， 所以. 故答案为： 25．已知cos，且-π<α<-，则cos等于（    ） A． B．- C． D．- 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】由cos，利用诱导公式转化为cos=sin，再根据-π<α<-，利用平方关系求解. 【详解】∵cos=sin， 又-π<α<--α< ∴cos=-=- 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题. 26．（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解. 【详解】， ，． ． 故选：A 题型4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 27．已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】解：由诱导公式可得，所以，. 因此，. 故选：D. 28．设tan10°＝m，则＝ （结果用含m的式子表示）. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式可求答案. 【详解】. 故答案为： 29．（2025高三�全国�专题练习）化简求值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数基本关系、三角函数值在各象限正负及正弦余弦在的大小关系化简求值即可； 【详解】（1）原式 ； （2） ； （3）原式 ； （4）原式 ． 30．已知. (1)已知角的终边过点，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）先利用诱导公式化简，再根据定义求出； （2）利用三者之间的关系得出范围以及的值，即可求出. 【详解】（1）因， 又角的终边过点，则， 故. （2）①， 则， 则， 因，则，又，则， 故，②， 由①②解得，故. 31．已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得； （2）由齐次式可得； （3）由同角三角函数得，根据诱导公式可得，进而可得. 【详解】（1）. （2）由得， 故. （3）由得，故， 又，故， 当为第一、四象限角时，， 当为第二、三象限角时，， 因， 故当为第一、四象限角时，， 当为第二、三象限角时，， 32．如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得. 【详解】（1）因为在单位圆上，且位于第一象限， 所以且，解得，所以， 所以，； （2）因为的面积是的面积的倍， 所以， 又，所以，即，又， 解得或（舍去）； 所以. 一、单选题 1．（2017·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出的值. 【详解】∵， ∴，∴． 故选：D. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 5．（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 二、填空题 6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 基础巩固 一、单选题 1.(2024四川成都？二模)若角a的终边位于第二象限，且sma分：则sn(?-a（） A. B C.3 D.-3 5π 2sin a+ 2.(2024?云南？一模)己知tan=-3,则 6 =() 2sin +a -sin(a-πj 2 A.-3-√3 B.-1-33 C.1-35 D.1+3V5 5 5 3.(25-26高三上广东肇庆阶段练习)已知ana:-2,则sina+2cosa的值为（) sin'a-2cos'a B.- 1 C.3 D.-3 3 ,π1 a+63则cosa+ 4.若sina+ 2π () 3 1 A3 1 B.- 3 c. 9 5.已知角a的终边在函数y=2x的图象上，则1-2 sina cosa-3cos2a的值为(） A号 B.± C.-2 D.±2 5 6。(2024?潮光荆州？三梭)已知sm0+c0s0=了，则s加0-cos0的值为{) B 7 13 C.±7 13 D.±7 13 7.在ABC中，√3sin (经-A=3sinx-0,cos4=-5co红-8)则48c为（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8,(2025高三全国专题练习)已知sin0+cos0=,0e0,,则下列等式错误的是( A.sin0 cos0=-12 7 5 B.sine-cos0-5 C.tan0=-3 4 D.sin0-cos20=7 25 二、多选题 9.(2025·云南大理模拟预测)已知角α的终边经过点P(3,-4),则() A.sina=4 B.tana= 4 3 C.cos元+a三-/ D.cos 10,已知9e(@,x,n6+cos0=},则下列结论正确的是（) A.0∈0， B.cos0=-3 5 C.tan0=_3 4 D.sino-cos0- 11.若a是第二象限角，则下列各式中成立的是() A.tana=- sina cosa B.cosa =-v1-sin2a C.sina =-v1-cos2a sina D.tana=- osa 12.(2024吉林模拟预测)已知sin + π， 2 则下列说法正确的是() D.若ae0,,cosa=25-5 6 三、填空趣 13.(2025河北石家庄一模)已知a为第一象限角，sina 14。(2025浙江温州楼拟预测)若角a的终边逆时针旋转号后经过点-3，)，则snQ一君)一 15.已知sim53p-a-3且-210<a<-90,则sin37+a)=一 2 四、解答题 16.已知fc)= in(a-3n)cos(2r-a)sin( cos(-π-a)sin(-π-a) (1)化简f(a): K2)指a=-r，求f)的值： 求f(a)的值， 17.求下列各式的值：已知经-0jor+0)小-号且09号 (1)求tan0的值； 2求om(+0sm0-别[sm3s-0-2osr+o]的 3 18.己知 江<a<元，tana+ 1-10 4 tana 3 (I)求tana的值； (2)求2sin2a-sina cosa-3cos2a的值. 19.已知-<a<0,且函数f(a)=co 1+cos0-1. (3x+a-sina1-cosa 2 (1)化简f(a); (2若fa)-写'求si和sina-cosa的值. 能力提升 20.已知角0∈ 2元角a∈(0,2m,a终边上有一点(-sin0,cos9),则a=（) A.0+π B.0+ 3π 2 D.Sx 4 21.(2024?新疆乌鲁木齐？二模)己知角a(0°<a<360)终边上A点坐标为(sin310°，cos310),则= () A.130° B.140° C.220° D.230 22.已知o为第二象限角，且满足sina, 1-cosa 1-sina 7 1+cosa +cosa =,则sin2a=__ V1+sina 5 23.（多选)已知sina+cosa sina-cosa a<则) 3,-π A.tana =2 B.sina-cosa=5 、3 1-2sinacosa 1 C.sin"'a-cos"a = D. sin'a-cos'a 3 4,下列角B中， 1 定义：角0与9都是任意角，若满足0+0=)，则称0与9“广义互余”.已知sn 可能与角a“广义互余”的是()， A.sin B=15 4 B.cor+B)=C.mB=西 5 D.tanB=is 15