2.2.1基本不等式的应用 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦基本不等式的应用，围绕“积定和最小”与“和定积最大”两类最值模型展开，通过问题链引导学生从实际情境中抽象出数量关系，建立数学模型，实现从生活问题到数学问题的转化，形成清晰的学习支架。 本资料突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。例如例3通过矩形篱笆长度与面积的优化问题，让学生用数学眼光发现定值条件，用数学思维分析变量关系，用数学语言表达求解步骤，强化模型意识。环节四小结提炼出“转化—识别—求解—回归”四步法，帮助学生构建结构化认知体系，既提升解题能力又发展理性思维。对学生而言，能增强建模意识和逻辑推理能力，对教师而言，提供可复制、可迁移的教学范式，助力课堂提质增效。

2.2.1 基本不等式的应用 教学目标 能利用基本不等式模型去理解和识别实际问题中的数量关系，判断它们是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题，如果符合，将其转化为基本不等式的数学模型解决，提高用模型思想解决问题的能力。 教学重点与难点 （1）教学重点：建立基本不等式模型解决简单的最值问题. （2）教学难点：判断实际问题中的最值问题是否可以用基本等式模型求解. 教学过程设计 环节一 创设情境，提出问题 问题1：上节课我们研究了基本不等式的结构特性，知道它是解决最值问题的有力工具，你能说说基本不等式可解决哪几类最值问题？ 【模型（1）“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值”，模型（2）“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值”】 追问：你认为用基本不等式模型求最值需要注意什么？ 【师生总结利用基本不等式时要注意：（1）两个变量均为正数是前提，（2）发现定值是关键，（3）验证等号成立是取到最值的必要条件.一定要注意判断问题中的数量关系是否属于用基本不等式模型能够求解的最值问题.】 环节二 抽象概念，内涵辨析 例3 （1）用禽笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篙笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m 的篱笆围一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？ 【预设一：设矩形菜园相邻两边的长分别为x m和y m. （1）已知xy=100，求2(x+y）的最小值； （2）已知2（x＋y）=36，求xy的最大值. 预设二：（1）设矩形菜园的长为x m，则宽为 m，求的最小值； （2）设矩形菜园的长为x m，则宽为（18-x ）m，求x（18-x）的最大值.】 追问2:上述问题能用基本不等式的数学模型求解吗？如何求解？ 追问3: 你能归纳基本不等式模型解决实际问题的一般步骤吗？ 【学生思考、讨论交流，教师进行补充完善： （1）转化问题：假设变量，将实际问题转化成数学问题； （2）分析模型：识别题目中的数量关系是否可以用基本不等式模型求解； （3） 求解模型：分析、求解数学模型，利用基本不等式模型求最值； （4）回归问题：用数学模型的解来解释实际问题.】 环节三 例题练习，巩固理解 例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积 4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【教师提问引导学生从基本不等式模型解决实际问题步骤的角度进行思考.】 追问1： 水池的总造价由什么确定？ 2 追问2 如何求水池的总造价？ 【学生思考回答，教师关注学生的表达.设贮水池底相邻两边的长分别为x m 和y m，水池的总造价为z元，于是==240000+720（x+y).】 追问3: 此问题能用基本不等式的数学模型求解吗？ 【该问题其本质是已知两正数积xy=1600为定值，求和x+y的最小值，符合基本不等式模型特点.】 环节四 小结提升，形成结构 问题2 回顾本单元的学习过程，回答下列问题： （1） 基本不等式模型解决实际问题的一般步骤是怎样的？需要注意哪些问题？ （2）你如何理解基本不等式的“基本”？你能说一说它的重要性吗？ 【学生回顾、整理，代表发言，在此基础上师生一起总结： （1）基本不等式模型解决实际问题其本质是基本不等式作为工具优越性的体现，解题活动要把握好几个基本步骤和要点：首先要认真审题，把实际问题转化成数学问题；其次是识别题中的数量关系是否可以用基本不等式模型求解；再利用基本不等式求解；最后要注意回归实际问题.在新知识的教学中，以“简单”题目为载体，让学生在模式化的分析过程中养成良好的数学模型意识，这对后续灵活应用非常有必要. （2）基本不等式是一个基本的代数公式，有各种变形及其推广，涉及很多领域，有广泛的应用；基本不 等式的研究路径和方法、基本不等式作为工具的模型意识等都需要我们仔细去体会和感悟。】 环节五 目标检测，检验效果 1. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m. 当这个矩形的边长为多少时， 菜园的面积最大？最大面积是多少？ 2. 做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 【设计意图 检测学生利用基本不等式模型解决实际问题的能力.】 环节六 布置作业，应用迁移 作业1：教材第48页习题2.2第3、6题. 作业 2：教材第49页习题2.2第7、8题. 学科网（北京）股份有限公司 $