2.2.1基本不等式的应用 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.1  基本不等式的应用

教学目标

能利用基本不等式模型去理解和识别实际问题中的数量关系，判断它们是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题，如果符合，将其转化为基本不等式的数学模型解决，提高用模型思想解决问题的能力。

 

教学重点与难点

（1）教学重点：建立基本不等式模型解决简单的最值问题.

（2）教学难点：判断实际问题中的最值问题是否可以用基本等式模型求解.

 

 

教学过程设计

环节一 创设情境，提出问题

问题1：上节课我们研究了基本不等式的结构特性，知道它是解决最值问题的有力工具，你能说说基本不等式可解决哪几类最值问题？

【模型（1）“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值”，模型（2）“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值”】

 

追问：你认为用基本不等式模型求最值需要注意什么？

【师生总结利用基本不等式时要注意：（1）两个变量均为正数是前提，（2）发现定值是关键，（3）验证等号成立是取到最值的必要条件.一定要注意判断问题中的数量关系是否属于用基本不等式模型能够求解的最值问题.】

 

 

 

环节二 抽象概念，内涵辨析

例3  （1）用禽笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篙笆最短？最短篱笆的长度是多少？

     （2）用一段长为36 m 的篱笆围一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大

面积是多少？

【预设一：设矩形菜园相邻两边的长分别为x m和y m.

（1）已知xy=100，求2(x+y）的最小值；

（2）已知2（x＋y）=36，求xy的最大值.

预设二：（1）设矩形菜园的长为x m，则宽为 m，求的最小值；

（2）设矩形菜园的长为x m，则宽为（18-x ）m，求x（18-x）的最大值.】

 

追问2:上述问题能用基本不等式的数学模型求解吗？如何求解？

 

追问3: 你能归纳基本不等式模型解决实际问题的一般步骤吗？

【学生思考、讨论交流，教师进行补充完善：

（1）转化问题：假设变量，将实际问题转化成数学问题；

（2）分析模型：识别题目中的数量关系是否可以用基本不等式模型求解；

（3） 求解模型：分析、求解数学模型，利用基本不等式模型求最值；

（4）回归问题：用数学模型的解来解释实际问题.】