4.1正弦和余弦课后培优提升训练 2025-2026学年湘教版（2012）九年级数学上册

4.1正弦和余弦课后培优提升训练湘教版2025一2026学年九年级数学上册 一、选择题 1,如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则sinB的值是() 月 c D.3 2.如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC,连接DE,AF, DE与AF相交于点G,连接BG,若AB=8,BC=12,则cos∠GBF的值为() A.10 B.310 1 10 10 c.3 D3 3.如图，己知等腰梯形ABCD,腰AB=CD=m,对角线AC⊥BD,且梯形的面积为m2, 则sin∠ABC的值等于() A. C.② D. 2 2 第1题图 第2题图 第3题图 4.如图，在ABC中，AB=AC=7,BC=10,则sinB的值为() A.26 B.2V6 7 5 c. D 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为BC边上的中线.若AC=3,CD=2,则 sin∠B的值为() A B c D 6.在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则sinB的值为() A. B.3 C.v② D. 5 2 2 第4题图 第5题图 第6题图 7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.己知CD=2,AC=3,则cos∠BCD的 值是() B c. D. 3 4 8.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示， 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积 是100，小正方形面积是4，则cos0-sin0=() 4 4 A.25 B.5 C. D. 5 5 第7题图 第8题图 第9题图 二、填空题 9.如图，sin∠ACB的值为 10.中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一、三国时期赵爽创制了“勾股圆方 图”（如图）.证明了勾股定理.在这幅“勾股圆方图中，大正方形ABCD是由4个全等的直 角三角形和中间的小正方形EFGH组成的.连接AG,若AB=17,EF=7,则si∠GAF的 值为 1.如图，在4BC中，∠C=90,D为边BC上的一点，BD=2CD,AB=9,simB=名.则 3 AD=· 12.如图，点A在反比例函数y=-4(x<0的图象上，点B在反比例函数y=6(x>0)的图 Y 象上，且∠A0B=90°，cos∠0AB= B 第10题图 第11题图 第12题图 三、解答题 13.如图，在ABC中，∠B=36°，AB=AC=BD=1, (1)求DC的长. (2)利用此图求sin18°的精确值. 14.如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上 一点，连接BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF, (I)判断AF与BE的位置关系，并说明理由， (2)若AB=3,AD=5,DF=BF,求DE的长. 、5 (③)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BF时，求以下值. ①求 的值： AD ②求sin∠EBD的值. 图1 图2 15.如图，在ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD CD BD (I)求∠ACB的大小： (2)若AC=20,BD=9,求∠A的余弦值. B 16.如图，菱形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧， 两弧交于点E· (I)求证：DE⊥AB; g随结c,者装有家ow2C的收 E 17.如图，在ABC中，AB=AC=10,点D在边BC上，且BD=BC=4,连结AD. 31 (1)求AD的长 (2)求sin ZBAD的值. B D 18.如图，AC为矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作AC的垂线，分别交BC,AD于 E,F,连接AE,CF. (I)求证：四边形AECF为菱形； (2)若AD=6,AB=4,求cos∠CFD的值 F 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.A 5.c 6.C 7.D 8.B 二、填空题 9.10W221 221 10. 7V274 274 11.√41 12.10 5 三、解答题 13.【解】(1)解：：∠B=36°，AB=AC=BD=1, ∠C-∠B=36,∠BDA=∠B1DI80e-∠B=72, :∠DAC=180°-∠B-∠BAD-∠C=36°， ∠DAC=∠B, :∠C=LC, aADC∽aBAC, 、、DCAC,DC 1 AC BC 1DC+1’ .DCx(DC+1)=1, DC=-+5 2 DC,=-5 2 (舍去) DC=-1+5 2 (2)解：过点B作BE⊥AD,交AD于点E, AB=BD =1, :∠ABE=∠ABC=18,AE=DE=AD, 2 2 E ∠DAC=∠C, D DC=AD=2DE=-1+5 2 “DE=l+V5 4 sin∠DBE=simI8°=DE=-1+v5 BD 4 14.【解】(1)解：AF⊥BE, 理由：：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°， LABE+∠AEB=90°. :∠ABE=∠DAF, :∠DAF+LAEB=90°， ∠A0E=90°， AF⊥BE: (2)如图1，延长AF交CD于点G, 图1 :四边形ABCD是矩形， AB∥CD,∠BAD=∠ADG=90°， “ABBF2DG=)AB=3 DG DF 1 △GFD∽△AFB, 2 2 :∠BAD=LADG=90°，∠ABE=∠DAF, 6406,小8.4-0G 10 DE=AD-AE=5-9=41. 1010 (3)设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=a, ①如图2，延长AF交CD于点G, :四边形ABCD是正方形，LBAD=∠ADG=90°，AB∥CD, △GFD∽△AFB, .DG=FG_DF 1 AB AF BF 2 1 DG-AB24= , 4G-JAD+DG= -a, 2 F=4G=5 a, 3 3 图2 5a 3-V5: AD a 3 2V ②：BD=E4B:a,BF-2D -a, 3 3 在△ABE与△DAG中， ∠ABE=∠DAG AB=AD ∠BAE=∠ADG △ABE≌△DAG(ASA), 4E=DG=0,6E=46=5 , .AO=AB.AE 5 a. BE 你 3a, :0F=AF-A0=5。-5,25 3 150, 2v5 ·sin∠EBD=OF 15a 10 BF 2W2 10 3 15.【解】(1)解：CD是边AB上的高， .∠CDA=∠CDB=90°， AD_CD ·CDBD .△ACD∽△CBD, :ZA Z D CB, :∠A+∠ACD=909, LDCB+LACD=90°，即LACB=90°： (2)解：由(1)证得∠ACB=90°， :ZACB ZADC, 又：∠A=LA, △ABCn△ACD, :4C=B AD AC .AC2=AB.AD, AC=20,BD=9,AB=AD+BD, 202=(AD+9AD, 解得：AD=16或AD=-25(负值舍去) AB=AD+BD=16+9=25, cos∠A=AC-204 AB255 16.【解】(1)证明：连接BD, BD BE,AD AE, :AB为DE的中垂线， DE⊥AB; （2)解：如图，连接AC, :AB为DE的中垂线， ∴.∠ABD=∠ABE, :菱形ABCD, AB=BC,LABD=∠CBD, :ZABC ZDBE AB_BC ·EBBD .△ABC∽△EBD, 0台 设AF=x,AD=5a=AB,则BD=4a,BF=5a-x, 则5a)2-x2=(4a)2-(5a-x)月 解得x=3.4a, ·c0s∠C=cos∠DAB=3.40-17 5a25 17.【解】(1)解：过点A作AH⊥BC于点H,如图. BD=-BC=4, 3 .BC=12, 又：AB=AC=10, :BH =HC=6,DH=2. E人 B :在Rt△ABH中，AH=√AB2-BH2=V102-62=8, D 在RtADH中，AD=√AH2+DH2=V82+22=27. (2)解：过点D作DE⊥AB于点E,如图. 由已知可得：Sc=)×12x8=48, 2 BD=写C, 5a48n-35a4c=16, 1x10-DE=16, DE=16 5 16 sin∠BAD= DE_5817. AD2W1785 18.【解】(1)：四边形ABCD为矩形， .ADI BC, :∠FA0=∠ECO,∠OFA=∠0EC, :0为AC中点， 0A=0C, .△0OFA≌△OEC(AAS, 0F=0E, .四边形AECF是平行四边形， :AC⊥EF, :四边形AECF为菱形； (2):四边形ABCD为矩形，AD=6,AB=4, :CD=AB=4, 设DF=x 由(1)知：CF=AF=AD-DF=6-x, Rt△CDF中，DF2+CD2=CF2, 即x2+42=(6-x)2, 潮将月 Cr=6313 :DF=5 33 5 cos∠CFD=DF=3、5 FC1313 3