专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 6大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间中的平行、垂直关系 考点04 空间中的线面角 考点05 空间中的平面与平面的夹角 考点06 空间中的距离问题 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州·期中)在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：． 故选：C. 2．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的平行、垂直关系可得，进而可求，结合空间向量的模长公式运算求解. 【详解】因为，，则，解得， 则可得, 所以 故选：D. 3．(24-25高二上·青海海南州·期中)已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 4．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期中)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正八面体的性质得到，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可. 【详解】 由正八面体的性质可得，，则 . 故选：A. 二、多选题 5．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】利用基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】以为基底，分别记为，易知， 设， 则. 易知BC符合题意. 故选：BC 三、解答题 6．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 7．(24-25高二上·青海西宁大通回族土族自治县朔山中学·期中)（1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 【答案】（1）  （2）. 【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长. （2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】由题意得为中点，所以， 又因为，所以， 所以，故A项正确. 故选：A.    2．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为 . 故选：D 3．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)在三棱锥中，E为OA的中点，，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合向量的线性表示，以为基底表示，再由空间向量基本定理可求． 【详解】由题意得，，， ， ， ， ， ． ， ． 故选：B． 二、多选题 4．(24-25高二上·青海海南州·期中)如图，在棱长为3的正四面体中，O为△ABC的中心，D为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据向量的线性运算求解；对于B：根据正四面体的结构运算求解；对于CD：根据向量的数量积运算求解即可. 【详解】连接，，， 对于选项A：因为 ， ，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项CD： ，故C错误，D正确； 故选：ABD. 三、解答题 5．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，.    (1)分别用，，来表示向量，； (2)若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算计算即可； （2）利用空间向量的数量积运算律计算即可. 【详解】（1）由题意可知， ； （2）由（1）可知， 若，，是两两垂直的单位向量，则， 所以. 地 城 考点03 空间中的平行、垂直关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标关系，夹角公式及法向量的特点可以判断选项. 【详解】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 二、多选题 3．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期中)向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 4．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（   ） A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为1 【答案】AC 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积为，是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 5．(24-25高二上·宁夏普通高中·期中)如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，M在上，，，，则（   ） A．直线，是异面直线 B． C．二面角的正弦值为 D．平面截长方体的截面面积为 【答案】BD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，对于A，由得，，，四点共面，即可判断；对于B，利用空间向量证明直线平面，即可判断；对于C，利用空间向量计算二面角的正弦值，即可判断；对于D，先证明四边形为平行四边形，再利用空间向量计算的正弦值，最后计算面积，即可判断. 【详解】 根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，，，，， 所以，，所以，则， 所以，，，四点共面，所以直线，是异面直线不成立，故A不正确； 对于B，，所以，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，所以，又， 所以直线平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则，，所以， ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，所以， 设二面角为，所以， 所以二面角的正弦值为，故C不正确； 对于D，由（1）知，，，四点共面， 则平面截长方体的截面为四边形， 又，，，所以四边形为平行四边形， 因为，，所以，， 所以平行四边形的面积为，故D正确. 故选：BD. 地 城 考点04 空间中的线面角 1．(24-25高二上·宁夏普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接BD交AC与O，连接，构造三角形中位线即可求得；（2）根据面面垂直的性质定理可以证得线面垂直，进而得到线线垂直，再结合正三角形三线合一可以求得；（3）建立空间直角坐标系即可求得. 【详解】（1）连接BD交AC与O，连接，如图所示： 因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面底面， 平面底面， ，所以平面，所以， 因为侧面是正三角形，M是的中点，所以， 因为 ，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （3）过点P作PF垂直于AD，因为侧面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在点建立空间直角坐标系，取的中点E，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设底面正方形的边长为2， 则，，， 由第二问可知，即为平面的法向量，，， ，直线与平面所成角的大小为. 2．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第一完全中学·期中)如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2）由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 3.(23-24高二上·宁夏银川景博中学·期中)在四棱锥ABCDE中，AC，BC，CD两两垂直，，，.    (1)求证：DE⊥平面ACE； (2)求直线BD与平面ACE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先证明出AC⊥DE，DE⊥CE，由线面垂直的判定定理证明出DE⊥平面ACE； （2）因为AC，BC，CD两两垂直，以点C为原点，直线CA,CB,CD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）证明：因为AC，BC，CD两两垂直，，面BCDE，面BCDE，所以AC⊥平面BCDE. 因为平面BCDE，所以AC⊥DE. 在直角梯形BCDE中，连结CE.    由且，， 可得，，所以DE⊥CE. 因为，面ACE，面ACE，所以DE⊥平面ACE. （2）因为AC，BC，CD两两垂直，以点C为原点，直线CA，CB，CD分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，    则，，，，， 所以，，， 设平面ACE的法向量为，则有，得， 取，得， 设直线BD与平面ACE所成角为， 则． 所以直线BD与平面ACE所成角的正弦值为. 4．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，此时 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，    可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 地 城 考点05 空间中的平面与平面的夹角 1．(24-25高二上·青海西宁沈那中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，求平面法向量，利用法向量和的关系可得线面垂直. （2）求两个平面的法向量，利用公式可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）    以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， 由得，平面. （2）由题意得，，， 设平面的法向量为， 则，取， ∴， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值，再利用余弦值求正弦值即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，则， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故， 因平面，所以平面， 而平面，故，而， 故以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故， 故平面与平面夹角的正弦值为. 3．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县朔山中学·期中 )如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点    (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）取中点，连接，．    在中，，分别为，的中点，则，， 因为，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面． （2）因为平面，平面， 则，，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，        取的中点，连接， 因为，，则，. 又因为，所以四边形为矩形， 且，可知四边形是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，，     设平面的法向量为，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为， 易知为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 4．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)在矩形中，，点P是线段的中点，将沿折起到位置（如图），使得平面平面，点Q是线段的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，得到线线平行，得到线面平行； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点Q是线段的中点，所以，且， 又因为点P是线段的中点，故， 又四边形为矩形，所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，取的中点，连接， 因为矩形中，，点P是线段的中点， 所以四边形为正方形，故⊥， 因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面，⊥， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 即两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，    设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面与平面所成角为， 则. 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)如图．在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．    (1)求证：平面； (2)求面与面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于，易证，由线面平行的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面与面所成角的余弦值． 【详解】（1）连接交于，底面是矩形，故是的中点， 为中点，则，面，面， 所以平面；    （2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系， 所以，则， 若为面的一个法向量，则， 令，则，又为面的一个法向量， 所以，故面与面所成角的余弦值为.    6．(24-25高二上·宁夏银川一中·期中)如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点. (1)若，求证：平面平面PED； (2)平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理，再结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，利用向量法求出平面PED和平面ABCD的夹角的余弦值，直线BC与平面PED所成角的正弦值，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 若，则由题意得， 所以， 所以，即， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2），所以， 所以，即， 又由（1）知平面， 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设，， 则， 所以，所以， 为平面ABCD的法向量， ，， 设平面的法向量为， 则， 可取， 平面PED和平面ABCD的夹角为， 所以 ， 直线BC与平面PED所成角为， 所以 ， 所以， 因为， 所以. 7．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)如图，在三棱柱中，侧面正方形的中心为点M，平面，且，，点E满足.    (1)若，求证面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据几何体特征，由中位线定理利用线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）建立以M为原点的空间直角坐标系，利用空间向量分别求得平面与平面的法向量，再由余弦值即可求得或. 【详解】（1）因为，，可得点E是的中点， 又因为M是的中点， 所以， 又面，面， 所以面. （2）因为是正方形，所以，且平面， 平面，所以两两垂直， 以M为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：    由题意知，， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，即平面的法向量为， 因为，所以， 则，， 设面的法向量为， 则，令，可得法向量为， 所以， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 可得， 则或 8．(23-24高二上·宁夏银川一中·期中)如图，在四棱柱中，，，平面平面，. (1)求证：平面； (2)若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由平面平面，证明平面，得，又，可证明平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值. 【详解】（1）连接，设， 由，，得是线段的垂直平分线，即有， 平面平面，平面平面，平面，于是平面， 而平面，则，又，平面，， 所以平面. （2）由，得，又，，，则， 于是，又，，则以为正交基底，建立空间直角坐标系， 在中，为中点，即有， 由平面，得为与平面所成角，即，有， 则，，，，， 由平面，平面，得， 又，平面，，则平面， 于是平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角余弦值为. 9．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； (3)（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii）. 【分析】（1）求出直线的一个法向量和平面的一个方向向量的坐标，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的余弦值； （2）求出平面内的一点的坐标以及平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角. 【详解】（1）由题意可知，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以. 因此，直线与平面所成角的余弦值为. （2）因为平面的点法式方程可表示为，在平面内取一点， 平面的一个法向量为，且， 所以点到平面的距离为. （3）（i）建立空间直角坐标系，先分别画平面， 然后得到几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体， 故几何体的体积为. （ii）的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，，，得， 画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面，得二面角， 所以两个平面的法向量分别为，， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 地 城 考点06 空间中的距离问题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行； （2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （3）利用空间向量点面距离公式求解即可. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）由题得，，则， 由（2）知平面的一个法向量， 则点到平面的距离为. 2．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PD的中点，F在线段PC上，且. (1)求证：平面PCD； (2)求CB与平面AEF所成角的正弦值. (3)求点C到平面AEF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直，得到，结合三线合一得到，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，由求出的坐标，进而求出平面AEF的法向量，利用线面角的正弦公式求出答案； （3）在（2）的基础上，利用点到平面距离公式求出答案. 【详解】（1）∵面，平面， ∴， 又∵，，平面， ∴面， ∵平面， ∴ 又∵E是中点，， ∴， ∵，平面， ∴面PCD； （2）取BC中点G，连接AG， 因为，， 所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 故， 因为，所以， 以A为原点，以AG所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立如图所示坐标系. 所以，，，，，设， 由得，即， 解得，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为， 由，令得，， ∴， ∵， ∴； （3），平面AEF的法向量为， ∴， 故点C到平面AEF的距离为 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 6大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间中的平行、垂直关系 考点04 空间中的线面角 考点05 空间中的平面与平面的夹角 考点06 空间中的距离问题 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州·期中)在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 3．(24-25高二上·青海海南州·期中)已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期中)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（    ） A． B． C． D．2 三、解答题 6．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 7．(24-25高二上·青海西宁大通回族土族自治县朔山中学·期中)（1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)在三棱锥中，E为OA的中点，，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二上·青海海南州·期中)如图，在棱长为3的正四面体中，O为△ABC的中心，D为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题 5．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，.    (1)分别用，，来表示向量，； (2)若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积. 地 城 考点03 空间中的平行、垂直关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 二、多选题 3．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期中)向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（   ） A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为1 5．(24-25高二上·宁夏普通高中·期中)如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，M在上，，，，则（   ） A．直线，是异面直线 B． C．二面角的正弦值为 D．平面截长方体的截面面积为 地 城 考点04 空间中的线面角 1．(24-25高二上·宁夏普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 2．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第一完全中学·期中)如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 3.(23-24高二上·宁夏银川景博中学·期中)在四棱锥ABCDE中，AC，BC，CD两两垂直，，，.    (1)求证：DE⊥平面ACE； (2)求直线BD与平面ACE所成角的正弦值. 4．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 地 城 考点05 空间中的平面与平面的夹角 1．(24-25高二上·青海西宁沈那中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 3．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县朔山中学·期中 )如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点    (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； 4．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)在矩形中，，点P是线段的中点，将沿折起到位置（如图），使得平面平面，点Q是线段的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)如图．在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．    (1)求证：平面； (2)求面与面所成角的余弦值． 6．(24-25高二上·宁夏银川一中·期中)如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点. (1)若，求证：平面平面PED； (2)平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值. 7．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)如图，在三棱柱中，侧面正方形的中心为点M，平面，且，，点E满足.    (1)若，求证面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 8．(23-24高二上·宁夏银川一中·期中)如图，在四棱柱中，，，平面平面，. (1)求证：平面； (2)若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值. 9．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； (3)（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 地 城 考点06 空间中的距离问题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段的中点，求点到平面的距离. 2．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PD的中点，F在线段PC上，且. (1)求证：平面PCD； (2)求CB与平面AEF所成角的正弦值. (3)求点C到平面AEF的距离. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $