第二十一章 一元二次方程全章压轴突破7个专题（50题）（必考点分类集训）-2025-2026学年人教版九年级数学上册必考点分类集训系列

第二十一章 一元二次方程全章压轴突破7个专题（50题） 【人教版2024】 压轴突破1 利用根与系数的关系求代数式的值 1 压轴突破2 构造一元二次方程 5 压轴突破3 判断一元二次方程根的情况 9 压轴突破4 巧求一元二次方程的根 15 压轴突破5 一元二次方程多结论判断 18 压轴突破6 一元二次方程新定义问题 24 压轴突破7 一元二次方程解动点问题 32 压轴突破1 利用根与系数的关系求代数式的值 1．已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则a2﹣2024a　 　 ． 【分析】先把把x＝a代入方程x2﹣2025x+1＝0得a2﹣2025a+1＝0，从而求出，然后把所求代数式拆成的形式，把所求的式子代入进行计算即可． 【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣2025x+1＝0得：a2﹣2025a+1＝0， ∴a2﹣2025a＝﹣1，a2+1＝2025a， ∴， ∴a2﹣2024a ＝﹣1+2025 ＝2024， 故答案为：2024． 2．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 【分析】由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，利用一元二次方程的解，可得出m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，进而可得出m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1，再将其代入原式（n2﹣2n）中，即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0， ∴m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1， ∴原式（n2﹣2n）1＝2+1＝3． 故答案为：3． 3．已知m是方程x2+x﹣3＝0的根，则m3﹣2m2﹣6m﹣2016的值为 　 　 ． 【分析】由条件可得m2+m＝3，m2＝3﹣m，再代入代数式m3﹣2m2﹣6m﹣2016逐步计算即可． 【解答】解：根据题意可知，m2+m﹣3＝0， ∴m2+m＝3，m2＝3﹣m． 原式＝（3﹣m）m﹣2m2﹣6m﹣2016 ＝﹣3m2﹣3m﹣2016 ＝﹣3（m2+m）﹣2016 ＝﹣3×3﹣2016 ＝﹣2025． 故答案为：﹣2025． 4．若x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解，则2a3﹣7a2+4a的值为　 　 ． 【分析】根据题意可得：a2﹣2a﹣1＝0，从而可得a2＝2a+1，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2＝2a+1， ∴2a3﹣7a2+4a ＝2a（2a+1）﹣7（2a+1）+4a ＝4a2+2a﹣14a﹣7+4a ＝4a2﹣8a﹣7 ＝4（2a+1）﹣8a﹣7 ＝8a+4﹣8a﹣7 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 5．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　 　 ． 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2+3m＝2025，再将其代入原式＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+3m﹣2025＝0， ∴m2+3m＝2025， ∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣2028m+2025 ＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025 ＝2025m﹣m2﹣2028m+2025 ＝﹣m2﹣3m+2025 ＝﹣（m2+3m）+2025 ＝﹣2025+2025 ＝0． 故答案为：0． 6．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据根与系数的关系得到αβ＝1，通过根的定义得到α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，即可得到1+2024α+α2＝α，1+2025β+β2＝2β，进一步即可求出答案． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根， ∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0， （1+2024α+α2）（1+2025β+β2） ＝a•2β ＝2αβ ＝2×1 ＝2． 故选：C． 7．已知α，β是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则式子α4﹣3β的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到α2＝1﹣α．再把等式两边平方，这样可用α表示出α4，所以α4﹣3β＝2﹣3（α+β），接着根据根与系数的关系得到α+β＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2+x﹣1＝0的实数根， ∴α2+α﹣1＝0， ∴α2＝1﹣α， ∴（α2）2＝（1﹣α）2， 即α4＝1﹣2α+α2＝1﹣2α+1﹣α＝2﹣3α， ∴α4﹣3β＝2﹣3α﹣3β＝2﹣3（α+β）， ∵α，β是方程x2+x﹣1＝0的两个实数， ∴α+β＝﹣1， ∴α4﹣3β＝2﹣3×（﹣1）＝5． 故选：C． 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1， 4049， 故选：A． 9．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 【分析】先根据α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，得出α2+α﹣2023＝0，α+β＝﹣1，整体代入求出结果即可． 【解答】解：由条件可知α2+α﹣2023＝0，α+β＝﹣1， 即α2+α＝2023， ∴α2﹣α﹣2β+3 ＝α2+α﹣2α﹣2β+3 ＝α2+α﹣2（α+β）+3 ＝2023﹣2×（﹣1）+3 ＝2023+2+3 ＝2028． 故选：A． 10．关于x的方程x2+4n（x+1）﹣8n﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1﹣x2＝10，则n的值为（　　） A．2或3 B．3或﹣2 C．﹣3或2 D．﹣3或﹣2 【分析】根据方程根与系数的关系求出x1+x2＝﹣4n，x1x2＝﹣4n﹣1，再根据4x1x2得到一个关于n的一元二次方程，解一元二次方程即可求出答案． 【解答】解：在一元二次方程中，x1+x2，x1x2， x2+4n（x+1）﹣8n﹣1＝0即为x2+4nx﹣4n﹣1＝0， a＝1，b＝4n，c＝﹣4n﹣1， ∴x1+x2＝﹣4n，x1x2＝﹣4n﹣1， 4x1x2， ∴16n2﹣100＝﹣16n﹣4， 解得，n＝2或n＝﹣3． 故选：C． 压轴突破2 构造一元二次方程 11．若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0及9b2+2024b+5＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得出a和是方程5x2+2024x+9＝0的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为9b2+2024b+5＝0， 所以b≠0， 则． 又因为5a2+2024a+9＝0， 所以a和是方程5x2+2024x+9＝0的两个根， 则， 即， 所以． 故选：A． 12．若实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m﹣n的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】根据根与系数的关系求出m+n，mn，再求值即可． 【解答】解：∵实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0， ∴m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， ∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝1+4＝5， ∴m﹣n＝±， 故选：C． 13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）一个实数根为x＝2024，则方程cx2+bx+a＝0一定有实数根x＝（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 【分析】对cx2+bx+a＝0进行变形，再结合换元思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵ac≠0， ∴x＝0不是方程cx2+bx+a＝0的根， 则方程两边都除以x2得， ． 又因为方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）一个实数根为x＝2024， 则方程的一个根为x， 所以方程cx2+bx+a＝0一定有实数根x． 故选：B． 14．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值是（　　） A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D． 【分析】分两种情况进行讨论，①a＝b，②a≠b，根据实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5＝0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解． 【解答】解：①当a＝b时，原式＝2； ②当a≠b时， 根据实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5＝0的解， ∴a+b＝8，ab＝5． 则 ， 把a+b＝8，ab＝5代入得： ＝﹣20． 综上可得的值为2或﹣20． 故选：C． 15．已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 【分析】将2n2+7n﹣3＝0化为，得到实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【解答】解：原方程转化为， 由条件可知实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 16．已知实数a，b满足a2+11a﹣13＝0，13b2+11b﹣1＝0，且ab≠﹣1，则的值为（　　） A．﹣1 B． C． D． 【分析】将13b2+11b﹣1＝0变形为据此可知 为方程 x2+11x﹣13＝0 的两个实数根，根据根与系数的关系得到ab＝1﹣11b，a＝13b，代入所求代数式化简即可． 【解答】解：13b2+11b﹣1＝0，易得b≠0，方程两侧同除﹣b2得： ， 又∵a2+11a﹣13＝0，且ab≠﹣1， ∴ 为方程 x2+11x﹣13＝0 的两个不相等的实数根， ∴， 整理得：ab＝1﹣11b，a＝13b， ∴， 故选：C． 17．如果x、y是两个实数（x•y≠1）且3x2﹣2023x+2＝0，2y2﹣2023y+3＝0，则　 ． 【分析】将2y2﹣2023y+3＝0两边同时除以y2，然后设z，则可得x，z为一元二次方程3m2﹣2023m+2＝0的两个不相等的实数根；由根与系数的关系可得x+z和zx的值，然后代入原式计算即可． 【解答】解：∵2y2﹣2023y+3＝0， ∴y≠0， ∴20， 设z，则3z2﹣2023z+2＝0， ∵xy≠1， ∴x， ∴z，x是方程3m2﹣2023m+2＝0的两个不相等的实数根， ∴x+z，zx， ∴ ＝x2z+xz2 ＝xz（x+z） ． 故答案为：． 压轴突破3 判断一元二次方程根的情况 18．若a，b是有理数，关于x的方程3a（2x﹣1）﹣b＝6﹣3bx有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（a+b）x+3＝6x+b的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【分析】首先解方程3a（2x﹣1）﹣b＝6﹣3bx，可得：（6a+3b）x＝3a+b+6，再根据方程有两个解的条件可得到a，b的值，然后代入方程（a+b）x+3＝6x+b中即可知道其解的情况． 【解答】解：3a（2x﹣1）﹣b＝6﹣3bx， （6a+3b）x＝3a+b+6， ∵有至少两个不同的解， ∴ 解得， 把代入（a+b）x+3＝6x+b中得： 6x+3＝6x+12， ∴方程（a+b）x+3＝6x+b无解． 故选：D． 19．已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【分析】让已知两个方程相减得出a+b＝0，即b＝﹣a，然后代入第一个方程求出c＝0，然后根据一元二次方程根的判别式计算即可． 【解答】解：ab+a2＝c2①，ab+b2＝c2②， ①﹣②，得a2﹣b2＝0， ∴（a+b）（a﹣b）＝0， ∵a，b互不相等， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a③， 把③代入①，得﹣a2+a2＝c2， ∴c2＝0， ∴c＝0， ∵ax2+bx+c＝0，ab≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2， ∵ab≠0， ∴a≠0， ∴Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 20．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（　　） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根是x＝1 C．如果是方程M的一个根，那么m是方程N的一个根 D．ac≠0 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据判别式的意义可对A进行判断；把两方程相减得的（a﹣c）x2＝a﹣c，解得x＝±1，则可对B进行判断；根据方程根的定义对C进行判断；根据方程的定义可对D进行判断． 【解答】解：根据根的判别式及相关知识点逐项分析判断如下： A、方程M有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、因为方程M和方程N有一个相同的根，则（a﹣c）x2＝a﹣c，解得x＝±1，故本选项符合题意； C、因为是方程M的一个根，则，即m2c+mb+a＝0，所以m是方程N的一个根，故不符合题意； D、根据一元二次方程的定义得到a≠0，c≠0，则ac≠0，故本选项不符合题意； 故选：B． 21．已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 【分析】对于方程（x+a）（x+b）＝0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程（ax+1）（bx+1）＝0，同样依据上述原理求解，但需要分a＝0，b＝0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系． 【解答】解：（x+a）（x+b）＝0，可得x+a＝0或x+b＝0，即x＝﹣a或x＝﹣b， ∵a≠b， ∴M＝2， 当a＝0，b≠0时，方程变为bx+1＝0．解得x，此时N＝1， 当a≠0，b＝0时，方程变为ax+1＝0，解得x，此时N＝1， 当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1＝0或bx+1＝0解得x或x，此时N＝2， ∴当a＝0或b＝0时，M＝2，N＝1，M＝N+1；当a≠0且b≠0时，M＝2，N＝2，M＝N． ∴M＝N或M＝N+1． 故选：C． 22．已知一元二次方程x2+ax+1＝0，x2+bx+2＝0，x2+cx+4＝0，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为M1，M2，M3，则下列说法一定正确的是（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝2，则M3＝0 C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 【分析】由题意得Δ1＝a2﹣4，Δ2＝b2﹣8，根据M1、M2判定出Δ1、Δ2的符号，再由b2＝ac得c代入Δ＝c2﹣16即可确定判别式的符号，得出M3的值，从而确定答案． 【解答】解：A、∵M1＝2，M2＝2， ∴Δ1＝a2﹣4＞0，Δ2＝b2﹣8＞0，即a2＞4，b2＞8， ∵b2＝ac， ∴c2， ∵Δ＝c2﹣1616，无法确定Δ符号， ∴M3的值无法确定，故此选项不符合题意； B、∵M1＝1，M2＝2， ∴Δ1＝a2﹣4＝0，Δ2＝b2﹣8＞0，即a2＝4，b2＞8， ∴16， ∵b2＝ac， ∴c2， ∵Δ3＝c2﹣1616＞0， ∴M3＝2，故此选项不符合题意； C、∵M1＝1，M2＝0， ∴Δ1＝a2﹣4＝0，Δ2＝b2﹣8＜0，即a2＝4， ∵b2＝ac， ∴c2， 而Δ3＝c2﹣16， ∵b2+8＞0，b2﹣8＜0， ∴Δ3＝c2﹣16＜0， ∴M3＝0；故此选项符合题意； D、∵M1＝0，M2＝0， ∴Δ1＝a2﹣4＜0，Δ2＝b2﹣8＜0，即a2＜4，b2＜8， ∵b2＝ac， ∴c2， ∵Δ3＝c2﹣1616，无法确定Δ3的符号， ∴M3的值无法确定，故此选项不符合题意； 故选：C． 23．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0 B．若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根 D．若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 【分析】根据方程解的定义，根的判别式一一判断即可． 【解答】解：A、若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0，正确，本选项不符合题意； B、若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，错误，b＝0时，两个根相等，都是0，本选项不符合题意； C、若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确，本选项不符合题意； D、若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，正确，本选项符合题意． 故选：B． 24．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则下列说法错误的是（　　） A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根 B．若b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数 C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根 D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式逐一求解即可． 【解答】解：A、将x＝﹣1代入原方程，得a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的根，故符合题意； B、若b＝0且方程存在实数根时，x＝±，两根一定互为相反数，故不符合题意； C、若ac＜0，则﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程必有两个不相等的实数根；故不符合题意； D、若b＝2a+c，则b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2， ∵a≠0， ∴4a2+c2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意． 故选：A． 25．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 压轴突破4 巧求一元二次方程的根 26．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）一个实数根为x＝2024，则方程cx2+bx+a＝0一定有实数根x＝（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 【分析】对cx2+bx+a＝0进行变形，再结合换元思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵ac≠0， ∴x＝0不是方程cx2+bx+a＝0的根， 则方程两边都除以x2得， ． 又因为方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）一个实数根为x＝2024， 则方程的一个根为x， 所以方程cx2+bx+a＝0一定有实数根x． 故选：B． 27．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是﹣2和，则方程的两根为（　　） A．0， B．﹣6，1 C．， D．﹣4，3 【分析】根据根与系数的关系，得到，，将方程整理为：，再将（x﹣2）看作一个整体，解方程即可． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是﹣2和， ∴，， ∵， ∴， ∴（x﹣2）2+5（x﹣2）﹣6＝0， ∴（x﹣2+6）（x﹣2﹣1）＝0， ∴（x+4）（x﹣3）＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝3， 故选：D． 28．已知m是方程ax2+c＝0和方程cx2+a＝0的一个实数根，则方程ax2+2ax+c＝0一定有实数根（　　） A．﹣1 B． C．﹣m D．m 【分析】由题意知，am2+c＝0，cm2+a＝0，则am2+c+cm2+a＝0，即（a+c）（m2+1）＝0，可求c＝﹣a，则ax2+2ax﹣a＝0，即x2+2x﹣1＝0，公式法解方程，然后作答即可． 【解答】解：由题意知，am2+c＝0，cm2+a＝0， ∴am2+c+cm2+a＝0，即（a+c）（m2+1）＝0， 解得，a+c＝0，即c＝﹣a， ∴ax2+2ax﹣a＝0，即x2+2x﹣1＝0， 解得，，， ∴方程ax2+2ax+c＝0一定有实数根， 故选：B． 29．关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1（a、m、b、c均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）＝c的根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1 C．x1＝2，x2＝1 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 【分析】把方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）﹣c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，再利用关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝1，然后解一次方程即可． 【解答】解：方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）＝c变形为方程a（x﹣1+m）2+b（x﹣1）﹣c＝0， 把方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）﹣c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程， ∵关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1， ∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝1， 解得x1＝﹣1，x2＝2． 故选：A． 30．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据题意可得x﹣2＝2024，从而进行计算即可解答． 【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， 设x﹣2＝m， ∴am2+bm+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得：x＝2026， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026， 故选：C． 31．已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠1）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（　　） A．﹣4，4 B．﹣4，1 C．，4 D．，1 【分析】根据根与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠1）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等， ∴ax2+bx+1＝x2+bx+a， 解得x2＝1， ∴正根为1， ∵ax2+bx+1＝0的另一个根为4， ∴4， ∴a， ∵方程x2+bx+a＝0有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则1×m＝a， ∴m， ∴另一个根为， ∴x2+bx+a＝0的两个根分别为1，， 故选：D． 32．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 【分析】由题意得α+β＝﹣b，αβ＝c，α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b，则α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b，联立﹣b+2＝﹣c，2b＝c+1，解得b＝﹣1，c＝﹣3，然后构造一元二次方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β， ∴α+β＝﹣b，αβ＝c， ∵关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1， ∴α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b， ∴﹣b+2＝﹣c，2b＝c+1， 由，解得， ∴α﹣1+β﹣1＝1﹣2＝﹣1，（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝c+b+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3， ∴以两实数根分别为α﹣1，β﹣1的方程是x2+x﹣3＝0， 故选：C． 压轴突破5 一元二次方程多结论判断 33．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．其中正确的是（　　） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【分析】①根据a+b+c＝0，可用a，c表示b，进而得出b2﹣4ac的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将x＝c代入讨论即可． 【解答】解：∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c， ∴b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2， ∵（a﹣c）2≥0， ∴b2﹣4ac≥0，故①正确． ∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴0﹣4ac＞0， 即4ac＜0． 又∵Δ＝b2﹣4ac，且b2≥0， ∴Δ＞0， 则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故②正确． ∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， 即c（ac+b+1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0，故③错误． 综上分析可知：正确的只有①②． 故选：B． 34．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有以下结论：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为4，﹣3，则方程ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0的两根为3，﹣4．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用a+b+c＝0得到b＝﹣（a+c），则b2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，于是可对①进行判断；利用根与系数的关系和等式的性质可对②③进行判断；利用根与系数的关系对方程ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0进行化简，进而求得方程的解可对④进行判断． 【解答】解：①一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则b＝﹣（a+c）， ∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， 所以①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴x20， ∴a，c异号， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； 所以②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， 当c≠0时，ac+b+1＝0， 所以③不正确； ④若方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为4，﹣3， 则4﹣3，4×（﹣3）， ∴b＝﹣a，c＝﹣12a， ∴方程ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0化为ax2﹣3ax﹣10a＝0， ∵a≠0， ∴x2﹣3x﹣10＝0，即（x﹣5）（x+2）＝0， 解得x＝5或﹣2， 所以④不正确． 综上：说法正确的有①②，2个． 故选：B． 35．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0的两个根为x1＝m，x2＝n，且a+b＝1．下列说法正确的个数为（　　） ①m•n＞0； ②m＞0，n＞0； ③a2≥a； ④关于x的一元二次方程（x+1）2+a2﹣a＝0的两个根为x1＝m﹣2，x2＝n﹣2． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据根与系数的关系得x1x2＝mn＝a2+b2+ab，利用a+b＝1消去b得到mn＝a2﹣a+1＝（a）20，从而可对①进行判断；由于x1+x2＝m+n＝2＞0，x1x2＝mn＞0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ＝4﹣4（a2+b2+ab）≥0，即4﹣4（a2﹣a+1）≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab＝a2﹣a+1把方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0化为（x﹣1）2+a2﹣a＝0，由于方程（x+1）2+a2﹣a＝0可变形为[（x+2）﹣1]2+a2﹣a＝0，所以x+2＝m或x+2＝n，于是可对④进行判断． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝mn＝a2+b2+ab， ∵a+b＝1， ∴b＝1﹣a， ∴mn＝a2+（1﹣a）2+a（1﹣a）＝a2﹣a+1＝（a）20，所以①正确； ∵x1+x2＝m+n＝2＞0，x1x2＝mn＞0， ∴m＞0，n＞0，所以②正确； ∵Δ≥0， ∴4﹣4（a2+b2+ab）≥0， 即4﹣4（a2﹣a+1）≥0， ∴a≥a2，所以③错误； ∵a2+b2+ab＝a2﹣a+1， ∴方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0化为x2﹣2x+a2﹣a+1＝0， 即（x﹣1）2+a2﹣a＝0， ∵方程（x+1）2+a2﹣a＝0可变形为[（x+2）﹣1]2+a2﹣a＝0， ∴x+2＝m或x+2＝n， 解得x1＝m﹣2，x2＝n﹣2，所以④正确． 故选：C． 36．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【分析】利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【解答】解：根据根的判别式可知： 若a+b+c＝0，则方程有一个根为x＝1，则b2﹣4ac≥0；故①正确； 若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则：﹣4ac＞0， 则：ax2+bx+c＝0的判别式为b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；故②正确； 若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0， 当c≠0时，ac+b+1＝0，故③错误； 若x0是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选：B． 37．已知实数a，b，c，p，q其中a≠0，满足.则以下说法：①b2﹣4ac≥0；②p，q是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根；③；④若a，b，c均为奇数，则p，q可能都为整数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由，pq得出b2﹣4ac＝a2（p﹣q）2≥0，可判断①； 若p，q是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则，，可判断②； 由，，则，可判断③； 当a，b，c均为奇数时，则为奇数，即p、q中一奇一偶；为奇数，即p、q中全为奇数，可判断④． 【解答】解：①，， ∴b＝（p+q）a，c＝pqa， ∴b2﹣4ac＝[（p+q）a]2﹣4a×pqa ＝a2[（p+q）2﹣4pq] ＝a2（p﹣q）2≥0，故①正确； ②若p，q是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根， 则p+q＝﹣b，pq＝a， ∴与题中不符，故②错误； ③∵，， ∴（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq ，故③正确； ④设p，q为整数， 当a，b，c均为奇数时， ∴为奇数，即p、q中一奇一偶；为奇数，即p、q中全为奇数， ∴p，q相矛盾，故④错误； 综上可知：①③正确，共2个， 故选：B． 38．已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足，.则以下说法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根为3m，n．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0． ②若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可． ③利用根与系数的关系进行判断即可． 【解答】解：①∵，， ∴b＝a（3m+n），c＝amn， 则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn ＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn ＝a2（9m2﹣6mn+n2） ＝a2（3m﹣n）2， ∵a，m，n是实数， ∴a2（3m﹣n）2≥0， ∴b2﹣12ac≥0． 故①正确； ②若m，n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， 当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵， ∴b＝a（3m+n）， ∵a为奇数， ∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾； 当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数； 故②正确； ③∵，， ∴，3mn， ∴3m和n是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根， 故③正确． 故选：D． 压轴突破6 一元二次方程新定义问题 39．对于代数式M、N，定义新运算M⊗N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　） ①若（2x）⊗1＝1，则或1 ②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a⊗b的值为 ③若关于x的方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据新定义得（2x）⊗1＝4x2﹣2x﹣1＝1，则2x2﹣x﹣1＝0得出或x＝1，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝﹣5，ab＝3，则（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝13，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得x2﹣5＝±（x+b），根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【解答】解：①由题意得，（2x）⊗1＝4x2﹣2x﹣1＝1， ∴2x2﹣x﹣1＝0， ∴（2x+1）（x﹣1）＝0， ∴或x＝1，故①正确； ②a⊗b＝a2﹣ab﹣b2＝（a+b）（a﹣b）﹣ab， ∵方程x2+5x+3＝0的解为a、b， ∴a+b＝﹣5，ab＝3， ∴a⊗b＝a2﹣ab﹣b2＝﹣5（a﹣b）﹣3， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝13，则 当时，， 当时，， ∴a⊗b的值为或，故②不正确； ③∵|2⊗（x﹣1）|＝|22﹣2（x﹣1）﹣（x﹣1）2|＝|﹣x2+5|，方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解， ∴x2﹣5＝±（x+b）， 当x2﹣5＝x+b时， ∴x2﹣x﹣（5+b）＝0， ∴Δ＝1+4（5+b）＝21+4b＞0， ∴． 当x2﹣5＝﹣（x+b）时， ∴x2+x﹣（5﹣b）＝0， ∴Δ＝1+4（5﹣b）＝21﹣4b＞0， ∴． ∴， 故③不正确； 综上，正确的有①，共1个． 故选：B． 40．定义运算：对于任意实数a、b，有a★b＝ab+1，例如4★3＝4×3+1＝13，若关于x的方程x★（mx+2）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＜1且m≠0 D．m≤1且m≠0 【分析】根据新定义可得mx2+2x+1＝0，根据一元二次方程的一般形式可得m≠0，根据一元二次方程根的情况可得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＞0，解该一元一次不等式，即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵对于任意实数a、b，有a★b＝ab+1， ∴x（mx+2）+1＝0， 整理，得：mx2+2x+1＝0， ∵关于x的方程x★（mx+2）＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×m×1＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1且m≠0， 即m的取值范围为m＜1且m≠0， 故选：C． 41．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且13，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程x2+8x+15＝0的两根为x1＝﹣5，x2＝﹣3，且13，所以一元二次方程x2+8x+15＝0为“友好方程”．关于x的一元二次方程x2+（1﹣p）x﹣p＝0，有下列两个结论：①当p时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 【分析】把p代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得x1＝﹣1，x2＝p或x1＝p，x2＝﹣1，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出p的取值范围，进而可判断②． 【解答】解：①当p时，方程为x2x0 解得x1，x2＝﹣1， ∴， ∵x1＜x2＜0，13， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②x2+（1﹣p）x﹣p＝0， （x+1）（x﹣p）＝0， ∴x+1＝0或x﹣p＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝p或x1＝p，x2＝﹣1， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（1+p）2＞0， ∴p≠﹣1， 当x1＝﹣1，x2＝p时， ∵13， ∴13， 解得﹣1， 此时整数p不存在； 当x1＝p，x2＝﹣1时，13， 解得﹣3≤p≤﹣1， 又∵p≠﹣1， ∴此时满足要求的整数p的值只有﹣3，﹣2两个，故②错误； 故选：D． 42．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　 　 ． 【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【解答】解：x2﹣（n+4）x+3n+3＝0， （x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0， x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0， 解得：x1＝3，x1＝n+1， ∵y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×n＞0， 解得n， ∵n是正整数， ∴n＝1，2，3，4，5，6， ∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”， ∴3能被n+1整除或n+1能被3整除， ∴n＝2或5． 故答案为：2或5． 43．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个整数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 　 　 ；（填序号） ①x2+x＝1；②x2+3x+2＝0；③． （2）若方程x2﹣（m+1）x+m＝0是“自然方程”，m的值为 　 　 ． 【分析】（1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【解答】解：①x2+x＝1 x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ②x2+3x+2＝0 ∴（x+1）（x+2）＝0， ∴x+1＝0，x+2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：②； （2）x2﹣（m+1）x+m＝0， ∴（x﹣m）（x﹣1）＝0， ∴x﹣m＝0，x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝m， ∵方程x2﹣（m+1）x+m＝0是“自然方程”， ∴|m﹣1|＝1， ∴m＝2或0． 故答案为：2或0． 44．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 【分析】依据题意，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程，从而，进而将b，c用a的式子来表示，然后取一个合适的值即可得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴． ∴． ∴一元二次方程为ax2﹣a＝0． ∵a≠0， ∴可取a＝1． ∴这个一元二次方程为x2﹣1＝0（答案唯一）． 故答案为：x2﹣1＝0（答案唯一）． 45．定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q（a，b，c）表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是　　 ； （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数、且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 【分析】（1）根据“最值码”定义求解即可； （2）求出方程的判别式Δ，再根据“全整根方程”得Δ＝b2﹣4ac的值是一个完全平方数时，求出m的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码； （3）分别求出两方程的最值码，根据Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c，即可得出m﹣n的值． 【解答】解：（1）由条件可知：a＝1，b＝﹣3，c＝2， ∴， ， ， ∴“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是． 故答案为：； （2）由条件可知a＝1，b＝﹣（2m﹣1），c＝m2﹣2m﹣3， Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2m﹣3） ＝4m2﹣4m﹣1﹣4m2+8m+12 ＝4m+13． 由条件可知4m+13是完全平方数， 又∵4＜m＜15，且m为整数，m， ∴29＜4m+13＜73， ∴完全平方数为36、49、63， 当4m+13＝36时，m不为整数，不符合， 当4m+13＝49时，m为整数且m＝9，符合， 当4m+13＝64时，不为整数，不符合． ∴只有当m＝9时，4m+13才是完全平方数， ∴b＝﹣（2×9﹣1）＝﹣17，c＝92﹣18﹣3＝60， ∴， ， ， ∴一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0的“最值码”为． （3）对于方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0，a＝1，b＝1﹣m，c＝m﹣2， ． 对于x2+（n﹣1）x﹣n＝0，a＝1，b＝n﹣1，c＝﹣n， ． ∵x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“全整根伴侣方程”， ∴Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c， ∴， ﹣m2+6m﹣9+（n+1）2＝4m﹣8， 整理得n2﹣m2+2m+2n＝0， （n+m）（n﹣m）+2（m+n）＝0， （m+n）（n﹣m+2）＝0， ∴m+n＝0或n﹣m+2＝0． ∵m、n均为正整数， ∴m+n＝0不符合题意， ∴n﹣m+2＝0， ∴m﹣n＝2， 故m﹣n的值为2． 压轴突破7 一元二次方程解动点问题 46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【分析】过E作EH⊥AC于H，设运动时间为t s，根据△AEF的面积恰为12cm2，得t（10﹣t）＝12，即可解得答案． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为 　 　 s． 【分析】以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），由点P是AB的中点，可得出点P的坐标为（4，3），当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点Q的坐标为（t，3﹣t），根据PQ＝2，可列出关于t的无理方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），如图所示， ∵点P是AB的中点， ∴点P的坐标为（4，3）． 6÷2＝3（秒），8÷2＝4（秒）， 当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点N的坐标为（2t，0），点M的坐标为（0，6﹣2t），点Q的坐标为（t，3﹣t）， 根据题意得：2， 整理得：t2﹣4t+2＝0， 解得：t1＝2，t2＝2， 经检验，t1＝2，t2＝2是所列方程的解，t1＝2符合题意，t2＝2不符合题意，舍去， ∴点M的运动时间为（2）s． 故答案为：（2）． 48．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ＝2S△BPQ时，BP的长度为 　　 ． 【分析】分两种情况讨论，0＜t≤2，2＜t≤4，根据S△APQ＝2S△BPQ分别列出方程，解方程，即可求解． 【解答】解：如图所示，当0＜t≤2时，点Q在线段EB上，P在BC上， 由条件可知AE＝EB＝2， 依题意，EQ＝t，QB＝2﹣t，则AQ＝2+t；BP＝2t， ∵S△APQ＝2S△BPQ， ∴， ∴AQ＝2BQ， ∴2+t＝2（2﹣t）， 解得：，此时BP； 如图所示，当2＜t≤4时，点Q在线段BC上，P在CD上， 依题意，BQ＝t﹣2，PC＝2t﹣4，则PD＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t，CQ＝CB﹣BQ＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t， ∵S正方形﹣（S△ADP+S△ABQ+S△PCQ）＝2S△BPQ， ∴， 解得：t＝4或t＝﹣2（舍去）， 此时BP4． 综上所述，BP或4． 故答案为：或4． 49．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么　2或4　 秒后，线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分． 【分析】设运动时间为t s，根据题意可得BQ＝2t cm，BP＝（6﹣t）cm，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【解答】解：AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．设运动时间为t s，则AP＝t cm，BQ＝2t cm， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∵线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：t2﹣6t+8＝0或t2﹣6t+16＝0（无实数解）， 解得t1＝2，t2＝4， 即线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 50．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可知AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，在Rt△PBQ中，由勾股定理得出方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据五边形APQCD的面积等于104cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2＝PQ2， 即（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （2）存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，理由如下： 由题意得：S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2）， S△PBQPB•BP（10﹣2t）×4t＝﹣4t2+20t， ∴S五边形APQCD＝S长方形ABCD﹣S△PBQ＝120﹣（﹣4t2+20t）＝104， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝4，t2＝1， 当t＝4时，BQ＝16cm＞12cm，不合题意，舍去； 当t＝1时，BQ＝4cm＜12cm，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，此时t的值为1． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 一元二次方程全章压轴突破7个专题（50题） 【人教版2024】 压轴突破1 利用根与系数的关系求代数式的值 1 压轴突破2 构造一元二次方程 2 压轴突破3 判断一元二次方程根的情况 2 压轴突破4 巧求一元二次方程的根 4 压轴突破5 一元二次方程多结论判断 5 压轴突破6 一元二次方程新定义问题 6 压轴突破7 一元二次方程解动点问题 7 压轴突破1 利用根与系数的关系求代数式的值 1．已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则a2﹣2024a　 　 ． 2．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 3．已知m是方程x2+x﹣3＝0的根，则m3﹣2m2﹣6m﹣2016的值为 　 　 ． 4．若x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解，则2a3﹣7a2+4a的值为　 　 ． 5．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　 　 ． 6．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知α，β是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则式子α4﹣3β的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 9．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 10．关于x的方程x2+4n（x+1）﹣8n﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1﹣x2＝10，则n的值为（　　） A．2或3 B．3或﹣2 C．﹣3或2 D．﹣3或﹣2 压轴突破2 构造一元二次方程 11．若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0及9b2+2024b+5＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．若实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m﹣n的值为（　　） A． B． C．或 D．或 13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）一个实数根为x＝2024，则方程cx2+bx+a＝0一定有实数根x＝（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 14．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值是（　　） A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D． 15．已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 16．已知实数a，b满足a2+11a﹣13＝0，13b2+11b﹣1＝0，且ab≠﹣1，则的值为（　　） A．﹣1 B． C． D． 17．如果x、y是两个实数（x•y≠1）且3x2﹣2023x+2＝0，2y2﹣2023y+3＝0，则　 ． 压轴突破3 判断一元二次方程根的情况 18．若a，b是有理数，关于x的方程3a（2x﹣1）﹣b＝6﹣3bx有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（a+b）x+3＝6x+b的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 19．已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 20．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（　　） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根是x＝1 C．如果是方程M的一个根，那么m是方程N的一个根 D．ac≠0 21．已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 22．已知一元二次方程x2+ax+1＝0，x2+bx+2＝0，x2+cx+4＝0，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为M1，M2，M3，则下列说法一定正确的是（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝2，则M3＝0 C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 23．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0 B．若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根 D．若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 24．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则下列说法错误的是（　　） A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根 B．若b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数 C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根 D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根 25．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 压轴突破4 巧求一元二次方程的根 26．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）一个实数根为x＝2024，则方程cx2+bx+a＝0一定有实数根x＝（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 27．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是﹣2和，则方程的两根为（　　） A．0， B．﹣6，1 C．， D．﹣4，3 28．已知m是方程ax2+c＝0和方程cx2+a＝0的一个实数根，则方程ax2+2ax+c＝0一定有实数根（　　） A．﹣1 B． C．﹣m D．m 29．关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1（a、m、b、c均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）＝c的根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1 C．x1＝2，x2＝1 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 30．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 31．已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠1）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（　　） A．﹣4，4 B．﹣4，1 C．，4 D．，1 32．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 压轴突破5 一元二次方程多结论判断 33．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．其中正确的是（　　） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 34．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有以下结论：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为4，﹣3，则方程ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0的两根为3，﹣4．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 35．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0的两个根为x1＝m，x2＝n，且a+b＝1．下列说法正确的个数为（　　） ①m•n＞0； ②m＞0，n＞0； ③a2≥a； ④关于x的一元二次方程（x+1）2+a2﹣a＝0的两个根为x1＝m﹣2，x2＝n﹣2． A．1 B．2 C．3 D．4 36．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 37．已知实数a，b，c，p，q其中a≠0，满足.则以下说法：①b2﹣4ac≥0；②p，q是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根；③；④若a，b，c均为奇数，则p，q可能都为整数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 38．已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足，.则以下说法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根为3m，n．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 压轴突破6 一元二次方程新定义问题 39．对于代数式M、N，定义新运算M⊗N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　） ①若（2x）⊗1＝1，则或1 ②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a⊗b的值为 ③若关于x的方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 40．定义运算：对于任意实数a、b，有a★b＝ab+1，例如4★3＝4×3+1＝13，若关于x的方程x★（mx+2）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＜1且m≠0 D．m≤1且m≠0 41．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且13，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程x2+8x+15＝0的两根为x1＝﹣5，x2＝﹣3，且13，所以一元二次方程x2+8x+15＝0为“友好方程”．关于x的一元二次方程x2+（1﹣p）x﹣p＝0，有下列两个结论：①当p时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 42．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　 　 ． 43．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个整数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 　 　 ；（填序号） ①x2+x＝1；②x2+3x+2＝0；③． （2）若方程x2﹣（m+1）x+m＝0是“自然方程”，m的值为 　 　 ． 44．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 45．定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q（a，b，c）表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是　　 ； （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数、且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 压轴突破7 一元二次方程解动点问题 46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为 　 　 s． 48．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ＝2S△BPQ时，BP的长度为 　　 ． 49．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么　2或4　 秒后，线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分． 50．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $