第二十一章 一元二次方程全章培优测试卷-2025-2026学年人教版九年级数学上册必考点分类集训系列

第二十一章 一元二次方程全章培优测试卷 【人教版2024】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（　　） A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x 2．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 3．（3分）关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≠±1 B．k＜1 C．﹣1＜k＜1 D．k＜﹣1 4．（3分）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 5．（3分）若关于x的方程（x﹣2）2＝﹣b是由x2+ax﹣b＝0配方后得到的，则a、b的值分别为（　　） A．4，2 B．﹣4，﹣4 C．﹣4，﹣2 D．﹣4，2 6．（3分）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 7．（3分）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050 8．（3分）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 9．（3分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{1，2}＝2，若已知max{x2，x2﹣4x}＝9，则x的值为（　　） A．3或﹣3 B．或 C．﹣3或 D．3或 10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； ③存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； ④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立． 其中正确的有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 12．（3分）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，则代数式a（a﹣1）+a2+5a的值为　 　 ． 13．（3分）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出　 　 个小分支． 14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0，若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，则实数m的值为 　 　 ． 15．（3分）已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　 　 ． 16．（3分）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解下列方程： （1）x2+6x+4＝0（配方法）； （2）3x（x+1）＝3x+3（因式分解法）． 18．（6分）解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝4x﹣10； （2）16x2﹣48x+9＝0． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1﹣x2|＝3，求a的值． 20．（8分）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 21．（10分）2025年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张VIP票便宜60元，用720元买的普通票的数量与用1080元买的VIP票的数量相同． （1）求普通票与VIP票的单价分别是多少元； （2）据统计，音乐节首日普通票销量是400张，VIP票销量是360张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，VIP票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了490m元，求m的值． 22．（10分）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 23．（12分）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 24．（12分）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“2﹣3限制方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因，所以一元二次方程x2+13x+30＝0不是“2﹣3限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+13x+22＝0　 　 “2﹣3限制方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“2﹣3限制方程”，且方程的两根x1，x2满足（x1+11）（x2+11）＝0，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0是“2﹣3限制方程”，求m的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 一元二次方程全章培优测试卷 【人教版2024】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（　　） A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【解答】解：一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般形式为﹣x2+4x+7＝0， 二次项系数和一次项分别为﹣1，4x． 故选：B． 2．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 【分析】先把x＝0代入原方程得到a2﹣9＝0，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣3， ∵a﹣3≠0， ∴a的值为﹣3． 故选：B． 3．（3分）关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≠±1 B．k＜1 C．﹣1＜k＜1 D．k＜﹣1 【分析】根据一元二次方程无实数根来列出方程求解． 【解答】解：由题意得，Δ＝（k+1）2﹣4×（k2﹣1）2k+2＜0，且k2﹣1≠0， ∴k＜﹣1． 故选：D． 4．（3分）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 5．（3分）若关于x的方程（x﹣2）2＝﹣b是由x2+ax﹣b＝0配方后得到的，则a、b的值分别为（　　） A．4，2 B．﹣4，﹣4 C．﹣4，﹣2 D．﹣4，2 【分析】将所给方程展开，再对比即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为（x﹣2）2＝﹣b， 所以x2﹣4x+4+b＝0． 又因为关于x的方程（x﹣2）2＝﹣b是由x2+ax﹣b＝0配方后得到的， 所以a＝﹣4，4+b＝﹣b， 所以a＝﹣4，b＝﹣2． 故选：C． 6．（3分）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 7．（3分）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050 【分析】由α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，推出α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2，推出α2+2α＝2025，可得结论． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2025﹣2＝2023． 故选：A． 8．（3分）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 【分析】根据5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元，列方程即可． 【解答】解：根据题意，可列方程为207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96． 故选：A． 9．（3分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{1，2}＝2，若已知max{x2，x2﹣4x}＝9，则x的值为（　　） A．3或﹣3 B．或 C．﹣3或 D．3或 【分析】分两种情况：①当x2＞x2﹣4x，即x＞0时，②当x2＜x2﹣4x，即x＜0时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【解答】解：①当x2＞x2﹣4x，即x＞0时，则max{x2，x2﹣4x}＝x2＝9， 解得x＝3或x＝﹣3＜0（不符合题设，舍去）； ②当x2＜x2﹣4x，即x＜0时，max{x2，x2﹣4x}＝x2﹣4x＝9， 解得或（不符合题设，舍去）； 故选：D． 10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； ③存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； ④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立． 其中正确的有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝0﹣4ac＞0，由此再运用根的判别式进行判定即可判断①；x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则+bx0+c＝0，整理变形后即可判断②；求得am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]，当a（m+n）+b＝0时使得am2+bm+c＝an2+bn+c即可判断③；把x＝c代入方程，当x＝c＝0时，ac+b+1＝0不成立，可判定结论④． 【解答】解：①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0，即﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac， ∵b2≥0， ∴b2﹣4ac＞0，即方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故①正确； ②若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则+bx0+c＝0， ∴+bx0＝﹣c， ∴4a2+4abx0＝﹣4ac， ∴b2+4a2+4abx0＝b2﹣4ac，即b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故②正确； ③am2+bm+c﹣（an2+bn+c） ＝a（m2﹣n2）+b（m﹣n） ＝a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n） ＝（m﹣n）[a（m+n）+b]， ∵m≠n， ∴m﹣n≠0， ∴当a（m+n）+b＝0时，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0， ∴存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c，故③正确； ④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0， 若c＝0时，ac+b+1＝0不成立，故④错误． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】由关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，可得|m|+1＝2，m﹣1≠0，从而可得答案． 【解答】解：由题意得，|m|+1＝2，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．（3分）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，则代数式a（a﹣1）+a2+5a的值为　4　 ． 【分析】将x＝1代入方程可整理得到a2+2a的值，再整理代数式，为2a2+4a，由此可求． 【解答】解：将x＝1代入方程可得：12+2a×1+a2＝3，即1+2a+a2＝3， 整理可得a2+2a＝2， ∴a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×2＝4， ∴代数式a（a﹣1）+a2+5a的值为4． 故答案为：4． 13．（3分）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出　5　 个小分支． 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【解答】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得1+x+x2＝31， 解得x＝5或x＝﹣6（舍去）， ∴每个支干长出5根小分支， 故答案为：5． 14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0，若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，则实数m的值为 　﹣8　 ． 【分析】根据根与系数的关系和5x1+2x2＝2，可以求得x1的值，然后代入x2+2x+m＝0，即可求得m的值． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2， ∵5x1+2x2＝2， ∴3x1+2（x1+x2）＝2， ∴3x1+2×（﹣2）＝2， 解得x1＝2， 将x＝2代入x2+2x+m＝0可得，22+2×2+m＝0， 解得m＝﹣8， 故答案为：﹣8． 15．（3分）已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　　 ． 【分析】设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值． 【解答】解：设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根， ∴t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c＝0②， ②﹣①得4t2﹣2t＝0， 解得t1＝0，t2， 当t＝0时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，不合题意舍去； 当t时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，解得c， 综上所述，c的值为． 故答案为：． 16．（3分）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　　 ． 【分析】根据题意构造图形，则AC＝6，，AD＝m，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【解答】解：根据题意，构造图形如图所示： 则AC＝6，， ∵AD＝2BD， ∴AD＝m， 即m就是x2+mx＝36的一个正根， ∴m2+m2＝36 解得 （负值已舍）． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解下列方程： （1）x2+6x+4＝0（配方法）； （2）3x（x+1）＝3x+3（因式分解法）． 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 【解答】解：（1）x2+6x+4＝0， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， 则x+3， 所以； （2）3x（x+1）＝3x+3， 3x（x+1）﹣3（x+1）＝0， （x+1）（3x﹣3）＝0， 则x+1＝0或3x+3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝1． 18．（6分）解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝4x﹣10； （2）16x2﹣48x+9＝0． 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用求根公式法解方程即可． 【解答】解：（1）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10， ∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0 或 2x﹣5＝0， ∴x1＝2，； （2）由题意得，a＝16，b＝﹣48，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣48）2﹣4×16×9＝48×（48﹣12）＝48×36＞0， ∴方程有两个不等的实数根， ∴， ∴，． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1﹣x2|＝3，求a的值． 【分析】（1）计算判别式有Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果． （2）依据题意，x1+x2＝a，x1•x2＝a﹣1，则|x1﹣x2|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4a+4＝9，故a2﹣4a﹣5＝0，计算即可得解； 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：由题意，x1+x2＝a，x1•x2＝a﹣1， ∴|， ∴a2﹣4a﹣5＝0． ∴a＝5或a＝﹣1． 20．（8分）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据苗圃园的面积为108m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为16m，即可确定结论； （2）假设苗圃园的面积能达到120m2，根据苗圃园的面积为120m2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2． 【解答】解：（1）根据题意得：x（30﹣2x）＝108， 整理得：x2﹣15x+54＝0， 解得：x1＝6，x2＝9， 当x＝6时，30﹣2x＝30﹣2×6＝18＞16，不符合题意，舍去； 当x＝9时，30﹣2x＝30﹣2×9＝12＜16，符合题意． 答：x的值为9； （2）苗圃园的面积不能达到120m2，理由如下： 假设苗圃园的面积能达到120m2， 根据题意得：x（30﹣2x）＝120， 整理得：x2﹣15x+60＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2． 21．（10分）2025年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张VIP票便宜60元，用720元买的普通票的数量与用1080元买的VIP票的数量相同． （1）求普通票与VIP票的单价分别是多少元； （2）据统计，音乐节首日普通票销量是400张，VIP票销量是360张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，VIP票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了490m元，求m的值． 【分析】（1）设普通票的每张为x元，则VIP票的每张为（x+60）元，根据用720元买的普通票的数量与用1080元买的VIP票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和VIP票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了490m元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设普通票的每张为x元，则VIP票的每张为（x+60）元， 由题意得：， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意， 则x+60＝120+60＝180元， 答：普通票每张为120元，VIP票的每张为180元； （2）根据题意，得， ， m1＝60，m2＝0（舍）， 答：m的值为60． 22．（10分）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 23．（12分）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为（100﹣2x）厘米，宽为（40﹣2x）厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为608cm2列式可得a＝12， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， 解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为10cm （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12厘米， ②∵12＜15， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 24．（12分）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“2﹣3限制方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因，所以一元二次方程x2+13x+30＝0不是“2﹣3限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+13x+22＝0　不是　 “2﹣3限制方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“2﹣3限制方程”，且方程的两根x1，x2满足（x1+11）（x2+11）＝0，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0是“2﹣3限制方程”，求m的取值范围． 【分析】（1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝﹣k﹣9，，根据（x1+11）（x2+11）＝0，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得m＜0，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得（x+11）（x+2）＝0， x+11＝0，x+2＝0， x1＝﹣11，x2＝﹣2， ∴， ∴x2+13x+22＝0不是“2﹣3限制方程”； 故答案为：不是； （2）由条件可知x1+x2＝﹣k﹣9，， ∵（x1+11）（x2+11）＝0， ∴x1x2+11（x1+x2）+121＝0， k2+8+11（﹣k﹣9）+121＝0， 解得k＝5或6， 当k＝5时，x2+14x+33＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣3， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当k＝6时，x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣4， ∴k＝6； （3）∵该方程是“2﹣3限制方程”， ∴m＜0， 当﹣2＜m＜0时，，解得， 当m＜﹣2时，，解得﹣6＜m＜﹣4， ∴m的取值范围是或﹣6＜m＜﹣4． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $