精品解析：天津市河西区天津市第四十一中学2025-2026学年高三上学期开学数学试题

2025—2026学年度第一学期高三数学 一、单选题：本题共9小题.每小题4分，共36分. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为65 B. 样本的第80百分位数为72.5 C. 样本的平均值为67.5 D. 该校学生中低于的学生大约为1000人 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知复数的实部为5，虚部为-1，则__________. 11. 在的展开式中，常数项是___________.（用数字作答） 12. 写出与直线和轴都相切，半径为的一个圆的方程：______． 13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 14. 在△ABC中，，，，，则___________，若动点F在线段AC上，则的最小值为___________. 15. 已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是________. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． （1）求A的值； （2）求b的值； （3）求的值． 17. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 18. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数，. （1）若，求的单调区间. （2）若，且在区间上恒成立，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三数学 一、单选题：本题共9小题.每小题4分，共36分. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简,进而由集合的交并补运算即可求解. 【详解】或，由得,所以， 故选：D 2. 下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断． 【详解】是假命题，不是必要而不充分条件； 是正确的，但不能得出，是必要而不充分条件； 与之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分； ，是充要条件． 故选：B． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，排除AD，取特殊点排除B，由此可得结论. 【详解】由可得，，， 因为， 所以函数不是奇函数，也不是偶函数， 所以函数的图象不关于轴对称，A，D错误， 又，B错误； 选项C满足以上要求. 故选：C. 4. 少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为65 B. 样本的第80百分位数为72.5 C. 样本的平均值为67.5 D. 该校学生中低于的学生大约为1000人 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于的学生的频率，由此估计总体中体重低于的学生的人数，判断D. 【详解】由频率分布直方图可得众数为，A错误； 平均数为，C错误； 因为体重位于的频率分别为， 因为， 所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为， 则， 所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确； 样本中低于的学生的频率为， 所以该校学生中低于的学生大约为，D错误； 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性分别判断出的范围，然后可得到结果. 【详解】由对数函数单调性可知：， 由指数函数单调性可知：， 由幂函数单调性可知：， 所以， 故选：D. 6. 已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的公比为，由，，成等差数列求出，再由等比数列前和公式得的前5项和． 【详解】解：设的公比为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以， 所以． 所以， 因为， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以． 故选：C． 7. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 8. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得渐近线方程，然后结合渐近线方程确定其与准线方程的交点坐标，最后求解三角形的面积即可. 【详解】依题意，可知是一个等腰三角形， 在直线的投影是其中点，由勾股定理可知| 根据双曲定义可知，整理得， 代入整理得， 所以 所以双曲线渐近线方程为，即， 抛物线的准线方程为， 渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，， 的面积. 所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为. 故选：B. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】依题意可得，，， 再根据五点法作图可得，解得，． 因为，所以的图象关于点对称，故①正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故②正确； 将的图象向左平移个单位长度得到， 故③错误； 因为，当时且，， 因为函数在上有且只有两个极值点， 所以，解得，即的最大值为，故④正确； 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知复数的实部为5，虚部为-1，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，由复数的运算法则，利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数的实部为，虚部为，可得， 则，所以. 故答案为：. 11. 在的展开式中，常数项是___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】的展开式的通项公式为 ， 令 ， 故常数项为 ， 故答案为： 12. 写出与直线和轴都相切，半径为的一个圆的方程：______． 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】由题意可得圆心为，再由圆心到直线的距离为半径，求解即可得出答案. 【详解】因为直线和轴都相切，所以圆心为， 当圆心为时，，解得或； 当圆心为时，，解得或． 所以圆的方程为或 或或． 故答案为：（答案不唯一）. 13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件 “表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可． 【详解】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 14. 在△ABC中，，，，，则___________，若动点F在线段AC上，则的最小值为___________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】第一空：用分别表示出，再由数量积的定义及运算律即可求出； 第二空：设，用分别表示出，由数量积的定义及运算律表示出，结合二次函数求出最小值. 【详解】 第一空：，则，则，又，，故，解得； 第二空：设，，，则 ，当时，取得最小值. 故答案为：；. 15. 已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，结合图象得出解的情况，设，则原方程变为，根据解的情况，可得出方程三根的取值范围，根据解的范围，即可得出系数的范围. 【详解】由题意，画出直线和函数的图象，如图， 由图象可知，当时，有3个解. 设，则原方程变为， 所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是 方程的两根满足且. 则，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：画出直线和函数的图象，.进而根据图象，得出解的情况.然后根据已知零点的个数，分析得出方程根的分布情况，即可得出系数的范围. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． （1）求A的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及三角恒等变形化简得，结合三角形内角即可求A的值； （2）由面积公式可得，利用余弦定理得，结合即可求b的值； （3）由（2）知，利用余弦定理的推论可求，根据倍角公式求出，最后用和差公式求值即可． 【小问1详解】 由正弦定理得， ， ，， 又，所以． 【小问2详解】 ，即①， 又，即②， 由①②解得或， 又， 所以b的值为8． 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ， 又，所以，， 则， 所以 ， 即的值为． 17. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 18. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； 【小问2详解】 ，设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 19. 已知函数，. （1）若，求的单调区间. （2）若，且在区间上恒成立，求的范围. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，直接判断函数单调区间； （2）分情况讨论函数单调性，即可判断函数最值，进而解决不等式恒成立问题. 【小问1详解】 当时，，， 则， 令，解得， 且当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由已知，， 得， 令，解得，， 当时，，此时恒成立， 即函数在上单调递增， 又，所以，所以不满足题意； 当时，，此时函数在和上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 所以时，不等式恒成立； ②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以需满足，解得， 所以时不等式恒成立. 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $