专题03 椭圆 7个高频考点（期中真题汇编，人教A版）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03椭圆 ☆7大高频考点概览 考点01椭圆的定义与方程 考点02椭圆的性质 考点03椭圆的离心率 考点04椭圆中的三角形 考点05椭圆中的弦长问题 考点06中点高弦问题 考点07椭圆的综合问题 目目 考点01 椭圆的定义与方程 一、单选题 1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件PF1+|PF2=m+是(m>0),则点P的轨迹是 () A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段 2.(24-25高二上浙江杭州浙里特色联盟期中)已知F为椭圆C:器+号=1的右焦点，P为椭圆C上一点， Q为圆M:x2+(y-4)=1上一点，则PQ-PF的最小值为() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 3.(425高二上河南部分学校大联考期中)设P为椭圆器+号=1上一动点，F1F2分别为椭圆的左，右焦 点，Q(-10),则PF+PQ的最小值为() A.8 B.7 C.6 D.4 4.(Q425高二上四川宜宾三中教育集团期中)已知点R1、F2是椭圆C号+号=1的左、右焦点，若过焦 点F的直线交椭圆C于A,B两点，则△AFB的周长为() A.4 B.9 c.45 D.12 5.(24-25高二上河南许平汝名校月考)已知曲线C上任意一点P(x0y,)都满足关系式 V,-2)+y8+V(x+2)2+y8=25,则曲线C的标准方程为() A.号+-1B.号+号=1 C.+y2=1 D.号+若=1 6.2425高二上湖南祁阳第一中学月考)已知椭圆方程为景+爷=1(a>b>0),椭圆上的点到左焦点 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是() A.号+y2=1B.￥+y2=1 c.等+号-1 D.￥+号=1 7.(24-25高二上·广西河池十校协作体)若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2)，c=3,则该椭圆的标准 方程为() A.等+号=1 B.器+号=1 c.等+号=1 D.等+若=1 二、多选题 8.(24-25高二上广东佛山H7教育共同体)已知曲线C:x2+my2=1,则下列结论正确的有() A.若0<m<1,则C是焦点在y轴上的椭圆B.若m=1,则C是圆 C.若m>1,则C是焦点在y轴上的椭圆D.若m=0,则C是两条平行于y轴的直线 三、非选择题 9.(24-25高二上福建莆田第十六中学期中)c=4,且经过点P(0,2√6)的椭圆的标准方程 为」 10.(24-25高二上福建永春第一中学期中)已知平面直角坐标系中，定点F1(-1,0),F2(1,0),点P是圆 (x-1)+y2=16上的动点，线段F1P的垂直平分线与半径F2P交于点M (1)求动点M的轨迹方程； (2)过F2且斜率为1的直线交M的轨迹于AB两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足 OC=OA+uO(入，uER),求入：u的最大值 11.(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程 (两个焦点的坐标分别为F1(2,0),F2(2,0),并且椭圆经过点(3，-) (2)椭圆经过点P(-23,1)和Q(V3,-2) 12.(24-25高二上云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学期中)已知圆尸1：(x+3)+y2=1,圆F2经过三 点A3,9,B(12,0)D(-6,0) (1)求圆F2的方程，并判断两圆位置关系； 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若动圆P与圆F1、圆F2均相切，求动圆圆心P的轨迹C的方程 目目 考点02 椭圆的性质 一、单选题 1.(24-25高二上陕西西安新城区西安中学，月考)椭圆x2+2y2=1的焦点坐标为（) A.(-1,0)和(1,0) B.(0,-1)和(0,1) c.（号0)和（号，0） D.（0,号)和(0，号) 2.(2425高二上江苏海门中学期中)椭圆等+若=1与椭圆景+张=1(k<9)的() A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 3.(2425高二上福建福州马尾第一中学等六校期中)椭圆号+号=1的长轴长为() A.4 B.6 C.9 D.18 4.(24-25高二上·四川绵阳南山中学实验学校期中)2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二 号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射.约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预 定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接，某飞船升空后初始运行轨道是以 地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S,近地点距地面的距离为S2,设地球的半径为R, 则该椭圆的短轴长为() A.2V(S1-R)(S2R) B.2W(S1+R)(S2-R) C.2W(S1+R)(S2+R) D.2W(S1-R)(S2+R) 二、多选题 5.2425高二上福建厦门杏南中学期中)已知椭圆C:需+号=1，下列结论正确的是（) A.椭圆C的长半轴长是12 B.椭圆C的短半轴长是2 C.椭圆C的焦点坐标分别是F1(0,2),F2(0,-2)D.经过椭圆C焦点的最短弦长是等 6.(24-25高二上重庆巴蜀科学城中学)如图所示，用一个与圆柱底面成6(0<日<号)角的平面截圆柱， 截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,6=号，则() 3/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的离心率为号 C.椭圆的标准方程可以是若+等=1 D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2√5 三、非选择题 7.(2425高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区期中)一个圆经过椭圆号+号=1的三个顶点，且圆心 在y的正半轴上，则该圆的标准方程为 目目 考点03 椭圆的离心率 一、单选题 1.2425高二上内蒙古包头第八十一中学期中)已知P是椭圆等+爷=-1(a>b>0)的焦点，若椭圆上 存在一点P,满足线段PF相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF的中点，则该椭圆的离心率为() A.写 B.号 c.号 D.哥 2.(24-25高二上广东广州育才中学期中)已知椭圆E的焦点为F（-1,0),F《1,0),过F2的直线与椭圆E 交于A,B两点若AB=|BF1,|AF2=2FB|,则椭圆E的离心率为() A号 B.号 C. D. 3.(24-25高二上湖南永州祁阳县第四中学期中已知FyF2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总 在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是() A.(0,) B.(39) c.(o,号) D.（9,) 4.(2425高二上广东东莞)已知椭圆C1:等+斧=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b,若C1上存在点 4/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P,过P可作C2的两条切线PA和PB,且∠APB=号，则C1的离心率的取值范围是() A.(0,] B[] c.[9) D.(a] 5.(24-25高二上·江苏常州联盟学校期中)比较下列椭圆的形状，最接近于圆的是（) A.2x2+y2=4B.4x2+y2=4 C.3x2+4y2=12D.6x2+9y2=54 6.(2425高二上山东德州期中已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线 x-y-1=0对称若椭圆离心率为 ,则MN的中点坐标为() A.(5,4) B.(4,3) C.(3,2) D.（2,1) 二、非选择题 7.2425高二上安徽准南风台县第一中学期中)已知椭圆等+器=1(a>b>0)的左焦点为R1,右焦点 为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF2与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段PF2的中点，则该 椭圆的离心率为 8。(2425高二上云南昭通第一中学教研联盟期中)已知椭圆E:等+爷=1(a>b>0)的上、下顶点分别 是AB,左、右顶点分别是C,D,左焦点为F,过点F的动直线1与椭圆分别交于M,N,且直线MAMB的 斜率之积为 (I)求椭圆E的离心率e; (②)若四边形MCND面积的最大值是4 ,求椭圆E的方程 9.(2425高二上内蒙古包头第八十一中学期中)已知点P(x0yg)在椭圆C:等+爷=1(a>b>0)上， P与椭圆的上，下顶点M,N的连线的斜率之积为-青。 (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线y=x+1与椭圆C相交于A、B两点，且△A0B的面积为(0为坐标原点)，求椭圆C的标准 方程. 10.(24-25高二上四川荣县中学校期中)若椭圆C:器+号=1(m>9)比椭圆D:菩+号=1更扁，则椭 圆C的长轴长的取值范围是一 11.(24-25高二上黑龙江牡丹江第三高级中学期中)椭圆等+器=1的离心率为克，则m= 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 椭圆中的三角形 一、单选题 1.(2425高二上陕西汉中期中)已知过椭圆C:号+等=1中心的直线交椭圆C于A,B两点，F是椭圆C的 一个焦点，则△ABF的周长的最小值为() A.7 B.8 C.9 D.10 二、多选题 2.(24-25高二上湖南祁阳第一中学期中)已知点P是椭圆E:警+号=1上一点，F1,F2是椭圆E的左、 右焦点，且△F1PF2的面积为4，则下列说法正确的是() A.点P的纵坐标为2 B.∠F1PF2=罗 C.△FPF2的周长为4V2+1 D.△F1PF2的内切圆半径为2(V2+1 3.(24-25高二上安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟期中)已知椭圆C:号+y2=1的左、右焦点分别为 FF2P是C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则△FPF的面积可以是() A.吉 c. D.1 4.(2425高二上山东潍坊昌园期中设椭圆C:器+号=1的左、右焦点分别为R1、F2,P是C上的动点， 则() A.PF1+PF2=8 B.PF的最大值为9 C.△PF1F的面积的最大值为12 D.存在点P,使得PF1⊥PF2 三、非选择题 5.(2425高二上天津实验中学滨海学校期中)设P是椭圆器+号=1上的一点，F1,F2是该椭圆的两个 焦点，且∠F1PF2=号，则△F1PF2的面积为一，△F1PF2内切圆半径为 6.(2425高二上浙江温州十校联合体期中)经过椭圆号+号-1的左焦点F1作直线1交椭圆于A,B两点， 6/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F2为椭圆的右焦点，则△AFB的周长为 7.(2425高二上广西“贵百河一武鸣高中期中)已知椭圆C:器+爷=1(a>b>0)的左、右焦点分 别为F1,F2,P为椭圆C上一点 ()若焦距为4V2,点P的坐标为(-3,1)，求椭圆C的标准方程： ②若∠RPB=专，且长维长为26，△FPF的面积为9，求b的值 8.(24-25高二上浙江金兰教育合作组织期中)已知椭圆等+若=1的左右焦点分别为F,F2,点P是椭圆 上一点，∠FPF2=60°，则△PF1F2的内切圆半径为 9.(2425高二上重庆渝东九校联盟期中)已知椭圆号+号=1的左右焦点分别为R1,F2,点P在椭圆上且 在x轴上方，若线段PF的中点M在以原点为圆心，|OF1为半径的圆上，则△PF1F2的面积为 10.(24-25高二上福建福州福九联盟·期中)平面内点P满足|PF1+PF,=8,其中F1(2,0)、 F2(-2,0),且P序·PF2=8,则△PF1F2的面积为】 11.(24-25高二上天津第一百中学期中)已知椭圆器+若=1的左、右焦点为F1、F2,P在椭圆上，且 ∠F1PF2是直角，这样的P点有 个 目目 考点05 椭圆中的弦长问题 一、单选题 1.(24-25高二上重庆杨家坪中学·月考)椭圆C的左、右焦点分别记为F1F2,过左焦点F1的直线交椭圆C于 A、B两点若弦长AB的最小值为3，且△ABF,的周长为8，则椭圆C的焦距等于() A.1 B.2 c.5 D.2V5 二、多选题 2.(24-25高二上浙江杭州浙里特色联盟期中)已知FF2分别是椭圆器+号=1的左，右焦点，P为椭圆 上的一点，则下列说法正确的是() A.PF+PF2=16 B.椭圆的离心率为写 C.直线x=-2被椭圆截得的弦长为2√3 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为4 三、非选择题 3.2425高二上北京陈经纶中学期中)已知曲线C的方程为等+号=1，直线1：y=x+m. (1)写出C的短轴长和离心率； (2)当m=1时，求C被1截得的弦长： (3)已知1与C交于M,N两点，O为坐标原点，当OM⊥ON时，求m的值. 4.(24-25高二上·四川攀枝花第七高级中学校期中)在平面直角坐标系xoy中，已知点M(-4,0),点N4,0) ，动点P(xy)满足：直线PM与直线PN的斜率之积是- (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线与(1)中轨迹C相交于A,B两点，若Q(2,-1)为线段AB的中点，求直线的方程： (3)在（2)的条件下，求弦长AB 5.(2425高二上浙江诸暨中学暨用分校期中)已知椭圆C:爷+器=1(a>b>0,其中离心率为号，且 过点（号， (1)求椭圆C的标准方程； (②)过点(0,1)的直线1被椭圆C截得的弦长为V2,求直线的方程 考点06 中点弦问题 一、单选题 1.(2425高二上内蒙古包头第八十一中学期中)已知点P(-1,0)为椭圆等+器=1(a>b>0)的左焦点， 点P为椭圆的下顶点，平行于FP的直线交椭圆于AB两点，且AB的中点为1，)，则该椭圆的方程为() A.晋+若=1B.号+y2=1 c.等+号=1 D.等+号=1 2.(2425高二上重庆巴蜀中学校月考)已知直线1：y=x+1与椭圆C:等+爷=1(a>b>0)相交 于AB,且AB的中点为M(-1,专)，则椭圆C的离心率为() A.写 c. D. 8/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(23-24高二上浙江舟山期末)已知P,Q为椭圆器+号=1上的动点，直线PQ与圆 M(x-1)2+y2=1相切，切点A恰为线段PQ的中点，当直线PQ斜率存在时点A的横坐标为() A.等 B.-青 c.9 D.9 4.(2425高二上广东实验中学期中)已知椭圆E:器+器=1(a>b>0)的右焦点为3,0)，过点F的直 线交椭圆E于A,B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为() A.器+号=1 B.等+6=1 c.器+罗=1 D.器+无=1 5.(24-25高二上江苏常州奔牛、二中、武高期中已知M(2,2)是直线1被椭圆x2+4y2=36所截得的线 段AB的中点，则直线1的方程为() A.4x+y-10=0 B.x+4y-10=0C.x+4y-8=0D.4x-y-6=0 二、非选择题 6.(2425高二上陕西威阳淳化中学期中)过点P(-1,1)作直线与椭圆等+号=1交于A,B两点，若线段 AB的中点为P,线段AB的长度是 7.(24-25高二上·福建厦门杏南中学期中)已知经过点P(2,1)且斜率为-1的直线1与椭圆 C:等+斧=1(a>b>0)交于AB两点，若P恰为弦AB的中点，且椭圆的上顶点为(0,2)，则椭圆的方 程为 目目 考点07 椭圆的综合问题 一、单选题 1.(2425高二上江苏扬州高邮期中)椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反 射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）已知椭圆C:器+智=1,0为坐标原点，1是点 P(-2,V6)处的切线，过左焦点F1作1的垂线，垂足为M,则OM|=() 切线 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.22 B.4V2 C.4 D.8 2.(24-25高二上江苏泰州民兴实验中学期中如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为 一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的 距离为() 地 R F 誓 A.3r+2R B.5r+2R C.5+2R 2 D.5+2R 3.(24-25高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点 的椭圆，如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离 地面为r1,远地点（距离地面最远的点）B距离地面为”2，且F,A,B在同一直线上，则卫星轨道的离心 率为() rary A.+r+2须 B.Istrr2R Ia+r rtr C.Fa+r+2R D.Eatrr2R 4.(2425高二上广东梅州广东梅县东山中学期中)小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下 的影子如图所示，设过篮球的中心O且与太阳平行光线垂直的平面为《，地面所在平面为B,篮球与地面的 切点为H,球心为0，球心O在地面的影子为点0；已知太阳光线与地面的夹角为6；如图，AB为球0的 一条直径，A,B为AB在地面的影子，点H在线段AB'上，小明经过研究资料发现，当日≠时，篮球的 影子为一椭圆，且点H为椭圆的焦点，线段AB为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率()（用日表示）， A A.cose B.sine C.cos20 D. sine 二、多选题 10/12 专题0 3 椭圆 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义与方程 考点02 椭圆的性质 考点03 椭圆的离心率 考点04 椭圆中的三角形 考点05 椭圆中的弦长问题 考点06 中点弦问题 考点07 椭圆的综合问题 地 城 考点01 椭圆的定义与方程 一、单选题 1．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】由基本不等式可得，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 2．(24-25高二上·浙江杭州浙里特色联盟·期中)已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义把焦半径进行转化，再把到圆上点的距离最值转化为到圆心，从而即可求两边之和的最小值了. 【详解】 在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1， 由椭圆的定义可得， 所以， 再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径， 所以有， 利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值， 所以有 故的最小值为－4. 故选：B． 【点睛】方法点睛：要利用椭圆的定义和圆的有关平面几何求最值的结论来求解. 3．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值. 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 4．(24-25高二上·四川宜宾三中教育集团·期中)已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 故选：D. 5．(24-25高二上·河南许平汝名校·月考)已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义判断得曲线为椭圆，进而求得，从而得解. 【详解】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 6．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆的性质可分别求得的值，即可得到结果. 【详解】椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为， 联立，解得，， 根据，得，则椭圆方程是. 故选：D. 7．(24-25高二上·广西河池十校协作体·)若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. 【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点， 所以，，，椭圆的标准方程为． 故选：B． 二、多选题 8．(24-25高二上·广东佛山H7教育共同体·)已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 三、非选择题 9．(24-25高二上·福建莆田第十六中学·期中)，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】或. 【分析】由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可. 【详解】因为，由椭圆的性质得，则， 所以可设椭圆的标准方程为或 又因为椭圆经过点，所以或， 若，则，此时，椭圆的标准方程为； 若，则，此时椭圆的标准方程为. 故椭圆的标准方程为：或. 故答案为：或. 10．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； (2)过且斜率为1的直线交的轨迹于两点，为坐标原点，为椭圆上一点，满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，再利用椭圆的定义可求动点的轨迹方程； （2）先求出直线的方程为，代入椭圆方程，得到，设，求得，根据为椭圆上一点，可得，再利用基本不等式求的最大值. 【详解】（1）圆上的圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线与半径交于点，所以， 所以 由椭圆定义可知，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆 ， 求动点的轨迹方程为    （2）设， 过且斜率为1的直线的方程为 代入整理得 设，因为点都在椭圆上 代入得 ① 代入①式整理得 （当且仅当时，等号成立） 的最大值为. 【点睛】方法点睛：求最值问题的常见方法：1，利用基本不等式；2，将所求变量表示为函数解析式，利用函数求最值；3，多变量可以利用换元法求解. 11．(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 12．(24-25高二上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知圆，圆经过三点. (1)求圆的方程，并判断两圆位置关系； (2)若动圆与圆、圆均相切，求动圆圆心的轨迹的方程. 【答案】(1)，内含 (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求出圆的方程，结合圆与圆的位置关系即可求解； （2）根据圆与圆的位置关系可得，则，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为 ， 因为圆经过三点，， 可得，解得， 所以所求圆的方程为，即. 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以圆心距 ，故两圆内含. （2）由题设有圆与圆内含， 若动圆与圆外切，与圆内切. 设动圆圆心，设动圆的半径为， 由题意有，消得到：， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 故， 故轨迹的方程为:. 若动圆与两圆均内切，则， 故，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 故，故轨迹的方程为：， 综上，轨迹的方程为：. 地 城 考点02 椭圆的性质 一、单选题 1．(24-25高二上·陕西西安新城区西安中学·月考)椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程,结合平方关系，即可求得焦点坐标. 【详解】由椭圆方程化标准方程得：， 由，可得， 则焦点坐标为：和， 故选：C. 2．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 3．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的长轴长. 【详解】在椭圆中，，，故该椭圆的长轴长为. 故选：B. 4．(24-25高二上·四川绵阳南山中学实验学校·期中)2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质，得到，，结合即可求解. 【详解】 建立适当坐标系画出椭圆，如图所示， 设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为， 根据题意有，， 所以 又因为，所以. 故选：C 二、多选题 5．(24-25高二上·福建厦门杏南中学·期中)已知椭圆，下列结论正确的是（     ） A．椭圆的长半轴长是 B．椭圆的短半轴长是2 C．椭圆的焦点坐标分别是 D．经过椭圆焦点的最短弦长是 【答案】BD 【分析】由椭圆的标准方程计算可得，即可求得长轴、短轴、以及焦点坐标，再由通径长公式可得结果. 【详解】根据椭圆方程可知，可得； 因此可得椭圆的长半轴长是，短半轴长是2，即A错误，B正确； 可知，即，可得椭圆的焦点坐标分别是，可得C错误； 易知经过椭圆焦点的最短弦长是通径，即为，即D正确. 故选：BD 6．(24-25高二上·重庆巴蜀科学城中学·)如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（    ）    A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定图形，求出椭圆长半长、短半轴长，再逐项计算、判断作答． 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，故A错误； 显然，则，离心率，故B正确； 当以椭圆短轴所在直线为轴，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 则椭圆的标准方程为，故C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、非选择题 7．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知所求圆经过椭圆的下顶点和左、右顶点，可设圆心坐标为，半径为，可得出关于的方程组，求出这两个未知数的值，进而可得出所求圆的方程. 【详解】因为圆心在y轴的正半轴上，且圆经过椭圆的三个顶点， 所以该圆过椭圆的左顶点，右顶点和下顶点. 设圆心坐标为， ，半径为， 所以 ，解得， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 地 城 考点03 椭圆的离心率 一、单选题 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由题意可得，，连接，可得，由椭圆的定义求得，最后借助于，推得，即可求得离心率. 【详解】 如图，点分别是椭圆的左、右焦点，与以椭圆的短轴为直径的圆相切于点， 则，，连接， 因，则，且， 又点为椭圆上的一点，则有，故， 在中，，即， 将代入化简得：，解得， 则. 故选：A. 2．(24-25高二上·广东广州育才中学·期中)已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，则可得，从而可求解. 【详解】椭圆E的焦点为，则， 如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有， 在中，由余弦定理推论得， 在中，由余弦定理得，解得， ， 所求椭圆E的离心率为. 故选：B． 3．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：点在以为直径的圆上，即，根据得到离心率的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以. 故选：C. 4．(24-25高二上·广东东莞·)已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围. 【详解】 从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小. 若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得， 则只需，即， ， 所以，则，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 5．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)比较下列椭圆的形状，最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆离心率越小，越趋向于圆判断即可. 【详解】A：，则， B：，则， C：，则， D：，则， 由离心率越小，越趋向于圆，则，即最接近于圆. 故选：C 6．(24-25高二上·山东德州·期中)已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 二、非选择题 7．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为，连接， 由题意知，， 因为为的中点，所以，是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 8．(24-25高二上·云南昭通第一中学教研联盟·期中)已知椭圆的上､下顶点分别是，左､右顶点分别是，左焦点为，过点的动直线与椭圆分别交于，且直线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形面积的最大值是，求椭圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用斜率坐标公式列式求出，进而求出离心率. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出四边形面积的关系，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设，而，，即， 由直线的斜率之积为，得，解得， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，，椭圆的半焦距，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，， 由消去得，， ， 四边形面积 ，当且仅当，即时取等号， 因此，解得，所以椭圆的方程为 9．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 10．(24-25高二上·四川荣县中学校·期中)若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 11．(24-25高二上·黑龙江牡丹江第三高级中学·期中)椭圆的离心率为，则 . 【答案】3或 【分析】根据椭圆的离心率公式，分为和两种情况求解. 【详解】表示椭圆，且. 当时，则， ，解得; 当时，则， ，解得， 综上：或. 故答案为：3或. 地 城 考点04 椭圆中的三角形 一、单选题 1．(24-25高二上·陕西汉中·期中)已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为， 则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：， 又，所以， 又直线过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：D    二、多选题 2．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·期中)已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 3．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】BD 【分析】根据给定条件，按直角顶点位置的不同分类求出焦点三角形面积. 【详解】在椭圆中，，半焦距，， 由是直角三角形，得（）或， 若（），由，得，则点到轴距离为， 的面积，B正确； 当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确. 故选：BD 4．(24-25高二上·山东潍坊昌邑·期中)设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的面积的最大值为 D．存在点，使得 【答案】BCD 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，设的顶点，则，，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有个交点，当点此交点之一时，，D正确. 故选：BCD 三、非选择题 5．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径． 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 6．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为 . 【答案】12 【分析】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】    由椭圆的定义可得，， 且，， 所以的周长为. 故答案为： 7．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知椭圆C： 的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，根据点P在椭圆上，再结合，，的关系即可求解； （2）由的面积可得，再结合椭圆的定义和余弦定理即可求解. 【详解】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为，所以的面积， 则， 因为长轴长为，即， 根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以， 在椭圆中有，即， 解得. 8．(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积 ， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 9．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【详解】由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 10．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)平面内点满足，其中、，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】设，，，利用平面向量数量积的定义以及余弦定理可求出、的值，可得出角的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，可得，所以，， 因为，则，故. 故答案为：. 11．(24-25高二上·天津第一百中学·期中)已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 【答案】 【分析】分析可知，在以为直径的圆上，将圆的方程与椭圆的方程联立，求出公共解，即可得出结论. 【详解】当是直角时，在以为直径的圆上，， 故圆的方程为，联立方程：， 解得和，两个点满足. 故答案为：. 地 城 考点05 椭圆中的弦长问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 二、多选题 2．(24-25高二上·浙江杭州浙里特色联盟·期中)已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．直线被椭圆截得的弦长为 D．若，则的面积为4 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义与性质结合勾股定理计算一一判定选项即可. 【详解】因为椭圆方程为：， 则其长轴长、短轴长、焦距分别为， 所以，即A错误；B正确； 当时，与联立得， 即直线被椭圆截得的弦长为，故C正确； 若，则， 即， 则的面积为，故D正确. 故选：BCD 三、非选择题 3．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)已知曲线的方程为，直线． (1)写出的短轴长和离心率； (2)当时，求被截得的弦长； (3)已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 【答案】(1)短轴长，离心率 (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆的标准方程求得，可求椭圆的短轴长和离心率； （2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式即可求出答案； （3）因为，所以，联立方程利用韦达定理即可求出答案. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以椭圆的短轴长为，离心率为； （2）当时，直线 联立方程： ，整理可得：， 根据韦达定理：， 根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为： ； （3）设，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， 根据韦达定理：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得. 4．(24-25高二上·四川攀枝花第七高级中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与椭圆，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意，化简， 又因为直线PA、PB的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有， 又为线段AB的中点， 则有，，代A即得直线的斜率为， 直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为. （3）， 设，，则，， 故. 5．(24-25高二上·浙江诸暨中学暨阳分校·期中)已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，表示椭圆离心率，将点代入椭圆方程，联立方程求解； （2）分别表示出直线方程，结合弦长公式求解. 【详解】（1）因为椭圆，其中离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 联立，得， 设直线与椭圆的交点为， 则，， 则， 解得， 所以直线的方程. 地 城 考点06 中点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出的关系，再根据椭圆的性质求解即可. 【详解】设，， 将直线方程与椭圆方程联立， 消去得， 则， 因为的中点为所以，解得， 所以，， 故选：B 3．(23-24高二上·浙江舟山·期末)已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可得，因为点为直线与圆的切点，所以，可求解. 【详解】设， 设直线，且， 则，作差得：， 由，所以，① 因为点为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得，解得. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用点差法解决圆锥曲线中点弦有关问题，以及圆的切线有关性质的灵活运用. 4．(24-25高二上·广东实验中学·期中)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法和中点坐标公式，及斜率公式可得，再结合的关系即可求解. 【详解】设， 代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 又的中点坐标为， 所以， 则，又， 所以，即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：. 故选：. 5．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得. 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为， 则直线的方程为，即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得，满足， 故直线方程为，即. 故选：B. 二、非选择题 6．(24-25高二上·陕西咸阳淳化中学·期中)过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【答案】 【分析】用点差法求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程，结合弦长公式即可求出结果. 【详解】设，，因为线段的中点为， 根据中点坐标公式得：，， 由，在椭圆上，有，两式相减化简得： ， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为：，即， 联立方程，消去得：， 则，， 所以线段的长度是： ， 故答案为： 7．(24-25高二上·福建厦门杏南中学·期中)已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】运用点差法推得，结合，即得椭圆方程. 【详解】 如图设，则， 由整理可得，（*）， 因为弦的中点，且直线的斜率为， 则， 则由（*）可得，，即， 由题意，，则，故椭圆的方程为. 故答案为：. 地 城 考点07 椭圆的综合问题 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 2．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A. 3．(24-25高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，解出即可得出离心率. 【详解】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为， 则由题意得， 解得， 所以该椭圆形轨道的离心率. 故选：A. 4．(24-25高二上·广东梅州广东梅县东山中学·期中)小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设篮球半径为，连接，过作 交于，则，于是椭圆长轴长，，由二倍角公式化简即可求解. 【详解】   设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作 交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 二、多选题 5．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定图形，根据焦距含义直接判断A；由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断B；由变形推理判断C，D作答. 【详解】对A，观察给定图形，显然，则，故A正确； 对B，由及得，B正确； 对CD，因，即，有， 得， 令，，即有，由给定轨道图知，， 因此，，D正确；而，C不正确. 故选：ABD 三、非选择题 6．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题设条件可得，逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由题设，， 所以，，故AB正确，C错误， 而，故D正确. 故选：ABD. 7．(24-25高二上·山东名校考试联盟·期中)嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 【答案】 【分析】根据题意由已知条件根据勾股定理即可分别计算得出两离心率的大小，可得结果. 【详解】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $