专题05 抛物线 4个高频考点（期中真题汇编，人教A版）高二数学上学期

专题05 抛物线 4大高频考点概览 考点01 抛物线的定义与方程 考点02 抛物线的几何性质 考点03 抛物线的弦长问题 考点04 抛物线的综合问题 地 城 考点01 抛物线的定义与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 3．方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．(24-25高二上·广东部分名校·期中)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 7．(24-25高二上·浙江宁波镇海中学·期中)若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)下列四个命题中，正确的是（   ） A．要唯一确定圆，只需给出圆上三点 B．要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线 C．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点 D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点 9．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 10．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 11．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一动点，则的取值范围是 . 12．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 13．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·期中)顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 地 城 考点02 抛物线的几何性质 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．(21-22高二上·湖南株洲第八中学·期中)抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·广东东莞·)设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 8．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 地 城 考点03 抛物线的弦长问题 一、多选题 1．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 二、非选择题 2．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 3．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. (1)求C的方程. (2)过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 4．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于两点. （ⅰ）若点，求的最小值； （ⅱ）为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由. 5．已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点， ①求证：； ②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 地 城 考点04 抛物线的综合问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·陕西渭南华州区咸林中学·期中)已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·月考)为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西部分高中学校·)图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·陕西渭南韩城·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 三、非选择题 8．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 9．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 10．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是 . 11．(24-25高二上·山东多校·期中)已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ． 12．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 13．(24-25高二上·广东东莞·)已知点在焦点为的抛物线上，若，则 . 14．(24-25高二上·河南九师联盟·)如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 15．(24-25高二上·山东百师联考·期中)如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 16．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 17．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm. 18．(24-25高二上·河北沧州沧衡名校联盟·期中)已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线 4大高频考点概览 考点01 抛物线的定义与方程 考点02 抛物线的几何性质 考点03 抛物线的弦长问题 考点04 抛物线的综合问题 地 城 考点01 抛物线的定义与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 2．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 3．方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】变形已知方程，结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义即可得解. 【详解】由原方程得， 即动点到定点的距离与它到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以此方程表示的曲线为抛物线. 故选：D 4．(24-25高二上·广东部分名校·期中)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 5．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可. 【详解】设，圆M的半径为r，易知则由题意可知， 即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1， 则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等， 所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即. 故选：B 6．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 7．(24-25高二上·浙江宁波镇海中学·期中)若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 二、多选题 8．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)下列四个命题中，正确的是（   ） A．要唯一确定圆，只需给出圆上三点 B．要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线 C．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点 D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点 【答案】ABD 【分析】对于A：根据三角形外接圆分析判断；对于B：根据抛物线的定义分析判断；对于C：根据椭圆形状分析判断；对于D：根据双曲线的性质分析判断. 【详解】对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确； 对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确； 对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误； 对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点， 可以求出a,b,c，且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确； 故选：ABD. 9．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 三、非选择题 10．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点的距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 11．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义得，两点间的距离公式得，进而表示出，利用函数的性质求值域即可. 【详解】 由题意：； 设，由抛物线定义：，； 当时，； 当时， ， 因为，所以，当且仅当时，等号成立； 因此，有最大值，当时，， 所以； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 12．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 13．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·期中)顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 地 城 考点02 抛物线的几何性质 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先求出准线方程，再设点，，根据点P在抛物线上和得到方程组，求出m的值，根据抛物线的定义求出答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 设，，点P在抛物线上，， 则，解得或（舍去）， 由抛物线定义可得. 故选：B． 2．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 3．(21-22高二上·湖南株洲第八中学·期中)抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求其焦点坐标. 【详解】由可得， 所以抛物线开口向上且， 所以，所以焦点坐标为. 故选：C. 4．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成标准式，即可求解. 【详解】由可得，故，则， 故焦点坐标为， 故选：C. 5．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为标准式，即可求出其准线方程. 【详解】抛物线可化为， 故抛物线的准线方程为. 故选：D. 6．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可求抛物线的方程，从而可求准线方程. 【详解】因为为抛物线上一点，所以，解得， 所抛物线的方程为，所以准线方程为. 故选：C. 7．(24-25高二上·广东东莞·)设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线标准方程可得焦点，再由离心率可得，可求得椭圆方程. 【详解】根据题意易知抛物线的焦点为，可得； 椭圆离心率为，可得，即； 椭圆可化为，因此可得； 因此，所以椭圆的方程为. 故选：C 二、非选择题 8．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【详解】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 地 城 考点03 抛物线的弦长问题 一、多选题 1．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【答案】AC 【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断；B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合通项性质求最短弦长；D根据给定直线和曲线的形状，数形结合求参数范围. 【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为， 即，对； B：若截距不为0时，令直线为，则， 此时直线方程为，错； C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对； D：由过定点，是圆上半部分，如下图， 当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得， 当动直线过半圆左侧端点时，即， 结合图知，，D错. 故选：AC 二、非选择题 2．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定,进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 3．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. (1)求C的方程. (2)过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知求出即可. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积关系，进而求出点的坐标，再利用向量垂直的坐标表示推理得证；②设出点的坐标，结合中点坐标及都在椭圆上，分别求出点的坐标关系即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意，，由消去得，则， 联立解得 所以椭圆C的方程为. （2）①直线不垂直于轴，设其方程为，，    由消去得，， ，轴，， 的面积 ，解得， 而直线的倾斜角为钝角，则，由解得， 因此点，， 则，即， 所以. ②由及A是的中点，得，又点均在椭圆上，    则，整理得，即， 设点，由，得点是的中点，则， 同理得，因此点，的坐标都满足方程， 所以直线的方程为. 4．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于两点. （ⅰ）若点，求的最小值； （ⅱ）为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）设动点坐标，根据题意列出等式，化简出轨迹方程； （2）（i）设直线方程和交点坐标，联立方程组整理得到二次方程，由韦达定理得到点的坐标之间的关系，由抛物线的定义列出表达式，借助韦达定理的结论进行化简，由此得出最小值. （ii）斜率不存在时写出直线，斜率存在时，设直线方程和交点坐标，联立方程组，整理的二次方程，由韦达定理得到点的坐标的等式，由两点式写出直线方程，因为斜率不存在时，所以直接令，若为定值，则过定点. 【详解】（1）设动圆圆心为， 到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2， 则，化简得； 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2）（i）设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 与的轨迹方程联立得 消去得， 由在抛物线内部，故，所以. 由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 综上，的最小值为. （ii）情况1：直线斜率不存在时，直线的方程为. 情况2：直线斜率存在时， 设直线的方程为. 设直线的方程为. ，则 所以.则，所以.即 同理. 所以直线CD的方程为 令.则 所以定点为. 5．已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点， ①求证：； ②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由题意，设抛物线方程 由，得由此能求出抛物线的方程； （2）①设，，由于为中点，则,故当轴时由抛物线的对称性知，当不垂直轴时，设，由，得，由此能够证明. ②设存在直线满足题意，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，故，由此能够推出存在直线：满足题意． 【详解】（1）由题意，可设抛物线方程为． 由，可得， 抛物线的焦点为，， 抛物线的方程为； （2）①设，， 由于为中点且，则， 故当轴时，由抛物线的对称性知，一定有， 当不垂直轴时，显然直线的斜率不为，设 ， 由，得，， 则， 则，， 所以， 则， 综上证知，； ②设存在直线满足题意， 设圆心，过作直线的垂线，垂足为，圆与直线的一个交点为， ， 即   ， 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值， 因此存在直线：满足题意. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点04 抛物线的综合问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据余弦的二倍角公式，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下： 由与圆相切，则，且， 设，则，可得， 的最小值为，的最大值为. 故选：B. 2．(24-25高二上·陕西渭南华州区咸林中学·期中)已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 3．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】清洁钢球半径最大，则圆心必在抛物线的对称轴上，因此设圆心为设 ，圆能过抛物线底部（即顶点），只要到抛物线上点的距离的最小值是到顶点的距离，此距离的最大值即为所求结论． 【详解】设 ，是抛物线上任一点，显然， 抛物线内以为圆心的圆能过原点，则的最小值是， ， 所以时，取得最小值， 若，则点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意， 若，即，则时，，此时圆半径为，最大值是2. 故选：C． 4．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·月考)为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 5．(24-25高二上·江西部分高中学校·)图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 6．(24-25高二上·陕西渭南韩城·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 二、多选题 7．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 三、非选择题 8．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【答案】 【分析】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：.    9．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 5 【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，圆，即为， 则； 因为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 设点到准线的距离为， 则，当且仅当为坐标原点时，等号成立， 综上所述：， 当且仅当为坐标原点，为时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：；5. 10．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合抛物线的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】抛物线的焦点是，准线是：， 设点到直线的距离为，则， 所以，当且仅当且在与之间时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 11．(24-25高二上·山东多校·期中)已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，焦点． 过点作准线的垂线，垂足为.由题可知. 依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3. 如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得， 所以点的坐标为. 故答案为：3， 12．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 13．(24-25高二上·广东东莞·)已知点在焦点为的抛物线上，若，则 . 【答案】3 【分析】根据焦半径公式得到方程，求出答案. 【详解】由焦半径公式得，解得. 故答案为：3 14．(24-25高二上·河南九师联盟·)如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 【答案】725 【分析】建系，得到相应抛物线方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设抛物线的方程为，则100，解得， 所以抛物线的准线方程为 . 故答案为：725 15．(24-25高二上·山东百师联考·期中)如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【答案】/ 【分析】建系，设抛物线方程为，从而可得在抛物线上，从而可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建系如图，设抛物线方程为， 则根据题意可知图中坐标为， ，， 抛物线方程为， 令，可得， 则水面下降了米 故答案为： 16．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【分析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，最右侧的高，用该值减去即为限制高度. 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 17．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm. 【答案】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得. 故该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 故答案为： 18．(24-25高二上·河北沧州沧衡名校联盟·期中)已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $