专题07 整式的乘法（期中真题汇编，北京专用人教版2024）八年级数学上学期

专题07 整式的乘法 6大高频考点概览 考点01 同底数幂乘法 考点02 幂的乘方 考点03 积的乘方 考点04 整式除法运算 考点05 整式乘法运算 考点06 乘法公式 地 城 考点01 同底数幂乘法 一、单选题 1．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·北京育才学校·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·北京八一学校·期中)下列运算中，结果正确的是（） A． B． C． D． 6．(23-24八上·北京三帆中学·期中)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 7．(23-24八上·北京第十四中学·期中)下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)若，则 ． 10．(23-24八上·北京第十四中学·期中)若，则 ． 11．(23-24八上·北京第十四中学·期中)计算： ， ． 12．(23-24八上·北京陈经纶中学分校望京实验学校·期中) ；已知，，则 ． 13．(23-24八上·北京日坛中学教育集团·期中)若，，则 ． 三、解答题 14．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)计算： (1)； (2)． 15．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 16．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)计算：． 地 城 考点02 幂的乘方 一、单选题 1．(23-24八上·北京海淀区·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)下列计算式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)已知，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．32 二、填空题 4．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中) ． 5．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)计算： ． 三、解答题 6．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)计算：． 7．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)计算： 地 城 考点03 积的乘方 一、单选题 1．(24-25八上·北京第十二中学·期中)下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)计算： ． 3．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中)如果成立，那么 ， ． 4．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 三、解答题 5．(24-25八上·北京文汇中学·期中)计算： (1) (2) (3) 6．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)已知，求的值． 7．(24-25八上·北京·期中)计算：． 地 城 考点04 整式除法运算 一、填空题 1．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为a，则长为 ． 2．(23-24八上·北京东城区·期末)某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号：shu xue le yuan 密码 二、解答题 3．(23-24八上·北京朝阳区·期末)计算：． 4．(24-25八上·北京文汇中学·期中)先化简，再求值：，其中． 5．(23-24八上·北京日坛中学教育集团·期中)计算： 地 城 考点05 整式乘法运算 一、单选题 1．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京第二十二中学、第二十一中学联盟校·期中)我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（1，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数． （1）展开式中的系数为 ； （2）展开式中各项系数的和为 ． 3．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 三、解答题 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)计算 (1) (2) (3) 5．(24-25八上·北京海淀区·期末)计算：． 6．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)计算： 7．(24-25八上·北京文汇中学·期中)计算： (1) (2) 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式__________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 9．(23-24八上·北京三帆中学·期中)先化简，再求值：，其中． 10．(23-24八上·北京日坛中学教育集团·期中)（1）如果，那么的值是 ，的值是 ； （2）如果，求的值； 地 城 考点06 乘法公式 一、单选题 1．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 2．如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)已知长方形可以按图示方式分成九部分，在，变化的过程中，下面说法正确的有（   ） ①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形的周长 ②长方形的长宽之比可能为2 ③当长方形为正方形时，九部分都为正方形 ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 4．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如果，那么代数式的值为 ． 5．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ． 6．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)已知是完全平方式，则常数k等于 ． 三、解答题 7．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式__________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 9．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)如图1有三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，老师用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出一个数学公式______； (2)根据数学公式，解决问题：已知，，求的值． 10．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 11．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)化简求值：当时，求代数式的值． 12．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 13．(23-24八上·北京第十四中学·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 试卷第1页，共3页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式的乘法 6大高频考点概览 考点01 同底数幂乘法 考点02 幂的乘方 考点03 积的乘方 考点04 整式除法运算 考点05 整式乘法运算 考点06 乘法公式 地 城 考点01 同底数幂乘法 一、单选题 1．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方法则求解即可． 【详解】解：A、，故错误； B、，正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 3．(23-24八上·北京育才学校·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则，根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、单项式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、单项式的乘法的运算法则，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算不正确，不符合题意； D、，故此选项计算不正确，不符合题意； 故选：B． 5．(24-25八上·北京八一学校·期中)下列运算中，结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、与无法合并，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 6．(23-24八上·北京三帆中学·期中)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方及积的乘方，利用同底数幂的乘法与除法、幂的乘方及积的乘方的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，则正确，故符合题意； B、，则错误，故不符合题意； C、，则错误，故不符合题意； D、，则错误，故不符合题意； 故选A． 7．(23-24八上·北京第十四中学·期中)下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则判断选项A、D；根据同底数幂相乘法则判断选项B、C即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．与不是同类项，不可以合并，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法，根据法则依次判断即可，熟练掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】A. 与不是同类项，不能合并，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故正确； 故选：D． 二、填空题 9．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10．(23-24八上·北京第十四中学·期中)若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则是解题的关键．利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对条件进行整理，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 11．(23-24八上·北京第十四中学·期中)计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟记整式乘法的公式和计算方法即可正确解答.根据同底数幂相乘法则、单项式乘以多项式法则计算即可. 【详解】解：， ， 故答案为：；. 12．(23-24八上·北京陈经纶中学分校望京实验学校·期中) ；已知，，则 ． 【答案】 / 6 【分析】此题考查了积的乘方运算，同底数幂乘法的逆运算，根据积的乘方运算法则即可求出的值，利用同底数幂乘法的逆运算得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】； ∵，， ∴． 故答案为：，6． 13．(23-24八上·北京日坛中学教育集团·期中)若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，明白“公式”是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； （2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘法则即可求解； （2）根据积的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据幂的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可； （4）根据积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 16．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，合并同类项，本题先计算同底数幂的乘法与除法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 地 城 考点02 幂的乘方 一、单选题 1．(23-24八上·北京海淀区·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意； B. ，故B选计算错误，不符合题意；     C. ，故C选计算错误，不符合题意；     D. ，故D选计算错误，不符合题意． 故选：A． 2．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)下列计算式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算．根据题意对选项逐个进行计算即可选出答案． 【详解】解：∵，故A选项正确； ∵，故B选项不正确； ∵，故C选项不正确； ∵，故D选项不正确， 故答案选：A． 3．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)已知，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故原式． 故选B． 二、填空题 4．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中) ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 5．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，先根据积的乘方和幂的乘方将原式化简，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 7．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算． 【详解】解： 地 城 考点03 积的乘方 一、单选题 1．(22-23八上·北京第十二中学·期中)下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能计算，故错误，不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意， C、，计算正确，故符合题意， D、，原计算错误，故不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键． 二、填空题 2．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方运算法则是解题的关键．逆用积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中)如果成立，那么 ， ． 【答案】 【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握其性质．先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，． 4．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25八上·北京文汇中学·期中)计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用单项式乘以单项式进行计算，即可作答． （2）先运算积的乘方，单项式乘以单项式，再合并同类项，即可作答． （3）运算多项式除以单项式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． 6．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)已知，求的值． 【答案】/ 【分析】本题考查非负数性质，绝对值定义，积的乘方．根据题意求出的值，再代入中即可求得本题结果． 【详解】解∶∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八上·北京·期中)计算：． 【答案】3a4b2． 【分析】根据同底数幂乘法及积的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得答案． 【详解】 =-6a4·b2+9a4b2 =3a4b2． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法、积的乘方及合并同类项法则是解题关键． 地 城 考点04 整式除法运算 一、填空题 1．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为a，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，本题利用长方形的面积除以宽即可得到长方形的长． 【详解】解：长方形的长为：； 故答案为： 2．(23-24八上·北京东城区·期末)某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号：shu xue le yuan 密码 【答案】2024 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解． 【详解】解：， ∴他输入的密码是2024； 故答案为：2024． 二、解答题 3．(23-24八上·北京朝阳区·期末)计算：． 【答案】0 【分析】先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法，最后进行合并同类项即可，此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 4．(24-25八上·北京文汇中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，最后运算除法，得，再把分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 5．(23-24八上·北京日坛中学教育集团·期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 地 城 考点05 整式乘法运算 一、单选题 1．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 2．(24-25八上·北京第二十二中学、第二十一中学联盟校·期中)我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（1，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数． （1）展开式中的系数为 ； （2）展开式中各项系数的和为 ． 【答案】 5 【分析】此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键，根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可． 【详解】解：（1）根据题意中例子所示，展开式中的系数应与第6行的2个数对应，即为5， 故答案为：5； （2）当时， 展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、... ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 故答案为：． 3．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则化简后，使一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵乘积不含一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 5．(24-25八上·北京海淀区·期末)计算：． 【答案】 【来源】北京市海淀区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷 【分析】根据整式的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 6．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查整式运算合并同类项，平方差运算．根据题意先去括号，再合并同类项即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， ， 7．(24-25八上·北京文汇中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的运算，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用完全平方公式进行展开，即可作答． （2）运用平方差公式和多项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式__________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 【答案】(1) (2)2，7 (3)8 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解； （2）先计算，再根据面积不变结合乘法的结果可得答案； （3）根据图形得到，，利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴； （2）∵ ， ∴要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片2张，C号卡片7张； （3）由题知：，， 则，则， ∴， ∴（负值舍去）， 图中阴影部分面积为：． 9．(23-24八上·北京三帆中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题考查了多项式乘多项式中的化简求值，先利用完全平方公式及平方差公式进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 10．(23-24八上·北京日坛中学教育集团·期中)（1）如果，那么的值是 ，的值是 ； （2）如果，求的值； 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； （1）根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）， ． ∴ ． 地 城 考点06 乘法公式 一、单选题 1．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，本题先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故选A 2．如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得右边阴影部分的面积，根据面积相等即可解答． 【详解】解：左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 3．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)已知长方形可以按图示方式分成九部分，在，变化的过程中，下面说法正确的有（   ） ①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形的周长 ②长方形的长宽之比可能为2 ③当长方形为正方形时，九部分都为正方形 ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题关键．根据长方形的周长公式可判断说法①；先分别求出，的长，再根据长宽之比为2求出，的值，由此可判断说法②；先求出当长方形为正方形时，，由此可判断说法③；先根据长方形的周长公式可得，再根据长方形的面积公式，结合完全平方公式和整式的运算法则求出面积的取值范围，由此可判断说法④． 【详解】解：①四边形、、的周长之和等于长方形的周长； ②长方形的长为，宽为，若该长方形的长宽之比为2， 则， 解得，这与题意不符，故②的说法不正确； ③当长方形为正方形时，， 所以，所以九部分都为正方形，故③的说法正确； ④当长方形的周长为60时，即， 整理，得， 所以四边形的面积为100， 故当长方形的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确． 综上正确的是①③． 故选：B． 二、填空题 4．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘法公式，熟记基本的乘法公式，并准确化简以及运用整体思想是解题关键．首先根据乘法公式进行计算化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 5．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ． 【答案】10或/或 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题由完全平方公式的含义可得，再解方程可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 解得：或． 故答案为：10或． 6．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)已知是完全平方式，则常数k等于 ． 【答案】64 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴． 故答案为：64． 三、解答题 7．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积， 即； （2）①由（1）可得：， ∵，， ∴，解得：； ②设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式__________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 【答案】(1) (2)2，7 (3)8 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解； （2）先计算，再根据面积不变结合乘法的结果可得答案； （3）根据图形得到，，利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴； （2）∵ ， ∴要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片2张，C号卡片7张； （3）由题知：，， 则，则， ∴， ∴（负值舍去）， 图中阴影部分面积为：． 9．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)如图1有三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，老师用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出一个数学公式______； (2)根据数学公式，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的结合，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）由图形面积的两种不同计算方法得出完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式计算出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由图2可知，， 故答案为：； （2）， ， ， ， ． 10．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），14 【分析】本题考查了幂的混合运算，整式的混合运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据幂的混合运算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入求解即可．． 【详解】解：（1） ； （2） ； 把代入得： 原式． 11．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式将原式展开再合并，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则、顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 12．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，有理数的混合运算， （1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果； （2）设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可得证； （3）中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为，根据题意列出方程求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都等于， 故答案为：；；； （2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，依题意得， ； （3）解：设中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为， 依题意得，， ， ， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴中间位置上的数． 故答案为：． 13．(23-24八上·北京第十四中学·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算， （1）先按照同底数幂相乘法则计算乘法，然后加减即可； （2）先根据积的乘方法则先算乘方，再按照单项式乘单项式法则进行计算； （3）按照多项式乘多项式法则进行计算即可； （4）先根据积的乘方法则先算乘方，再按照单项式乘多项式法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $