专题03 函数的概念与性质 5大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数的概念与性质 ☆5大高频烤点概览 考点01定义域、值域及其对应法测 考点02分段函数 考点03函数的奇偶性 考点04函数的单调性 考点05函数性质的应用 目目 考点01 定义域、值域及其对应法则 一、单选题 1.(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山期中下列函数中，在R上是增函数的是（) A.f(x)=x经 B.f(x)=2-÷C.f(x)=-x D.f(x)=x- 2.(24-25高一上浙江杭州第二中学期中)若函数f(x+1)的定义域是{x-1<x<0},则函数fx)的 定义域为() A.{x0<x<1} B.{x-2<x<-1}C.{x-1<x<0}D {x-2<x<0} 3.(24-25高一上浙江杭州S9联盟·期中)已知函数fx)的定义域为(2，+∞，值域为R,则() A,函数f(x2+2)的定义域为R B.函数f(2+2)-2的值域为R C.函数f(x2+2x+3)的定义域和值域都是R D.函数f(f(x)的定义域和值域都是R 4.(2425高一上渐江杭州西湖区东方中学期中)函数f(x)=零的定义域为() A.（-∞，4]B.(1,4] C.(-∞，1)U(1,+∞)D.(-∞，1)U(1,4] 5.(24-25高一上浙江浙江星辰联盟期中)已知函数y=f(x)的定义域是[0,2]，则函数y=f(2x-2)的 定义域是() A.[-3,2] B.[1,4] C.[1,2] D.[-2,2] 6.(24-25高一上浙江强基联盟)如果f(a+b)=f(a)·f(b)且f(1)=2,则 器+得+得+…+8器的值为（） A.1012 B.2024 C.1013 D.2026 1/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2425高一上浙江浙江星辰联盟期中已知函数f(x)=V公+2+V2-x,则该函数的值域是() A.[1,22] B.[1,2] C.[4,8] D.[2,2V2] 8.(24-25高一上浙江G5联盟期中)已知f(区)=x+2区，则x)的解析式为() A.f)=x+2区 B.f8)=x-2R(x≥0) C.f(x)=x2+2x D.fx)=x2+2x(x20) 二、多选题 9.(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)下列函数中，是偶函数且值域为0，十∞的有() A.y=点 B.y=|x2-2 C.y=x2+a-2D.y=x2-2 10.(2425高一上浙江钱期联盟期中)设函数（☒）=流(x∈R,则下列结论正确的有() A.fx)的值域是(-1,1)： B.任意X1X2ER且X1≠X2,都有型>0； C.任意xX2∈(0，+四)且x1≠x2都有型>f(空)： D.规定f(x)=fx,fHx)=f(fx),其中neN,则fn(3)= 11.(2425高一上浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）期中)已知函数f(x)=器，下列选项正确的是() A.VxE{xx≠-1}，f(是)=-f(x)B.函数f(x)在定义域内是减函数 C.若x∈[0,2]时，则f(x)的值域[-，1]D.f(x)的图象关于(-1,1)对称 12.(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学期中)狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献 狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理=5的情况，后 (1,x是有理数 来亦证明了=14的情况迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数：D(x)= (0,x是无理数，有关 该函数的图像，下列判断不正确的是() A.图象是连续的 B.图象是折线段 C.图象关于y轴对称 D.图象能画出 13.(24-25高一上·浙江嘉兴平湖当湖高级中学)有以下判断，其中是正确判断的有() 2/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1,x≥0 A.f(x)=里与8(x)={-i,x<0表示同函数 B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个 C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t22t+1是同-函数 D.函数y=f(x+1)的定义域为[1,2]，则函数y=f(2x-1)的定义域为[，2] 三、填空题 14.(24-25高一上浙江丽水丽水五校高中发展共同体期中)函数8)=V2-3x+2+22x的最小值为 15.(2425高一上渐江杭州S9联盟期中若幂函数f(8)=x的图象经过点（专号），则函数y=f(x-1) 的定义域为 16.(24-25高一上浙江台州六校联盟期中)函数f(x)=在x∈(1，+∞)的值域是 四、解答题 17.(2425高一上浙江浙江星辰联盟期中)已知定义在R上的函数F(x)=,满足 f(0)=0,f()=: (1)求f(x)的解析式： (2)求证：f(x)在(0,1)上是增函数. 18.(24-25高一上浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）期中)设函数f(x)=(a≠0，x>0),满足：① f(1)=克；②对任意x>0,f(x)=f(录)恒成立. (1)求函数f(x)的解析式，并写出单调区间. (2)设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C,D在函数f(x)的图象上.设矩形ABCD的面积为S,求证： 0<S<1: 19.(24-25高一上浙江杭州江干区杭四吴山期中)(1)己知f(x)是一次函数，且满足 2f(x+2)-f(x)=x+7,求f(x): 3/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)己知f(x)+2f(-x)=x2+3x+1,求f(4): x2,x≤1 3)已知函数f()={2x1X>1g(x)= 区，x≥0 (克，x<0,求f(g(x): 目目 考点02 分段函数 一、单选题 1.(2425高一上指江宁被北仑中学期已知函数冈-2aER)的最小值为0，则a=（) A.士 B.士克 C.±1 D.±2 之.425高-上新江抗州西潮区东方中学期中已知函数(x)=xx4)x<0,则F(3)=《) (x(x+4),x20 A.21 B.-3 C.-21 D.3 (2a-1)x+4a(x<1) 3.(24-25高一上浙江杭州西湖区杭师大附中期中)已知函数 是(x≥1) ,f(x)对 于VX,x2ERX1≠X2,都有型<0成立，求a的取值范围() 1 A.(-∞，)B.[宗) c.() D.（3,+o) 二、多选题 4.(2425高一上浙江G5联盟期中)函数f(x)={ (m-2)x+4m+1,x≤2 2m1,x>2 ，若该函数存在最小值， 则m的可能取值是() A.寺 B.青 C.号 D.3 三、填空题 5.2425高-一上宁发起仑中学期物已知函数冈={ -x2-2ax-1,X<1 是，x≥1 ,满足对任意的实数 名x且≠X2都有>-1，则实数：的取值范围是 ）-x+1x<1 6.2425离-上新江杭州s9联里期中)设数{收- x≥1，则f(4》= 4/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 -x2-2ax-a,x<0 7.(2425高一上浙江杭州江干区杭四吴山期中)已知函数f(x)= 2-x+a,x≥0，aeR (1)若f(x)过点P(1,4),求f(-1): (2)若g(x)=f(x)+x,当xER时，函数g(x)单调递增，求a的取值范围； (3)当x∈[-2,2]时，若函数f(x)图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围 （m,m≥n ∫m,m≤n 8.(2425高一上浙江G5联盟期中定义max{m}={n,m<”min{m}={nm>n· (1)写出函数y=min{x-1,-2x+1}的表达式： (2)已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=x+a,(a∈R),求h(x)=型的最小值： 2 (3)已知函数F(x)=(b+1)x+是+b-|(b-1)x是+b,当x∈[1,4]时，F(x)的最小值为8，求 实数b的取值范围. 目目 考点03 函数的奇偶性 一、单选题 1.(Q425高一上渐江杭州第二申学期中)已知定义在R上的函数f(x)=器+x,则不等式 f(2x-1)+f(x)<0的解集为() A.(1,+∞)B.(-0,1) c.（待，+o D.(-∞青) 2.(24-25高一上浙江杭州西湖区东方中学期中)已知函数f(x)=紫，若y=f(x+a)-b为奇函数， 则() A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=-1D.a=-1,b=1 3.(24-25高一上浙江杭州江干区杭四吴山期中)已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足 以下条件：①x∈Rf(-x)=f(x):②VxX2E(-o,0),当X1≠x2时，都有型<0：③ 881 f(2)=0.则下列选项不成立的是() A.f(1)<f(-2) B.若f(m2-3)<f(1),则me（-2,-V2)U(V2,2) C.若型>0，则xE(3,+o) D.廿xER3MER,使得f(x)≥M 4.(24-25高一上浙江杭州江干区杭四吴山期中)函数f(x)=袋的图象大致是() 5/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ex+1,x>0 5.(2425高-上渐江G5联盟期中)已知函数f(x)={g(x)+1,x<0为奇函数，则g(-1)=（） A.-e B.-e1 C.-e-2 D.-e+2 6.(24-25高一上浙江G5联盟·期中)定义在R上且都不恒为零的函数y=f(x)与y=g(x)进行下列运算， 正确的是（) A.若y=f(x),y=g(x)均为奇函数，则y=f(g(x))为奇函数 B.若y=f(x),y=g(x)单调性相同，则y=f(x)·g(x)为增函数 C.若f(g(x))=f(g(x)),则g(x)=g(x) D.若6，x>0,则型2>0 1x2 二、多选题 7.(2425高一上·浙江杭州西湖区东方中学期中)已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示，则() y=f(x) y=g(x) A.y=f(x)g(x)为奇函数 B.y=f(x)g(x)在(0，+∞)上单调递增 C.y=f(g(x))在(-o,0)上单调递减D.y=f(x)g(x)的值域为R 8.(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中期中)游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一 带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色.德国数学家莱布尼 兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那 么悬链线可以表示为函数f(x)=号(e亭+e号)，其中a>0,则下列关于悬链线函数f(x)的性质判断中， 6/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 正确的有() A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的最小值为a D.f(x)的单调增区间为[0，+∞) 9.(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)下列说法中正确的是() A.若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0 B.函数y=f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.若y=f(x是一次函数，满足f(f(x))=16x+5,则f(x)=4x-1 D.式子log227×1og8-21og510-1o80.24化简的结果为7 10.(24-25高一上浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知函数f(x)=xx-罗引，下列说法正确的是() A.存在实数m,使得f(x)为偶函数： B.存在实数m,使得f(x)为奇函数； C.任意实数M>0,存在实数xo,使得f(xo)>M: D.若f(x)在区间(a,b)上单调递减，b-a的最大值为鳄 三、填空题 11.(2425高一上·浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时， f(x)=-3+x2,则当x>0时，f(x)= 12.(24-25高一上浙江宁波余姚中学期中)若定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的函数f(x)同时满足：① f(x)为奇函数：②f(1)=0;③对任意的xyX2∈(0，+∞)，且x1≠x2,都有，型<0，则称 函数f(x)具有性质P,已知函数f(x)具有性质P,则不等式(2x+1)·f(x)<0的解集为 四、解答趣 13.(2425高一上浙江杭州江干区杭四吴山期中)已知奇函数f(x)=+x经过(-1,3)点 (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(-∞，-1)上的单调性并用定义进行证明： (3)若存在x1x2∈[1,3]，使得不等式f(x1)≤x号-2mx2十m2-6成立，求实数m的取值范围. 14.(24-25高一上浙江杭州拱墅区源清中学·期中)己知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且 f(1)=1,若对于任意实数的m,ne[-1,1](m+n≠0)，有mt@>0 2叶n 7/15 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)证明函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增； (2)解不等式f(x+号)<f(1-x): (3)若f(x)≤-2at+2对于任意的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围 15.(24-25高一上·浙江温州中学期中)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈(-1,1)，都有 f(y)-f(x)=f(),且当xe(-1,0)时，f(x)<0 (I)求证：f(x)是奇函数； (2)判断f(专)+f(青)的正负，并说明理由， 16.(24-25高一上浙江杭州S9联盟期中)设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-ax-d (1)判断函数f&)的奇偶性： (2)若f0)≥1，求a的取值范围： (3)求fx)的最小值 17.(2425高一上浙江浙江星辰联盟期中已知函数f(x)=1-岁 (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)求函数f(x)的值域. 18.(24-25高一上浙江杭州第九中学期中)已知函数f(x)=1-(xER), (1)判断函数f(x)在R上的奇偶性，并证明之： (2)判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出f(x)在R上的值域. 19.(2425高一上浙江G5联显期中已知函数f(x)=赞是奇函数。 (1)求a的值： (2)判断函数f(x)在(0，十∞)上的单调性，并用定义证明： (3)若方程F(g+4)+f(t×3+2)=0在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求t的取值范围. 目目 考点04 函数的单调性 一、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州西湖区东方中学.期中)已知函数f(x)=x2-kx-8在[3,4]上具有单调性，则实 数k的取值范围是() A.[6,8] B.(-∞，6]U[8,+∞) C.[8,+∞)D.（-∞，6] 8/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知函数f(x)满足f(1-x)=f(5+x),f(x)在 (-∞，3]上单调递减，f(0)=0,则f(23x)>0的解集是() A.（-∞，号)U(2,+∞) B.（32) c.（-,) D.（-∞-号)U(3,+∞) 30es-上用钓已0到-(c+ 满足：对任意 Xx∈R,当≠x时，都有2>0成立，则实数a的取值范围是（) A.[月，) B.[-2,克) C.[-2,+∞) D.[-o,) 4.(2425高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，十∞)上为增函数的是 () A.y=2024-x B.y=ex+2024 C.y=x2+2024 D.y=-☒+2024 二、多选题 5.(2425高一上浙江温州中学期中)设常数a∈R,函数f(x)=32x-3-x+a,则() A.函数f(x)在R上单调递减 B.当a=1时，y=f(x)的图像关于直线x=1对称 C.对任意a∈R,y=f(x)的图像是中心对称图形 D.若f(m)+f(n)>2a-2,则m+n<2 三、填空题 6.(24-25高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）期中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x)=,(答案不唯一) ①vxX2∈R型>0②f(xy)=f(x)f(y)®f(2)>2 7.(2425高一上浙江杭州西湖区东方中学期中①f(x)在R上单调递增，②F(空)=函型，则 满足上述两个条件的函数为一（写出一个即可）： 8.(24-25高一上浙江台州六校联盟期中)若函数y=f(x)在区间[a,b]上同时满足：①f(x)在区间 [a,b]上是单调函数，②当x∈[a,b],函数f(x)的值域为[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保 9/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值”区间，若函数f(x)=x2-x+m存在“保值”区间，求实数m的取值范围 9.(24-25高一上浙江G5联盟期中)已知奇函数f(x)在R上单调递减，则不等式(x+1)f(x)>0的解 集是 10.(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)函数f(x)=|x2-3x的单调递增区间是 四、解答题 11.(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中期中)已知函数f(x)=x2+2mx-6在区间[-1,2]上是单 调函数， (1)求实数m的所有取值组成的集合A; (2)试写出f(x)在区间[-1,2]上的最大值g(m): (g(m),mEA (3)设h(x)=-x2+3x+2,令F(m)= h(m),mE CRA,若关于m的方程F(m)=a恰有两个 不相等的实数根，求实数a的取值范围， 12.(24-25高一上浙江杭州西湖区东方中学期中)考虑以O为坐标原点的坐标平面，对于平面上任意两点 S(xy1)T(x2y2),如果x1x2≥1或y1y2≥1成立，则称S和T相距很远.设不等式 0≤x≤3,0≤y≤3表示的正方形区域为D,其中两个顶点为A(3,0),B(3,3).已知点P的横坐标为a 且满足下列条件()(ii),点Q满足下列条件(m)(iⅳ)· (i)点P在区域D内，且在抛物线y=x2上： (ⅱ)点P与O,A,B三点都相距很远； (ⅲi)点Q在区域D内； (v)点Q与O,A,B,P四点都相距很远. 解答下列问题： (1)求a的取值范围； (2)求点Q的可行域构成的面积f(a); (3)求a在变化过程中，a取何值时，f(a)取最小值； 13.2425高一上浙江杭州西湖区东方中学期中)已知函数f(x)=1·写柔 (1)试用函数单调性定义证明函数f(x)在R上单调递增； (2)求不等式f(m2-2m)<f(m-2)的解集， 14.(24-25高一上浙江杭州北斗联盟期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， 10/15 专题03 函数的概念与性质 5大高频考点概览 考点01 定义域、值域及其对应法则 考点02 分段函数 考点03 函数的奇偶性 考点04 函数的单调性 考点05 函数性质的应用 地 城 考点01 定义域、值域及其对应法则 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断奇偶性可判断A；求出定义域和单调性可判断B；分别求出函数的定义域可判断C和D. 【详解】对于A，幂函数的定义域为，且在上单调递增， ，即为偶函数， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，的定义域为，且和均在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C， 的定义域为，故C错误； 对于D，的定义域为，故D错误. 故选：B. 2．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期中)若函数的定义域是，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域求法可直接求出结果. 【详解】由题意得函数的定义域是，则， 函数中的取值范围应与函数中的取值范围一致； 故定义域为 故选：A 3．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 4．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出使解析式有意义的的范围即可. 【详解】为使有意义，只需，解得且， 即函数的定义域为. 故选：D 5．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域求法，可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域是， 对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是. 故选：C 6．(24-25高一上·浙江强基联盟·)如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 【答案】D 【分析】根据已知等式化简得出定值再计算求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 则. 故选：D. 7．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 8．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用整体代换化求出函数解析式. 【详解】依题意，，则， 所以的解析式为. 故选：D 二、多选题 9．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)下列函数中，是偶函数且值域为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于AD：根据值域即可排除；对于BC：根据偶函数的对于以及函数值域分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即值域不为，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 可知为偶函数， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可知的值域为，故B正确； 对于选项C：因为的定义域为，且， 可知为偶函数， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可知的值域为，故C正确； 对于选项D：当时，，即值域不为，故D错误； 故选：BC. 10．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)设函数，则下列结论正确的有（    ） A．的值域是； B．任意且，都有； C．任意且，都有； D．规定，其中，则. 【答案】ABD 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性就能判断AB；分别取特殊值代入即可验证C；对D由递推式得到的表达式即可判断. 【详解】对于A：当时，单调递增， 所以有， 因为，所以， 因此当时，； 因为是奇函数，所以当时，， 所以的值域是，故A正确； 对于B： 函数是增函数， 由A可知：奇函数在时，单调递增， ∴在时也单调递增，所以该函数是实数集上的增函数，故B正确； 对于C：当任意且时，令，则有 ，，显然， 因此不成立，故C不正确； 对于D：当时，， ， 于是有，因此，故D正确， 故选：ABD. 11．(24-25高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）·期中)已知函数，下列选项正确的是（   ） A． B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域 D．的图象关于对称 【答案】AC 【分析】根据给定的函数，结合反比例函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，函数中，，，A正确； 对于B，函数在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 对于C，由选项B知，当时，，即，C正确； 对于D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位而得， 函数的对称中心为，因此的图象关于对称，D错误. 故选：AC 12．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献.狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理的情况，后来亦证明了的情况.迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数：，有关该函数的图像，下列判断不正确的是（    ） A．图象是连续的 B．图象是折线段 C．图象关于y轴对称 D．图象能画出 【答案】ABD 【分析】对于ABD：根据函数的定义分析判断即可；对于C：根据偶函数的定义分析判断. 【详解】根据实数的性质可知：图象是不连续的，图象为两条不完整的直线， 由于实数x可以取无线小或无限大或无限不循环小数，图象是不能画出的，故ABD错误； 又因为的定义域为， 若是有理数，则也是有理数，可得； 若是无理数，则也是无理数，可得； 综上所述：， 可知为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确； 故选：ABD. 13．(24-25高一上·浙江嘉兴平湖当湖高级中学·)有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得，从而得函数有，解该不等式即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为R， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线的没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为函数与的定义域均为R， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为，所以，故， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 14．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)函数的最小值为 【答案】1 【分析】根据函数的定义域，结合根式的性质可得 ，即可求解最值. 【详解】的定义域需满足，解得或， 故定义域为， 由于，当取等号， 当且仅当取等号，故， 因此，当且仅当取等号， 故最小值为1， 故答案为：1 15．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】将点代入幂函数，求得幂函数的解析式，再求函数的定义域. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故函数， 所以函数 ∴， ∴. ∴函数的定义域为. 故答案为：. 16．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)函数在的值域是 . 【答案】 【分析】化简函数解析式，得到函数在的单调性，然后求出值域. 【详解】， ∵当时，，∴函数在上单调递减， 则， ∴，即. 故答案为：. 四、解答题 17．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知定义在上的函数，满足． (1)求的解析式； (2)求证：在上是增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入计算出，由此可求的解析式； （2）先取值，然后对进行因式分解并根据条件判断出其正负，由此可证明出单调性. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以的解析式为. （2）且， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数. 18．(24-25高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）·期中)设函数，满足：①；②对任意恒成立． (1)求函数的解析式，并写出单调区间． (2)设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：． 【答案】(1)，递增区间为，递减区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出解析式，再借助对勾函数求出单调区间. （2）由（1）的性质，结合求出矩形面积的函数关系，再求出值域即可. 【详解】（1）函数，由，得，则； 由，得对恒成立， 即恒成立，则，，因此， 函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增， 于是在上单调递增，上单调递减． 所以函数的解析式是，递增区间为，递减区间为. （2）由（1）知函数在上单调递增，上单调递减， 直线与函数的图象交于两点，又轴，则点在直线的两侧， 不妨设，，则点，由，得点 因此，，， 当时，，，则， 所以. 19．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； （2）利用函数关系，列方程组求解析式即可； （3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 【详解】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）由题设，联立， 所以，则，故； （3）由题设，时，时，时， 所以. 地 城 考点02 分段函数 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，计算可得，再结合图象即可求出答案. 【详解】设，则， 则， 在同一坐标系内作出函数的大致图象，得的图象， 函数的最小值为0，结合图象，或，解得， 所以. 故选：C 2．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知函数，则（   ） A．21 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)函数，若该函数存在最小值，则的可能取值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】AB 【分析】结合一次函数、指数函数的性质，分、、、、分别求出的值，即可得解. 【详解】由题可知且， 当时，函数在上单调递减，且,； 此时函数在,单调递减， 要使函数有最小值，则 ，解得，所以； 当时，函数在,上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 要使函数有最小值，则 ，解得，不满足； 当时，，此时函数有最小值2，满足题意； 当时，，函数无最小值，不满足题意； 当时，函数在,和上单调递增，不满足题意； 综上，或. 故选：AB. 三、填空题 5．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用分段函数的单调性列式求解. 【详解】令函数， 不等式， 依题意，对任意的实数且，都有， 则函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 有，解得， 此时函数在上都单调递增，即在上单调递增， 又，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)设函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 7．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知函数，. (1)若过点，求； (2)若，当时，函数单调递增，求a的取值范围； (3)当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）将自变量取值代入分段函数的相应区间，建立方程待定系数，再求函数值； （2）分段函数的单调性，通过函数各段单调性与两段间界点处值的大小分析，建立不等式求解参数范围即可； （3）根据题意，存在点对称问题转化方程有解问题，分类分析端点处函数值的符号，结合零点存在性定理寻找充分条件，然后结合基本初等函数的图象及不等式性质比较大小，证明必要性即可得参数范围. 【详解】（1）由题意，解得， 所以当时，， 则. （2）根据题意得， 由函数在上单调递增， 则有，解得， 故a的取值范围是. （3）由， 由题意函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称， 则方程在内有解. 当，则， 则， 令，， 其中， 当时，， 由零点存在性定理可知，在内存在零点， 即方程在内有解，满足题意； 当，，满足题意； 由上分析可知，当时，方程在内有解， 故在内有解， 即函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称. ①下面证明：当时，方程，即在内无解. 由，得，则； 令，， 由，且， 在同一直角坐标系中，作出两函数的大致图象， 由图象可知，当时，； 则， 故当时，方程在内无解； ②下面证明：当时，方程在内也无解. 当，则， 则， 设，， 由，得，则； 令，， 由，且， 同理，作出函数的图象， 由图象可知，当时，； 则. 故当时，方程在内无解. 综上所述，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，则a的范围是. 8．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为8，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据新函数的定义，写出表达式． （2）由题意可知，再分类求出的最小值； （3）由（2）知可能是两函数的取大或取小型，利用假设法求出，再用新定义求解． 【详解】（1）根据已知． 可得． 化简得． （2）由题可知． 因为，当过时， 作出函数的大致图象， 当时，由可得， 所以． 当时， ． 综上，． （3）因为， 令，解得， 所以， 因为，所以． 因为，恒过定点， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 地 城 考点03 函数的奇偶性 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期中)已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 2．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 3．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 【答案】C 【分析】根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D. 【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减， 所以在单调递增，又，所以， 所以当时，；当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，即， 解得或，故B正确； 对于C，若，则或， 即或， 解得或，故C错误； 对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的， 且在上单调递减，在单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：C. 4．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 5．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为奇函数及的解析式可求出的解析式，然后即可得解． 【详解】为奇函数，设，，则， ， ，． 故选：C． 6．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（   ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，举出反例可得B,C,D错误，综合可得答案． 【详解】对于A，若，均为奇函数，则， 则，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，设，，在上都是增函数， 则，但其在上不具有单调性，故B错误； 对于C，设，，满足，但不成立，故C错误； 对于D，设，，， 在上递增，满足，但为减函数，，故D错误. 故选：A． 二、多选题 7．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知函数与的图象如图所示，则（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【分析】现根据图象判断出函数与的定义域、奇偶性、单调性，利用奇偶性的定义判断选项A；根据单调性的定义判断选项C；取说明选项BD错误即可. 【详解】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则，, 但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，令，则， 当接近正无穷大时，函数值接近0，故的值域不能为，故D错误； 故选：AC. 8．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小值为a D．的单调增区间为 【答案】BCD 【分析】根据奇偶性的定义判断A、B，利用基本不等式判断C，根据复合函数的单调性判断D. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称且， 为偶函数，故A错误，B正确； ，， 当且仅当 时，即取等号，故C正确； 因为，对于函数，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，且当时，当时； 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调增区间为，故D正确. 故选： BCD 9．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)下列说法中正确的是（   ） A．若函数是R上的奇函数，则 B．函数的图象与y轴最多有一个交点 C．若是一次函数，满足，则 D．式子化简的结果为7 【答案】ABD 【分析】对于A，利用奇函数的定义计算即得；对于B，利用函数的定义即可判断；对于C，运用待定系数法即可求得函数解析式，排除C，对于D，利用换底公式和对数的运算性质计算即可判断. 【详解】对于A，函数是R上的奇函数，则， 取，则得，即，故A正确； 对于B，假设函数的图象与y轴有2个交点， 则说明时，有两个的值与之对应，与函数的定义矛盾，故B正确； 对于C，设，则， 故有，解得或， 故或，故C错误； 对于D，由 ，故D正确. 故选：ABD. 10．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．存在实数m，使得为偶函数； B．存在实数m，使得为奇函数； C．任意实数，存在实数，使得； D．若在区间上单调递减，的最大值为 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义即可求解AB,根据函数的值域即可求解C，分类讨论，结合函数图象即可求解D. 【详解】， 对于A，若为偶函数，则， 当时，，而，故与不一定相等，故不可能是偶函数，A错误， 对于B，当时，，故为奇函数，故B正确， 对于C，的定义域为,因此是的值域的子集， 因此任对意实数，存在实数，使得，故C正确， 对于D，， 当时，的图象如下，要使在区间上单调递减，， 当时，的图象如下，此时在定义域内单调递增，无单调递减区间， 当时，的图象如下，要使在区间上单调递减， ， 综上可得的最大值为，故D错误， 故选：BC 三、填空题 11．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 12．(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则称函数具有性质，已知函数具有性质，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由对任意的，且，可得在上递减. 注意到，结合为奇函数及可得相关性质，即可得答案. 【详解】因对任意的，且，都有 ， 则在上单调递减，又因为奇函数及， 则为偶函数，且，在上单调递增. 因，则. 当， ； 当， 时， ，则； 当， 时， ，则； 综上，不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 13．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知奇函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据为奇函数求出的值，根据的图象经过点求出即可求解； （2）利用单调性的定义判断即可； （3）由已知得，根据单调性求出最值即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，所以，得， 所以，， 因为函数经过点，所以，解得， 所以； （2），， ， 因为，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）因为存在，使得不等式成立， 则， 由（2）知，函数在上单调递增，且为奇函数， 所以函数在上单调递增， 所以当时，； 令，， 的图象开口方向向上，对称轴方程为， 当时，， 所以，解得或，所以； 当时，， 所以，解得或，所以， 综上，或， 所以实数m的取值范围为. 14．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若对于任意实数的m，，有. (1)证明函数在区间上单调递增； (2)解不等式； (3)若对于任意的恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）设 ，结合奇函数的定义，由已知可得，分，及两种情况可知的大小，利用单调性的定义可得结论； （2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号 ，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可； （3）等价转化为对任意的时，整理后化为关于的一次函数，根据一次函数的图象和性质可得关于的不等式组，求解即得. 【详解】（1）由题意可知，对于任意的有， 可设，则 由于函数的定义在区间上的奇函数，则， 当时，，可知函数在区间上是增函数； 当时，，可知函数在区间上是增函数； 综上：函数在区间上是增函数． （2）由（1）知函数在区间上是增函数， 又由得，解得， 所以不等式的解集为. （3）因为函数在区间上是增函数，且， 要使得对于任意的都有恒成立， 只需对任意的时，即恒成立， 令，此时可以看作的一次函数，且在时恒成立， 因此只需要，解得， 所以实数的取值范围为：． 15．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 令，得，即， 令，可得，即， 所以在上为奇函数. （2），理由如下： 因为在上为奇函数， 则， 当时，，即， 所以. 16．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)设 为实数，函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围； (3)求的最小值. 【答案】(1)非奇非偶函数 (2) (3) 【分析】（1） 先求定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）去绝对值符号，解不等式即可求解； （3）去绝对值符号，得到分段函数，分类讨论二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）根据函数的解析式可得函数的定义域为，因为， 所以， 所以，且，所以是非奇非偶函数. （2）根据题意， 因为，，所以或，解得， 因此的取值范围为. （3）记的最小值为. 我们有 即 （i）当时，若，， 若，则， ，所以，此时. （ii）当时，若，则， 若，则， ，所以， 综上得 17．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求函数的值域． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质及不等式的性质计算可得. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 函数的定义域为， 且 ， 所以为奇函数 （2）因为， 又，所以，则，即， 所以，即 18．(24-25高一上·浙江杭州第九中学·期中)已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析. (2)单调递增函数，证明见解析. (3) 【分析】（1）通过计算来证明； （2）任取，通过计算来证明； （3）以为基础可得函数值域. 【详解】（1）函数在上是奇函数. 证明：， 即函数在上是奇函数； （2）函数在R上的单调递增函数. 证明：任取，则， 因为，所以，又，， 所以，即函数在R上的单调递增函数； （3）由， 即函数在R上的值域为. 19．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)在上单调递减，证明见解答； (3)． 【分析】（1）由奇函数的定义即可求解的值； （2）利用定义即可证明单调性； （3）利用函数的单调性与奇偶性将等式脱去“”，利用换元法，结合二次函数的图象与性质即可求解的取值范围． 【详解】（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为， 所以， 解得； （2）由（1）的结论，， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 所以， 由，可得， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减． （3）方程等价于， 因为方程在上恰有两个不相等的实数根， 且在上单调递减， 所以在上恰有两个不相等的实数根， 令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根， 由二次函数的图象与性质可得，解得， 所以的取值范围是． 地 城 考点04 函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 2．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可. 【详解】因为，可知函数关于直线对称， 又因为在上单调递减，， 则在上单调递增，， 可知当时，；当时，； 若，可得或，解得或， 所以的解集是. 故选：D. 3．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再结合分段函数，以及基本初等函数的定义，即可求解. 【详解】由题意可知，，则，所以单调递减， 当时，单调递减，则，得， 当时，单调递减，则，得， 在分界点处，，得， 综上可知，. 故选：A 4．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合选项依次判断即可. 【详解】A：令，定义域为R，，则， 所以为非奇非偶函数，在R上单调递减，故A不符合题意； B：令，定义域为R，，则， 所以为非奇非偶函数，在R上单调递增，故B不符合题意； C：令，定义域为R，， 所以为偶函数，在上单调递增，故C符合题意； D：令，定义域为R，，所以为偶函数， 当时，，则在上单调递减，故D不符合题意. 故选：C 二、多选题 5．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)设常数，函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，的图像关于直线对称 C．对任意，的图像是中心对称图形 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据指数函数的单调性判断即可；对B，判断是否成立即可；对C，求解为定值判断即可；对D，根据的单调性与对称性判断即可. 【详解】对A，因为为减函数，为增函数，为增函数， 故为减函数，故A正确； 对B，当时，， ， 故的图像关于对称，故B错误； 对C，因为， 故对于任意，的图像关于对称，故C正确； 对D，由C可知， 故即， 又为减函数，故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 6．(24-25高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）·期中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．（答案不唯一） ①    ②      ③ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定性质，分析函数的对应性质，再写出一个符合要求的函数即可. 【详解】由，得函数是R上的增函数； 由，得函数可以是幂函数； 不妨令，显然，函数符合要求. 故答案为： 7．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)①在上单调递增，②，则满足上述两个条件的函数为 （写出一个即可）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式，再检验是否满足①②两个条件. 【详解】不妨令，显然在上单调递增，满足①， 又，， 即，满足②，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 8．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案． 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得． 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， ,即， 即方程在上有两个不等的根， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 故答案为：． 9．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知奇函数在上单调递减，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为奇函数在上单调递减， 故，时，，时，， 则不等式可化为或， 即或，所以. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 10．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 四、解答题 11．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)已知函数在区间上是单调函数， (1)求实数m的所有取值组成的集合A； (2)试写出在区间上的最大值； (3)设，令，若关于m的方程恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）根据单调性可得参数的取值范围； （2）分类讨论后可得最值，从而得到； （3）先求出，再利用数形结合可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为在区间上是单调函数，所以或， 所以或，故或， （2）若，， 若，， 故. （3）当时，， 当时，， 当时，， 在坐标平面中画出的图象如下： 由题设与的图像有2个不同的交点， 结合图象可得或 12．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)考虑以O为坐标原点的坐标平面，对于平面上任意两点，如果或成立，则称S和T相距很远．设不等式表示的正方形区域为D，其中两个顶点为．已知点P的横坐标为a且满足下列条件，点Q满足下列条件． （i）点P在区域D内，且在抛物线上； （ⅱ）点P与O，A，B三点都相距很远； （ⅲ）点Q在区域D内； （iv）点Q与O，A，B，P四点都相距很远． 解答下列问题： (1)求a的取值范围； (2)求点Q的可行域构成的面积； (3)求a在变化过程中，a取何值时，取最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得离一点不是很远的区域，据此可得离一点很远对应的区域，然后由条件可得答案. （2）由（1）中分析可得Q所在区域，结合图形可表示出对应面积； （3）利用单调性定义可判断单调性，即可得答案. 【详解】（1）设，若M，N相距不是很远， 则， 则在平面上离点不是很远的点所在区域为以N为中心， 边与坐标轴平行或重合，边长为2的正方形内部， 则离N很远的点为平面内上述正方形外部包括正方形边界的所有点. 由上述分析，可知与O，A，B三点都相距很远的点所对应区域为如图阴影部分. 则满足，. （2）由（1）分析，当时，点Q所对应区域为正方形OABC内部（包含边界）， 正方形外部（包含边界，不含正方形KHIB，GDAF内部）. 即如图所示区域，面积为. 当时，如图点Q对应区域为如图阴影部分，可看作大正方形OABC面积， 减去小正方形LOEJ，GDAF，HIBK面积之和，再减去正方形面积， 最后加上正方形与三个小正方形LOEJ，GDAF，HIBK重合部分的面积之和. 由题，大正方形OABC面积为9，三个小正方形面积之和为3，正方形面积4， 重合部分中，矩形边长满足，， 矩形边长满足，， 矩形边长满足，， 则此时 当时，点Q对应区域为如图阴影部分，可看作大正方形OABC面积， 减去小正方形LOEJ，GDAF，HIBK面积之和，再减去正方形面积， 最后加上正方形与正方形HIBK重合部分与正方形在正方形OABC外部的面积之和. 重合部分中，矩形边长满足， 又矩形边长满足， 则此时. 又注意到. 综上：. （3）由（2），注意到时，， . 令，其中， 注意到， 其对称轴为，则在上递增， 则， 再令，其中， 其对称轴为，则在上递增， 则， 综上. 又，则 在上递减； 当时，， 对称轴，则在上单调递增， 则在上递减，在上单调递增， 综上可知，要使取最小值，. 13．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知函数． (1)试用函数单调性定义证明函数在R上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，结合指数函数的单调性可证明，由单调性的定义可得结论； （2）结合（1），利用函数的单调性将原不等式转化为即可求解. 【详解】（1） 设， 则 ， 因为，所以 又因为，， ， 所以， 所以函数在R上单调递增； （2）由（1）知，函数在R上单调递增， 因为，所以， 可得， 所以，即的解集为. 14．(24-25高一上·浙江杭州北斗联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，得，再设，则，代入即可求解； （2）根据条件，利用函数单调性的定义进行判断、证明，即可求解. 【详解】（1）因为是定义在的奇函数，所以， 当时，， 所以当时，则，则，则， 所以. （2）在上单调递减， 证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 则，即， 即函数在上单调递减. 15．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知函数为奇函数，且其定义域为． (1)求出的值，并利用单调性的定义证明：在上单调递减； (2)解不等式. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求，再根据单调性的定义，即可证明； （2）根据奇函数的定义，以及单调性的性质，不等式转化为，即可求解不等式. 【详解】（1）根据奇函数的性质可知，，即， 当时，，满足，所以， 设， 则， 当时，，，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）， 因为函数是奇函数，且在区间上单调递减，， 所以函数在区间上单调递减， 所以，解得：， 所以不等式的解集为. 16．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)已知是定义在上的函数，若满足且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明你的结论； (3)设函数，若对都有成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上为单调递增，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义和函数值求得，，即可得解析式； （2）根据题意结合函数单调性的定义分析证明； （3）根据题意分析可知，结合单调性可知在上有解，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为，可知为奇函数， 则，即， 且，即， 则，且， 可知为奇函数，即，符合题意， 所以. （2）函数在上为单调递增，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在上为单调递增. （3）对都有成立，可知， 由（2）可知在单调递增，则， 可得在上有解，只需在上有解， 因为在内单调递减，在上单调递增， 且，可知在上的最小值为， 可得，解得，即实数的取值范围为. 17．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)已知函数，且满足，. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据已知列方程组求解； （2）先判断单调性，再应用单调性定义证明. 【详解】（1）函数满足，， 可得，解之. （2），在上单调递增， 设任意，且， 则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增. 18．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)设常数，已知 (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集； (3)若存在，使成立，求实数的最小值. 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）分析可知为偶函数，根据单调性的定义以及偶函数的对称性求单调区间； （2）根据题意整理可得，结合指数函数单调性解不等式即可； （3）换元令，原题意等价于在内有解，利用基本不等式结合存在性问题运算求解即可. 【详解】（1）若，则的定义域为， 且，可知为偶函数， 设，且， 则， 因为，则，，则， 可得，即， 所以函数在内单调递增， 结合偶函数对称性可知：函数在内单调递减， 所以函数的单调递增区间为（或）. （2）若，则， 因为，即， 整理可得，则，解得， 所以的解集为. （3）因为，即， 令，由（1）可知：， 则，， 可得，即， 原题意等价于在内有解， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，可得，解得， 所以实数的最小值. 地 城 考点05 函数性质的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果. 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 2．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)已知函数，且最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性即可求出最值. 【详解】，开口向下， 因为， 所以当时，单调递增；当，单调递减； 所以当时，有最大值为. 故选：C 3．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，（为自然对数的底数，），则在区间上的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性构建方程组求的解析式，结合单调性求最值即可. 【详解】由题意可得：，可得， 因为在上单调递减，可得在上单调递减， 所以在区间上的最小值为. 故选：B. 4．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】B 【分析】首先不等式变形为恒成立，再根据的取值范围，代入，即可求解的最大值. 【详解】要使不等式恒成立，则恒成立， 当取得最大值，时，取得最大值， 即恒成立，因为函数和都是增函数，所以函数是增函数， 当时，，所以的最大值为4. 故选：B 5．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期. 【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，； 由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称； 结合条件关于直线对称，， 可以得出. 对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误； 对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确； 对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误； 对于D选项，，D选项错误. 故选：B 6．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设对称中心为，令，化简得，利用，计算化简得对于定义域内的任意恒成立，联立方程组，计算即得. 【详解】设函数图象的对称中心为， 则函数 是奇函数，则， 即：， 化简得：对于定义域内的任意恒成立， 则，解得，即对称中心为. 故选：B. 二、多选题 7．(24-25高一上·浙江强基联盟·)已知函数，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】AD 【分析】计算函数值即可判断选项A；计算出与比较即可判断选项B与D；由奇偶性的定义即可判断选项C. 【详解】函数，所以， 所以，故A正确； ， ，故函数的图象关于直线不对称，故B错误； ，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确； 且， 所以函数是非奇非偶函数，故C错误； 故选：AD 三、填空题 8．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)如图所示，杭师大附中校园里有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知，且，设，绿地面积为，若，则绿地面积的最大值为 ．（用含的式子作答） 【答案】 【分析】由计算即可得到函数关系式，再结合可求得其定义域，最后研究时二次函数在上的单调性，进而求得其最大值. 【详解】由题意，得，， 所以 ， 又因为，所以， 故，定义域为. 因为 由于，故， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 故答案为： 9．(24-25高一上·浙江强基联盟·)定义在上的函数，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先根据函数之间的关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到的最大值. 【详解】因为，且当时，，此时最大值小于1； 当时，， 所以， 此时最大值小于1； 当时，， ， 此时最大值小于1； 当时，， ； 将展开得， 当时，此时取得最大值为， 由图可得，令，解得， 因为对任意，都有， 所以的最大值是， 故答案为：. 10．(24-25高一上·浙江杭州某校·期中)已知函数，，若，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】根据题意分析出的解析式，进而作出的大致图象，从而得解. 【详解】因为，， 令，得，解得或； 令，得，解得或； 所以， 又，， 作出的大致图象，如图， 结合图象可知的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)设函数. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解； （2）根据题意得到，且，是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为在上恒成立求解. 【详解】（1）解：由， 即，， ， ， 当时，，由零点存在性定理知在上存在零点； 当时，则，是零点，此时存在零点； 综上在内存在零点. （2）依题意得，且，是方程的两根， 由韦达定理得，，， 所以， 依题意，得在上恒成立， 因为，，所以只需， 令，， 令，则，在上单调递增， 所以时，，   . 12．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析； (2)函数在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义推理判断. （2）由减函数的定义，结合指数函数的单调性推理判断. （3）由（1）（2）的结论脱去法则，再利用恒成立问题求解. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为R，， 所以函数是奇函数. （2）函数在R上单调递减， 任意，由在R上单调递增，得，， 则，因此， 所以函数在R上单调递减. （3）由（1）得不等式， 由（2）得， 依题意，，不等式恒成立，而， 当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数的取值范围是. 13．(24-25高一上·浙江强基联盟·)已知函数． (1)若，求的值域； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出分段函数的解析式，然后分类讨论求解函数的值域即可； （2）若对恒成立，即对恒成立，分类讨论分离参数求解函数的最值即可求解. 【详解】（1）若，则 当时，； 当时，； 所以的值域为． （2）若对恒成立，即对恒成立； 当时，成立，； 当时，恒成立，则恒成立， 所以恒成立，所以； 当时，恒成立，则恒成立， 所以恒成立，所以； 综上可得．故的取值范围为． 14．(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)若关于的方程有两根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，从而求得的值. （2）利用换元法化简的解析式，根据最小值列不等式来求得的值. （3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知的定义域为R， ， 整理得， 而 ， ∴； （2）， ∴， 依题意，函数的最小值为， 令，，当且仅当时等号成立.， 故的最小值为﹣3， 则，或，解得； （3）由， 函数在区间上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 故当时，函数单调递增， 由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为， 令，有， 方程①， 可化为， 整理为②， ， （ⅰ）当时，或， 时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； （ⅱ）当时，可得或， 令， 则有一正一负两根，, 或. 综上所述或或. 15．(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)已知，函数． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在区间上的最大值为2，求实数的值； (3)求函数在区间上的最小值（用表示）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）分段求解不等式即可； （2）分在三种情况处取最大值即可； （3）讨论对称轴的位置即可. 【详解】（1）当时， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，所求解集为 （2） （ⅰ）当时，或3， ，在区间的最大值，舍去； ，在区间的最大值，舍去； （ⅱ）当时，或（舍） 在区间的最大值，成立 （ⅲ）时， 此时在区间的最大值，成立 或 （3）①当时，在区间上， ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是， ，， ②当时，在区间[1，2]上 ③当时，在区间上， ，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是， 1°当即时，． 2°当即时， 16．(24-25高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）·期中)小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若，求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，，且，求的最小值． 【答案】(1)2； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案. （2）利用上凸函数的定义，列式计算得证. （3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 【详解】（1）由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即，所以的最大值是2. （2）函数的定义域为R， ， ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是上凸函数. （3）令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 17．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动： 第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元； 第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元． 例如，一次购买商品1620元，则实际支付额元； (1)小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】(1)一次支付好，理由见解析 (2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为50元/件． 【分析】（1）根据题意，分别求一次支付与两次支付的实际支付金额，比较可得答案； （2）由题意建立函数解析式，将自变量的所有取值代入，可得答案. 【详解】（1）分两次支付：支付额为元； 一次支付：支付额为元； 所以一次支付好． （2）设购买件，平均价格为元/件．由于预算不超过1000元， 若买20件，需要付额， 若买19件，需要付额，所以最多买19件； 当，时，； 若、3、5，7、9、11、13时，， 若、4、6、8、10、12、14时，； 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为55元/件． 当时，能享受每满800元减80元的优惠，， 代入，可知时，有最小值50元； 、19代入，可知时，有最小值50元． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为50元/件． 18．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上， ． (1)求，，； (2)请用描述法写出满足方程的解集； (3)解不等式； 【答案】(1)，，. (2)为大于1的正整数. (3). 【分析】（1）由的定义可求得，，. （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. 【详解】（1）因为， 所以，，. （2）依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数. 则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为为大于的正整数. （3）若或或为内无理数时，， 而，此时， 若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以，， 综上，等式的解为. 19．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. (1)函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； (2)若函数，求的值； (3)若函数，求，的取值范围.（用表示） 【答案】(1)为“级函数”，且；不为“级函数”，理由见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数和反比例函数的性质，结合“级函数”的定义求解； （2）由，分和求解； （3）由，分，则，，则求解. 【详解】（1）①函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在上递减， 所以为“级函数”，且； ②在上递减，且此时； 在上递减，且此时；所以不为“级函数”. （2），的图象关于直线轴对称， 当时，，； 当时，，. （3），易得， ①当，时，，即， 所以，令， 当时，在递增，在递增， 所以； 当时，在递增，在递增，在递减， 所以； 当时，在递减，在递增，在递增， 在递减， 所以； ②当，时，，即， 所以，令， 对称轴是， 在上递减，所以， 因为：； 故：当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为. 20．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)当一个函数有如下性质：若在区间上有意义且该区间为的单调区间，并且此时的值域为，当时，我们就称函数为区间上的“神奇函数”．请回答下列问题： (1)当时，是否是区间上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因； (2)当函数为区间上的“神奇函数”，求的最小值和的最大值； (3)当时，存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)的最小值为，的最大值为 (3) 【分析】（1）分析函数在区间上的单调性，并求出该函数的值域，结合“神奇函数”的定义判断即可； （2）分、两种情况讨论，分析函数在区间的单调性，并求出其值域，根据“神奇函数”的定义可得出关于、所满足的等式，进而可求得结果； （3）分两种情况讨论，函数在区间上为增函数、减函数，求出函数在区间上的最大值和最小值，结合“神奇函数”的定义可得出关于、的等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数在区间上为增函数，则，， 所以，函数在区间上的值域为， 因为，所以，函数是区间上的“神奇函数”. （2）因为函数的增区间为，减区间为， 因为函数为区间上的“神奇函数”，则或， 先考虑的最大值，则， 当时，函数在上为增函数，则，， 所以，函数在上的值域为， 根据“神奇函数”的定义可得，即， 因为，所以，，因为，则，所以，的最大值为； 接下来考虑的最小值，则， 当时，，则函数在上为减函数， 则，， 所以，函数在上的值域为， 根据“神奇函数”的定义可得，即， 因为，则，可得，所以，的最小值为. 综上所述，当函数为区间上的“神奇函数”， 的最小值为，的最大值为. （3）因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，分以下两种情况讨论： 当时，即当时，函数在区间上单调递增， 则，， 根据“神奇函数”的定义可得， 即， 因为，则，则， 因为，则； 当时，即当时，函数在区间上单调递减， 则，， 根据“神奇函数”的定义可得， 即，则，可得， 因为，则，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $