专题03 圆锥曲线（期中真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆锥曲线 ☆6大高频烤点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04直线与圆锥曲线的位置关系 考点05轨迹问题 考点06新定义问题 目目 考点01 椭圆 一、单选题 1.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)已知椭圆 器+岁=1(a>b>0)的两个焦点为FF2,设过点P(0,b)组平行于4：y=号x的直线交12：y=号x 于点Q.若F1Q上F2Q,则该椭圆的离心率为() A.号 B.5 14+241 3 C.h424 D. 2 2 2.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟期中)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(-2V3,0), F2（2V3,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2=号， 若e1=县，则双曲线C2的方程为() A.号若=1B.号号=1 c.器-号-1 D.￥若=1 3.(24-25高二上浙江余姚中学.期中)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm,开口 直径为8c,旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 () 水面 A.9 B. C.37 17 D. 5V22 22 1/14 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 4.(2425高二上浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知椭圆C:等+行=1(a>b>0)的左焦点为R1,半焦 距长为1，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是() A.|QF1+|QP|的最小值为2Wa-1 B.椭圆C的短轴长可能为2 C.椭圆C的离心率的取值范围为(0，乒) D.若P序=F0,则椭圆C的长轴长为5+V7 三、填空题 5.(2425高二上浙江金兰教育合作组织期中)已知椭圆等+号=1的左右焦点分别为PF2,点P是椭圆 上一点，∠F1PF2=60°，则△PF1F2的内切圆半径为 四、解答题 6.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)已知椭圆 T:等+罗=1(a>b>0)的左顶点为A(2,0),下顶点为B.且过点C(V反，号)： (1)求点B的坐标： (2)若直线：y=x+m上存在一点P,下上存在一点Q,使△PAQ是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 求实数m的取值范围： (3)若椭圆r上的三个动点D,E,F满足DE//AB,DF//BC,证明：AF//CE 7.(24-25高二上浙江金华浙江强基联盟·期中)在平面直角坐标系中，己知O是坐标原点，点A(-2,0), B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-寺.记点M的轨迹是曲线C,点 D(xoyg)(y。>0)是曲线C上的一点. 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求曲线C的方程： (2)若xo=1,直线1过点D与曲线C的另一个交点为E,求△ODE面积的最大值： (③)过点F(V5,0)作直线交曲线C于P,Q两点，且0D⊥PQ,证明：P+o为定值， 8.(24-25高二上浙江”南太湖联盟)己知曲线M是平面内到(1,0)和(-1,0)的距离之和为4的点的轨迹. (1)求曲线M的方程； (2)过点F(1,0)作斜率不为0的直线1交曲线M于AB两点，交直线x=4于点P,过点P作y轴的垂线， 垂足为Q,直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标. 9.(24-25高二上浙江温州十校联合体期中)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点A0,-1),B(0,1)的距离 之和为4，点P的轨迹为C,曲线C与V轴正半轴交于点D. (1)求曲线C的方程 (2)若过点B的直线1与C交于E,F两点（点E在x轴上方），点M为BF的中点，若OM//DE,求直线的 方程 10.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟·期中)已知在平面直角坐标系x0y中的一个椭圆，中心为原点，左焦 点F(-1,0),离心率为号 (1)求该椭圆的标准方程； (2)已知点A1,1),若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程 目目 考点02 双曲线 一、单选题 1.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟·期中)已知两点M(-4,0),N(4,0),若直线上存在点P,使 PM-PN=6,同时存在点Q,使QN-QM=6,则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两 全其美线”的是() A.y=号x B.x=4 C.y=x D.y=2x 2.(24-25高二上浙江杭州拱墅区源清中学.期中)双曲线x2-2y2=1的焦点坐标为() A.（0,±5) B.(0,± c.（±，) D.（±5,0) 3.(2425高二渐江台州六校联盟期中已知双曲线器=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为FP2 且FF,=2,当点F2到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率e为() 3/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.号 B.青 C.2+V3 D.9 4.(24-25高二上浙江温州环大罗山联盟期中古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到 了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线 的一部分，己知高OP=4,底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB,则双 曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为() A.昌 B. C.奇 D.号 二、多选题 5.Q425高二上浙江浙江星辰联盟期中)已知椭圆的方程为器+号=1，双曲线的方程为若-号=1，则 () A.双曲线的一条渐近线方程为y=-xB.椭圆和双曲线共焦点 C.椭圆的离心率e=青 D.椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题 6.(2425高二上浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知双曲线器-斧=1(a>0,b>0),过原点的直线与 双曲线交于M,N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F,若△MNF的面积为2a2,则双 曲线的渐近线方程为一· 7.(2425高二上渐江余姚中学期中)已知双曲线C:等·器=1〔a>0,b>0),若双曲线不存在以点 (2a,a)为中点的弦，则双曲线离心率e的取值范围是 8.(2425高二浙江台州六校联盟期中)设F1F2是双曲线x2-云=1的两个焦点，P是双曲线上的一点， 且4PF=3PF,则△PF1F2的面积等于」 4/14 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 9.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟期中)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(-22,0),F2√2,0)， 双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. (1)求双曲线C的标准方程： (2)经过点M(3,1)作直线1交双曲线的右支于A,B两点，且M为AB的中点，求直线的方程： (3)已知定点G(V2,3),点D是双曲线右支上的动点，求DF1+DG的最小值 10.(2425高二上浙江宁波北仑中学期中)已知以下事实：反比例函数y=奈(k≠0)的图象是双曲线， 两条坐标轴是其两条渐近线. (1)求双曲线C0:y=素的离心率； (2)将(1)中的曲线C绕原点顺时针转号，得到曲线C,求曲线C的方程， (3)已知点A是(2)中曲线C的左顶点.圆E:(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)与直线：x=1交于P、 Q两点，直线AP、AQ分别与双曲线C交于M、N两点.试问：点A到直线MN的距离是否存在最大值？ 若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由. 目目 考点03 抛物线 一、多选题 1.(24-25高二上浙江宁波宁波中学期中)已知抛物线y=x2,焦点为F,准线为1，弦PQ过F点，则下列 说法正确的是() A.焦点F的坐标为(0，支) B.准线的方程为x=- C.若P(xoy),则|FP1=y。+寺 D.弦PQ的长度|PQ≥1 2.(24-25高二上浙江台金七校联盟·期中)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称， 过点C的直线1与抛物线E交于AB两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是() A.BF<4 B.若BF为△ACF的中线，则|AF|=引BF 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C. 存在直线使得AC=V2AF列 D.对于任意直线1，都有AF+|BF>2CF 二、填空题 3.2425高二上浙江南太湖联盟期中)已知梢圆器+器=1〔b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重 合，则b= 三、解答题 4.(24-25高二上浙江温州环大罗山联盟期中)已知抛物线C:y2=2Pxp>0)的焦点F到准线的距离为2 (1)求C的方程： (2)已知0为坐标原点，点P在C上，点Q满足P=3QF,求直线0Q斜率的最大值. 5.(24-25高二上浙江宁波北仑中学期中)设抛物线C:y2=2Px(p>0),F是其焦点，已知抛物线上一 点M(m,2),且MF=2 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线1和l2,分别交曲线C于点A,B和K,N设线段AB,KN的中点分别为P, Q,求证：直线PQ恒过一个定点 6.(24-25高二上浙江宁波宁波中学期中)阅读下列材料，回答问题： 如图，在空间直角坐标系0-yz中，过原点0与z轴成6角(0<日<号)的直线绕z轴一周，生成以0为顶 点z轴为对称轴的两个圆锥形的几何体，不经过原点0与z轴成P角(0≤P≤)的平面：截几何体n的 表面得到的截口曲线称为圆锥曲线 当日<p<受时，平面截几何体Q的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该 圆锥内放置两球S1和S2,使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆K1和圆K2) 且与平面相切（位于平面《上下两侧），切点分别为F1和F2,在截口曲线上任取一点P,作直线OP交圆 6/14 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 K1K2于点Q1Q2,连接PF1和PQ1,因为PF1和PQ1都是大球的切线段，所以PF1=PQ1,同理 PF2=PQ2,所以PF1+PF2=PQ1+PQ2=QQ2,因为两球外离，F1F2和QQ2分别是两球的内外公 切线段，都为定值且F1F2<Q1Q2,所以此时平面α截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆，依据 上述材料所述，请回答： (1)当p=时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明》 (2)当0<p<6,对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明； (3)如图，将等边△ABC绕边BC旋转至△ABC,并且使二面角A-BC-A为直二面角，动点P在平面 ABC上并且∠PAA=罗，判断动点P的轨迹，并求其离心率 B 目目 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 7/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.2425高二上浙江绍兴上虞中学期中)已知椭圆等+号=1，一组斜率为1的平行直线与精圆相交，则 这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为() A.y=x B.y=-2x C.y=-ix D.y=2x 2.(24-25高二上·浙江杭州北斗联盟·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人“微分几何之父”， 他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的 蒙日圆若椭圆：等+行=1(a>b>0)的蒙日圆为C:x2+y2=号a2,过C上的动点M作r的两条切线， 分别与C交于P,Q两点，直线PQ交于A,B两点，则下列结论错误的是() A.椭圆r的离心率为号 B.△MPQ面积的最大值为号a2 C.N到r的左焦点的距离的最小值为（年.号）a D.若动点D在T上，将直线DA,DB的斜率分别记为k1,k2,则k1k2=-青 3.(24-25高二上浙江91高中联盟期中)已知双曲线C:号-y2=1,过点P(1,1)的直线1与双曲线C交于 A,B两点.若点P为线段AB的中点，则直线的方程是() A.x-3y+2=0 B.3x-y-2=0 C.2x-y-1=0 D.x-2y+1=0 4.(24-25高二上浙江温州十校联合体期中)“k=士”是“直线y=kx+1与双曲线等-y2=1只有一个公 共点”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 8/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 5.(24-25高二浙江台州六校联盟·期中)圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆 2+y2=2上任意不同两点作圆的切线，如果切线垂直且相交于P点，则动点P的轨迹为圆在椭圆中也有 类似的结论.已知椭圆C:号+y2=1,过椭圆C上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于P点， 则动点P的轨迹方程是 6.(24-25高二上浙江杭州西湖区之江高级中学期中)若直线y=x+m与椭圆等+y2=1有两个不同的交 点，则m的范围是一 7.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟·期中)直线y=x+1被椭圆x2+2y2=2截得的弦长为】 8.(2425高二上浙江G5联盟期中)已知椭圆等+器=1(a>b>0)的左焦点为F(-G,0),直线 x=t与椭圆交于点M、N,△FMN的周长最大值为2024c+吉-2，则椭圆离心率的最大值为 三、解答题 9.(2425高二上浙江温州十校联合体·期中)阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues,1591-1661)于1639年在射影几何学的奠 基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征已知圆锥曲线 C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(xoyg)和直线 I:Axx+By。y+D(x+xo)+E(y+y)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线事实上，在圆锥曲 线方程中，以xox替换x2,以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0y,)对应的极线方程.特 别地，对于椭圆等+爷-1，与点P(x)y。)对应的极线方程为警+景-1：对于双曲线等-=1， 与点P(x0y。)对应的极线方程为等答-1：即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的 关系 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当P在圆锥曲线C上时，其极线！是曲线C在点P处的切线： ②当P在C外时，其极线1是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）： ③当P在C内时，其极线！是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线C:等斧=1(a>0,b>0,右顶点1,0)到C的一条渐近线的距离为写 9/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 己知点G是直线mx+ny+q=0上的一个动点，点G对应的极线与双曲线交于点A,B (1)若m=3,n=q=-1,证明：极线AB恒过定点 (2)在(1)的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程 (3)若m=1,n=0,q=-方，极线AB交C的右支于A,B两点，点A在x轴上方，点P是双曲线C的左顶 OM 点，直线AB,直线BP分别交y轴于M,N两点，点O为坐标原点，求O示的值 10.(2425高二浙江台州六校联盟期中已知椭圆E:等+器=1(a>b>0)焦距为2，离心率e是 (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点F(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,其中B,D在x轴的上方，且B在D的右侧，设弦AB,CD的中 点分别为M,N ①若弦AB,CD的斜率均存在，求四边形ACBD面积的最小值； ②判断直线MN是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 1.(2425高二上浙江绍兴上虞中学期中曲线C:品品=1(m≠-3且m≠1) (1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围； (2)当m=0,点P在曲线C上，且点P在第一象限，F(-2,0),F(2,O),PF1⊥PF2,求点P的横坐标. 12.(24-25高二上浙江绍兴会稽联盟期中)已知点P(-2,1)在椭圆C:竖+号=1(a>0)上，过点(2,0)作斜 率为1的直线1与椭圆交于A,B两点。 (1)求椭圆C的方程： (2)求0A.可的值 目目 考点05 轨迹问题 一、单选题 1.(24-25高二上浙江G5联盟期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F是棱CC1、BC的中 点，动点P满足A亚=A店+AD+vAA,其中，4，vE[0,1],则下列命题正确的是() A.若7=24，v=0,则D1B⊥平面AB1P B.若入=4，则D1P与A1C1所成角的取值范围为[，罗] C.若PD1/平面DEF,则入+2u-2v=0 D.若PD1⊥PF,则2++VE[1,3] 10/14 专题03 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 考点05 轨迹问题 考点06 新定义问题 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可. 【详解】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 2．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆定义以及余弦定理计算可得，再由双曲线定义可得，即可得双曲线的方程. 【详解】不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示：    根据椭圆定义可知，由离心率定义可得， 解得； 又，可得， 解得； 由易知，可得； 又，可得， 因此可得双曲线的方程为. 故选：D 3．(24-25高二上·浙江余姚中学·期中)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】如图，设是母线的中点，是中线，又也是中线，    设，则是重心，设的中点为，即椭圆的中心， 设，，，作平面平面，，，． 对椭圆如图建系，，故，， 根据平行四边形的性质，知，， 于是，，． 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长轴长为 【答案】CD 【分析】由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D. 【详解】 因为半焦距长为，可得左焦点为，右焦点为， 因为，所以轴， 对于A：， 当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故A错误； 对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故B不正确； 对于C：因为在椭圆内，所以长轴长， 所以离心率，所以，故C正确； 对于D：因为，所以为的中点，而，，， 所以，所以长轴长 ，故D正确； 故选：CD. 三、填空题 5．(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积 ， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 四、解答题 6．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知椭圆的左顶点为，下顶点为．且过点． (1)求点的坐标； (2)若直线上存在一点P，上存在一点Q，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求实数m的取值范围； (3)若椭圆上的三个动点D，E，F满足，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助左顶点坐标与点坐标计算即可得； （2）借助等腰直角三角形性质可得、，设，则有或，即可得点为直线或直线与椭圆的交点，设出斜率为的直线，联立椭圆方程得到与有关一元二次方程后可得，即可得的范围，即可得的范围； （3）分别求出直线、直线的斜率，则可设出直线的方程与直线的方程，分别联立曲线，则可得与、横坐标与、横坐标关系，则可借助点坐标表示出、坐标，并可分别表示出与，两者作差，并根据点在椭圆上所得横纵坐标关系计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 即，则； （2）设，则，， 若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，， 则、， 则或， 即有或， 即或， 即点为直线或直线与椭圆的交点， 设直线，联立椭圆方程，得， 若直线与椭圆有交点， 则有，即， 则有或，即； （3）由，则， 设，因为， 所以，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，由，则， 则， ， 则， 又，，所以， 因为，设，直线的方程为， 联立，整理得， 则，由，则， 则， ， 则， 则 ， 由，则， 故， 故，即. 7．(24-25高二上·浙江金华浙江强基联盟·期中)在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点． (1)求曲线的方程； (2)若，直线l过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值； (3)过点作直线交曲线于，两点，且，证明：为定值． 【答案】(1)（） (2). (3)证明见解析 【分析】（1）设，根据直线，的斜率之积是，可求的轨迹方程. （2）设直线的点斜式，用斜率表示出的面积，结合基本（均值）不等式求最大值. （3）设直线方程为，根据弦长公式表示出，根据直线垂直得到直线的方程，再根据在椭圆上，表示出，然后代入化简即可. 【详解】（1）设，因为，所以. 整理得：（）. 所以曲线的方程为：（） （2）当时，可得. 当直线斜率不存在时，可得，此时. 当直线斜率存在时，设直线： ， 代入椭圆的方程：，得：， 整理得：. 因为时该方程的一个解，所以. 所以，所以. 又点到直线的距离为：. 所以 . 设，则（因为时，，此时直线经过点，则共线）. 那么，所以 所以当时， ； 当时， （当且仅当即时取“”） 综上可知：面积的最大值为： （3）如图： 因为曲线的方程为：（） 所以过的直线可写为：，代入中， 可得，整理得：. 设，， 则，， 所以 . 所以 . 此时，直线的方程为：，由且点纵坐标大于0，可得： ，所以 . 所以 .为定值. 8．(24-25高二上·浙江”南太湖“联盟·)已知曲线M是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹． (1)求曲线M的方程； (2)过点作斜率不为0的直线l交曲线M于两点，交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义判断点的轨迹是椭圆，求出，即得椭圆方程； （2）分别设直线的点斜式方程（方法一）和横截距式方程（方法二），将其与椭圆方程联立，设，写出韦达定理，依次求出点的坐标，写出直线和的方程，求得点的坐标，化简计算线段CD中点坐标即得. 【详解】（1）设,由题意，可得, 由椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆， 故可设曲线M的方程为：， 则，，故， ， 曲线M的方程为：； （2） 方法一：直线l的斜率存在且不为0， 设直线l方程为， 联立，整理得， 则， 设，则，， 直线l交直线于点，则， 则直线的方程为：，， 令，解得，则， 直线的方程为：，， 令，解得，则， ， 所以线段CD中点的坐标为； 方法二：直线l的斜率存在且不为0， 设直线l方程为， 联立，整理得， ，设， 则，， 直线l交直线于，则， 则直线AQ的方程为：，， 令，解得，则，同理可得， ， 所以线段CD中点的坐标为. 9．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点. (1)求曲线的方程 (2)若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到动点的轨迹是焦点在轴的椭圆求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据分别是BF，AB的中点，得到，利用比例关系得到，再结合韦达定理求解. 【详解】（1）解：由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆， 所以 即， 所以轨迹方程为； （2）显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：， 由， 设， 由韦达定理可得：①， 分别是BF，AB的中点， ， ②， 由①②可得， 所以直线的方程为：. 10．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，中心为原点，左焦点，离心率为. (1)求该椭圆的标准方程； (2)已知点，若P是椭圆上的动点，求线段中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）设点，借助中点坐标公式，利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】（1）依题意，椭圆半焦距，由离心率为，得椭圆的长半轴长， 因此该椭圆的短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. （2）设，由M为线段的中点，得， 而点是椭圆上的动点，则有，即， 所以线段中点M的轨迹方程是. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，再结合双曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】由点，，得， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为， 直线为“两全其美线”，当且仅当直线与双曲线的两支相交， 对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是； 对于B，直线与双曲线左支无公共点，B不是； 对于C，由，知直线过双曲线的中心， 且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是； 对于D，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域， 直线与双曲线无公共点，D不是. 故选：C 2．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将双曲线方程化为标准式，即可得到结果. 【详解】由题意可知双曲线标准方程为，则， 则双曲线的焦点坐标为. 故选：C 3．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 4．(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线夹角的余弦值. 【详解】设交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系， 因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面， 所以，所以，又底面圆半径,所以 ，所以， 设双曲线方程为，代入，，代入解得， 则双曲线的两条渐近线方程为，由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为. 故选：A 二、多选题 5．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（    ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】AD 【分析】利用给定的椭圆、双曲线方程，结合它们的相关性质逐项判断. 【详解】对于A，双曲线的渐近线为，A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，B错误； 对于C，椭圆中，长半轴长，半焦距，离心率，C错误； 对于D，由，解得，此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，D正确. 故选：AD 三、填空题 6．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以MN为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解． 【详解】    以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点， 以为直径的圆的方程为，设点的纵坐标为， 由对称性知的面积， 即点的纵坐标为， 则由，得， 因为点在双曲线上， 则， 即，即， 即， 即，得， 即，得，得，. 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 7．(24-25高二上·浙江余姚中学·期中)已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知点必在双曲线外部或在双曲线上.若存在以为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为，要使弦不存在，则弦与双曲线至多一个交点，弦的斜率大于等于渐近线斜率，如此即可得到的取值范围，进而求出离心率的范围﹒ 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得. 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，则， 由点在双曲线上得，， 两式作差得，， ∴. ∵不存在该中点弦，∴直线与双曲线至多一个交点，则，， ∴， ∵，∴，即. 故答案为：. 8．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 【答案】24 【分析】利用双曲线定义易得，结合得为直角三角形，即可求面积. 【详解】由题设，令且，则，即， 所以，而，则， 所以为直角三角形，且，故其面积为. 故答案为： 四、解答题 9．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； (3)已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程. （3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值. 【详解】（1）依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距，实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线C的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0， 设直线的方程为，即，设， 由消去得：， 依题意，，由M为的中点，得，解得， 此时方程为，，符合题意， 所以直线的方程为. （3）由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内， 又点在双曲线右支上，即， 因此， 当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号， 所以的最小值为. 10．(24-25高二上·浙江宁波北仑中学·期中)已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)求双曲线：的离心率； (2)将（1）中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; (3)已知点是（2）中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点A到直线距离的最大值为2， 【分析】（1）由题意可知，双曲线：为等轴双曲线，进而求解离心率即可； （2）由题意结合双曲线的性质，即可求解； （3）设，，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合，即可求得参数之间的关系，代入，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知，两条坐标轴是双曲线：的两条渐近线， 则双曲线：为等轴双曲线，即， 所以双曲线：的离心率为. （2）联立，解得或， 即双曲线的两顶点为， 两顶点的距离为， 将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 此时曲线的两顶点为，曲线为等轴双曲线， 所以曲线的方程为. （3）由（2）知，，设，， 显然直线的斜率存在，设：， 联立，得， 所以，，， 因为：，令，则，同理，， 依题意得，即，即， 整理得，， 即， 整理得，， 所以，即或， 若，则：过点A，不合题意； 若，则：．所以，恒过， 所以点A到直线的距离，当且仅当，即时取得， 此时方程为，联立，解得， 则，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为 地 城 考点03 抛物线 一、多选题 1．(24-25高二上·浙江宁波宁波中学·期中)已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点的坐标为 B．准线的方程为 C．若，则 D．弦的长度 【答案】CD 【分析】根据抛物线的方程可得，即可求解焦点和准线，进而可判断AB,根据焦半径公式即可判断C，根据焦点弦公式即可求解D. 【详解】由可得，故，所以焦点为，A错误， 准线的方程为，B错误， 根据焦半径公式可得若，则，C正确， 设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得， 设,，,，则，，则 故， 故当时，此时弦最短长度为1，即，故D正确， 故选：CD 2．(24-25高二上·浙江台金七校联盟·期中)已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（   ） A． B．若为的中线，则 C．存在直线使得 D．对于任意直线1，都有 【答案】AD 【分析】设，不妨令,,,都在第一象限，联立抛物线，根据已知及韦达定理得，即可根据焦半径公式求解A，根据，，以及中点关系即可求解B，根据等腰直角三角形的性质可得矛盾即可求解C，根据，结合焦半径公式即可求解D. 【详解】由题意，, 设，不妨令，都在第一象限， 联立，则，且，即，则， 则直线的斜率为，因此， 当轴时，此时,此时直线的斜率为， 要使与抛物线有两个交点，则，故，A正确， 所以，，则，如图所示， 对于B：若为的中线，则，结合可得，所以，故，进而，则，故B错误； 对于C：若，过作准线的垂线，垂足为，即，即为等腰直角三角形， 此时，即,，所以， 所以，所以，所以，则此时，为同一点，不合题设，故C错误； 对于D,，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确． 故选：AD． 二、填空题 3．(24-25高二上·浙江南太湖联盟·期中)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则 . 【答案】 【分析】先求出抛物线焦点位置，进而确定椭圆焦点位置，后用椭圆基本量的关系求解即可. 【详解】易知在中，，焦点为， 故椭圆的焦点在轴上，故，解得. 故答案为： 三、解答题 4．(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知抛物线的焦点到准线的距离为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解； （2）设，由平面向量的知识可得， 方法一，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解可得答案； 方法二，设直线OQ的方程为，则当直线OQ与抛物线相切时可得答案． 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）方法一：，设，则， 所以，由在抛物线上可得， 即， 所以直线的斜率为， 当时，； 当时，， 当时，， 此时当且仅当，即时，等号成立； 综上，直线OQ的斜率的最大值为； 方法二： ，设，则， 所以，由在抛物线上可得， 得到点的轨迹方程为． 设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时， 其斜率取到最值． 联立，得，其判别式，解得， 所以直线斜率的最大值为．    5．(24-25高二上·浙江宁波北仑中学·期中)设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    6．(24-25高二上·浙江宁波宁波中学·期中)阅读下列材料，回答问题： 如图，在空间直角坐标系中，过原点与轴成角的直线绕轴一周，生成以为顶点轴为对称轴的两个圆锥形的几何体，不经过原点与轴成角的平面截几何体的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.    当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆）且与平面相切（位于平面上下两侧），切点分别为和，在截口曲线上任取一点P，作直线交圆于点，连接和，因为和都是大球的切线段，所以，同理，所以，因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且，所以此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：    (1)当时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明） (2)当，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；    (3)如图，将等边绕边旋转至，并且使二面角为直二面角，动点在平面上并且，判断动点的轨迹，并求其离心率.    【答案】(1)抛物线（直接回答不必证明） (2)双曲线；证明见解析 (3)双曲线； 【分析】（1）根据题意条件与空间想象可猜想结论； （2）类比椭圆曲线的证明，可推证双曲线； （3）根据题意条件与空间想象确定旋转轴与截面，得到轴与母线夹角，求出轴与截面所成角，再利用（2）结论可得，然后借助两圆内外公切线求解离心率即可. 【详解】（1）当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上， 对应的圆锥曲线是抛物线.    如图，由题意可设圆锥的母线与圆锥轴线的夹角为，   作圆锥的一个截面，该截面与轴所成的角也为. 首先证明：圆锥面上存在一条母线与平面平行. 证明：作一平面与圆锥轴线垂直，记平面与轴线的交点为， 则可得截面圆，平面， 过作，垂足为，交圆于两点，则，， 平面，平面，， 则平面，，则有平面. 延长与平面交于一点，则是轴线在平面内的射影， 所以是轴线与平面所成的角，即， 所以，，从而，得证 作一球与圆锥相切，切点轨迹是，同时球与截面切于点. 设是截线上任意一点，则是由点向球所作的切线， 又圆锥过点的母线与球切于点，所在平面为， 作，垂足为，截面与平面交于， 则，过作，垂足为， ，又平面，平面， 所以平面，平面. 则，， 根据空间等角定理，有， 因为，所以， 从而可得与全等， 所以，而，所以， 即点到定点的距离等于到定直线的距离（）， 故此时对应的圆锥曲线是抛物线. （2）当，平面截几何体的表面得到的截口曲线在两个圆锥上各有一支，以下证明它是双曲线： 证明：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切，    即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆， 且与平面相切（分别位于上下圆锥平面同侧），切点分别为和. 在截口曲线上任取一点M，作直线交圆于点，连接和， 因为和都是大球的切线段，所以， 同理，所以， 因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且， 同理可得，当在圆锥曲线另一支上时， 可得也为定值，且，. 所以有，且，. 此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足双曲线定义， 故当，对应的圆锥曲线是为双曲线. （3）    如图，取中点，连接. 由题意知，与都是正三角形，则，且. 则二面角的平面角为， 由二面角为直二面角，则，即. 又，平面，平面，且， 所以平面. 所以是在平面内的射影， 则即为直线与平面所成角. 在中，，故. 由题意可知，过点与直线成角的射线绕一周， 生成以为顶点，为对称轴的两个圆锥形的几何体与轴成， 不经过点与轴成角的平面， 截几何体的表面得到的截口曲线为圆锥曲线. 因为，平面截几何体的表面得到的截口曲线在两个圆锥上各有一支， 所以由（2）结论可知，动点的轨迹是双曲线的一支（因为射线）， 双曲线的焦距即为外公切线长，实轴长即内公切线长. 如图，为两圆（球）圆（球）心，分别为两圆（球）的内外公切线.    由，则， 在平面中作过作，交于，则. 在中，即为轴平面所成角， ； 由，则， 在平面中过作交于，则. 在中，为直线与所成角， 即直线与直线所成角. . 所以离心率. 地 城 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 2．(24-25高二上·浙江杭州北斗联盟·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】D 【分析】求椭圆的离心率，根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题，根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解. 【详解】A：依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线则这两条垂线的交点在上， 因为，所以椭圆的离心率，故A正确； B：因为点，，都在上，且，为的直径， 所以面积的最大值为，故B正确； C：设，的左焦点为，连接， 所以， 又，当时，的最小值为， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确； D：由直线经过坐标原点，易得点A，关于原点对称， 设，，则，得，， 又，两式相减得，， 所以，故D错误. 故选：D 3．(24-25高二上·浙江91高中联盟·期中)已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【详解】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 4．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题 5．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆上任意不同两点作圆的切线，如果切线垂直且相交于点，则动点的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆，过椭圆上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，设切线方程为，与椭圆方程联立结合可得，分析可知关于的方程有两个不同的实数根，且，即可得结果，注意对切线的斜率不存在或为0时的验证. 【详解】设， 若切线的斜率存在且不为0，则过点的切线方程为， 联立方程，消去y可得， 则， 整理可得， 由题意可知：关于的方程有两个不同的实数根， 则且，整理可得； 若切线的斜率不存在或为0，则点为，满足； 综上所述：，即动点的轨迹方程是. 故答案为：. 6．(24-25高二上·浙江杭州西湖区之江高级中学·期中)若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据可得m的范围. 【详解】由得，， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴，解得， ∴m的范围是. 故答案为：. 7．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)直线被椭圆截得的弦长为 . 【答案】 【分析】联立，求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 8．(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)已知椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆交于点、，的周长最大值为，则椭圆离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线可得周长的最大值为，即可得，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】取右焦点，连接， 由于的周长为，当且仅当共线时取等号， 故周长的最大值为，因此， 故，当时取等号， 故， 故离心率的最大值为. 故答案为： 三、解答题 9．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【详解】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由， ， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. （3）   ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足， ，， 且，， 所以原式化为： . 10．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)已知椭圆焦距为2，离心率e是 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线恒过点 【分析】（1）根据焦距得到的值，再根据离心率以及求得的值； （2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，根据面积公式求得最值；②根据①表示出的坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，可得到定点 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①设，则 联立，， 由弦长公式可得： 同理可得：， 所以 令，则 当的最小值是； ② ，由代替m，得， 当，即时，，过点. 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 11．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)曲线且 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出； （2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案. 【详解】（1）表示双曲线，则， 解得， 故的取值范围是； （2）时，曲线为双曲线， 设，，故， 因为， 所以， 解得， 故点的横坐标为. 12．(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将已知点代入方程求参数，即可得椭圆方程； （2）由题意，联立椭圆并应用韦达定理得，，进而求得，最后应用向量数量级的坐标运算求结果. 【详解】（1）由题意，故椭圆方程为； （2）由题意，联立椭圆方程得， 整理得，显然，则，， 所以， 由 . 地 城 考点05 轨迹问题 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)已知正方体的棱长为1，，是棱、的中点，动点满足，其中，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若平面，则 D．若，则 【答案】C 【分析】建系，分析可知.对于A：利用空间向量判断垂直关系；对于B：利用空间向量求异面直线夹角；对于C：利用空间向量求线面平行；对于D：分析可知点在以为直径的球面上，举反例说明即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，即. 对于选项A：因为若，，即， 可得，， 因为不恒为0，即与不一定垂直， 所以与平面不一定垂直，故A错误； 对于选项B：若，即， 可得，， 设与所成角为， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即或时，等号成立， 综上所述：，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面，则， 可得，整理可得，故C正确； 对于选项D：若，则点在以的中点为球心，半径的球面上， 例如，符合题意，但，故D错误； 故选：C. 2．(18-19高二下·浙江嘉兴·期末)已知正方体的棱长为，定点在棱上(不在端点上)，点是平面内的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹所在的曲线为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】作，，连接，以为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造，整理可得结果. 【详解】作，，垂足分别为 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设， 由正方体特点可知，平面 ， ，整理得： 的轨迹是抛物线 本题正确选项： 3．(24-25高二上·浙江金华曙光中学·期中)已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 二、多选题 4．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(    ) A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 B．存在Q点，使得平面 C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D．若，那么Q点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】A：取、中点，连接、、PF，证明平面∥平面，则点的轨迹为线段； B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出x、z即可判断； C：的面积为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大； D：可求为定值，即可判断Q的轨迹，从而求其长度. 【详解】取、中点，连接、、PF， 由PF∥∥且PF＝知是平行四边形， ∴∥，∵ 平面， 平面，∥平面， 同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F， ∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则即得取，则. 若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误； 的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大. ， ，，则当时，d有最大值1； ②，，则当时，d有最大值； 综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确； 平面，， ，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)已知正四面体的棱长为6，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是 . 【答案】 【分析】先将正三棱锥补全为正方体，然后根据题中条件求得点的轨迹；然后求解即可. 【详解】如图将该正三棱锥补全为一个正方体，建立空间直角坐标系，点为点在平面的投影， 易知， 平面的一个法向量，显然点在平面上， 设 易知 由题可知， 得 整理得 易知到点的距离, 所以在以为球心，半径为的球面上； 由题易知，, 所以， 所以，点在平面上是以点为圆心的圆上， 所以线段的长度的最小值是. 故答案为： 6．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 【答案】/ 【分析】考虑的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积为得到为的切线，考虑的斜率不存在时，也满足要求，利用椭圆定义和几何性质得到最小值，即定值. 【详解】当的斜率存在时，设为， 与联立得， 设，则， 则由题意得，化简得，① 因为x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值， 所以直线为某一个椭圆的一条切线， 联立与，得， 由得，②， 比较①②得，解得， 故直线为椭圆的切线， 当直线的斜率不存在时，设，则， 由可得，， 联立可得， 此时直线的方程为，为椭圆的切线， 由椭圆定义和几何性质可知，当且仅当为切点，为的焦点时，等号成立， 故此定值为. 故答案为： 四、解答题 7．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）根据题中新定义可求得结果； （2）设出点的坐标，结合曼哈顿距离得到的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据定义得到等式，转换为恒成立问题，即可求得结果. 【详解】（1）由题可得， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形，    其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为； （3）易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和. 地 城 考点06 新定义问题 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)曲线的对称轴的条数为（   ） A．9 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对称点代入分别判断对称轴即可. 【详解】曲线， 设点代入曲线得，即得成立，所以曲线关于轴对称； 设点代入曲线得，即得不成立，所以曲线不关于轴对称； 设点代入曲线得，即得不成立，所以曲线不关于轴对称； 设点代入曲线得，即得不成立，所以曲线不关于轴对称； 故选：B. 二、多选题 2．(24-25高二上·浙江杭州（含周边）重点中学·期中)已知曲线的方程，则以下结论正确的是（    ） A．无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称 B．无论实数取何值，曲线都是封闭图形 C．当时，曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数的点） D．当时，曲线所围成的区域的面积小于 【答案】AC 【分析】选项A，利用曲线上任意一点关于轴的对称点仍在曲线上，即可判断；选项B，根据条件可得到，当时，及，从而可得，，即可判断；选项C，通过对曲线方程特点分析，分，，三种情况下，曲线图象经过的点，即可判断；选项D，由C项得到的整点围成的图形面积之和即可判断. 【详解】对于选项A，设是曲线上任意一点，则其关于轴的对称点为， 又因为，即点也在曲线上， 所以曲线关于轴对称，故选项A正确， 对于选项B，由得到， 故，当时，，此时曲线不封闭，故选项B错误， 对于选项C，当时，曲线为， 当时，代入可得，解得，即曲线经过点， 当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数， 当时，，解得或，即曲线经过， 根据曲线关于轴对称可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，所以选项C正确， 对于选项D，当时，曲线， 当，曲线方程为：即 设，则，其中， 因，故. 当时，则， 若且，则由得， 但此时，矛盾； 故当时，，或， 由C可知此时图形是封闭的，故此时曲线与坐标轴围成的面积大于1， 当时，，此时， 而，，故此时曲线在的下方， 此时曲线与坐标轴围成的面积大于， 由A中曲线的对称性可得曲线围成的面积大于，故D错误. 故选：AC. 3．(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线夹在直线和直线之间 C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍 D．曲线上任意两点距离都不超过 【答案】ABC 【分析】A选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图形，找到9个整点，A正确；B选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图象，得到B正确；C选项，在A选项的基础上，求出和表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，求出所围成的区域面积，得到C正确；D选项，分别就的正负进行分类讨论，画出的图形，数形结合，连接两圆心并延长，求出，D错误. 【详解】A选项，，，有， ，，有， ，时，有， ，时，， 画出图形，如下： 经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确； B选项，曲线， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 其中，， 故，则， 故曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为， 是夹在直线和直线之间，故B正确. C选项，由A选项知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，故其面积为， 同理，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，其面积为， 所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，C正确； D选项，当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 连接两圆心并延长，分别与两圆交于， 则，D错误. 故选：ABC 4．(24-25高二上·浙江杭州钱塘联盟·期中)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，下列几个结论正确的是（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．曲线上任意一点到原点的距离都不超过 【答案】ABD 【分析】利用题中给出的曲线的方程，将代入即可判断选项A；通过方程，确定和的取值情况，即可判断选项B；举出反例，取，计算出即可判断选项C；利用基本不等式以及两点间距离公式进行分析求解，即可判断选项D． 【详解】对A：将代入，可得，即， 故曲线关于轴对称，故A正确； 对B：当时，代入方程可得，所以，即曲线经过点，， 当时，方程变为，所以， 解得，则只能取整数，当时，，解得或， 即曲线经过点，，根据对称性，可得曲线还经过，， 故曲线一共经过6个整点，故B正确； 对C：当时，有，即，解得， 有，故曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于，故C错误； 对D：当时，由，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，所以， 故曲线上轴右边的点到原点的距离不超过， 根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故D正确. 故选：ABD.    5．(24-25高二上·浙江杭师附·期中)（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点P的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 6．(24-25高二上·浙江杭州北斗联盟·期中)2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线是“双纽线”，若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析直线与曲线必有公共点，再联立直线与曲线方程，消去，依题意可得，解得即可. 【详解】因为直线与曲线必有公共点， 联立，可得， 由题意可知，解得或，即实数的取值范围是. 故答案为： 7．(24-25高二上·浙江台金七校联盟·期中)已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，可得，结合椭圆的第二定义可得，进而得到，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，要求的最大值，设， 则，即， 由，得，则， 则，，椭圆的右准线为， 则到右准线为的距离为， 根据椭圆的第二定义可知，，即， 又，， 则 ， 由于，则， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. (2)设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【详解】（1）设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. （2）由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $