专题1.6 二次函数中存在性问题 同步讲练—2025-2026学年浙教版数学九年级上册

专题1.6 二次函数中存在性问题七大题型—2025-2026浙教版数学九年级上册同步讲练 题型一：二次函数中存在性问题之面积最大问题 【经典例题1】 1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标． 【变式训练1-1】 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标； 【变式训练1-2】 3．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由． 题型二：二次函数中存在性问题之周长最小问题 【经典例题2】 4．如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标； （3）直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标． 【变式训练2-1】 5．如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【变式训练2-2】 6．如图是二次函数的图象，其顶点坐标为． （1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积． 题型三：二次函数中存在性问题之三角形问题 【经典例题3】 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且． （1）试求出点B的坐标． （2）分别求出直线和抛物线的解析式． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3-1】 8．如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3-2】 9．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：二次函数中存在性问题之平行四边形问题 【经典例题4】 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； （3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-1】 11．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； （3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-2】 12．如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． （1）求A、D的坐标（用m的代数式表示）； （2）将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； （3）抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 题型五：二次函数中存在性问题之菱形问题 【经典例题5】 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式训练5-1】 14．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． （3）过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练5-2】 15．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； （3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 题型六：二次函数中存在性问题之矩形问题 【经典例题6】 16．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）点为抛物线上一点，且，则点的坐标为　 　； （3）点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； （4）点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练6-1】 17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求点、、的坐标； （2）将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练6-2】 18．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值； （3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 次函数中存在性问题之正方形问题 【经典例题7】 19．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． （2）当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． （3）若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【变式训练7-1】 20．如图，抛物线与x轴交于、两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练7-2】 21．如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的解析式为： （2）解：如图，过作轴交于， 设过，的直线为： 解得： 直线解析式为 当，则 解得：， 而 设，则 所以当时，的面积最大， 最大面积为： 此时：． ∴． 2．【答案】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：， ， 把和代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： （2）解：如图，过作轴，交直线于， 设，则， ， ， ， 有最大值，此时； 3．【答案】（1）解：在中，令得，令得 ，， 二次函数的图象过、两点， ， 解得 二次函数的表达式为 （2）解：解：过点作轴交于点， 设的面积为，，则， ∴ ∵，， ∴ ∴当时，面积的最大值为，， 点的坐标是 4．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将，，代入得， ， 解得， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴l是直线， ∵点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， ∴当点A，E，C三点共线时，的周长最小， ∴此时点E在直线上， 设直线的函数表达式为， 将，，代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入， ∴点E的坐标为； （3）解：存在． 如图所示，过F作y轴的平行线，交于点D， 设点F的坐标为，则， ∴， ， 当时，的面积最大，此时， 点F的坐标为． 5．【答案】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为： （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，过点P作轴于E， ， ∴当有最大值时，有最大值， ， ， ∵， 当时，最大值， 最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 6．【答案】（1）解：是二次函数的顶点坐标， ， 令，解之得，， ，两点的坐标分别为， （2）解：在二次函数的图象上存在点，使，设， 则， 又， ，即， 二次函数的最小值为， ， 当时，， 解得：或． 故点坐标为或； （3）解：如图，作关于轴对称点为，连接交轴于， 此时的值最小，即周长最小， 设直线的解析式为，，， 所以， 解之，， 直线的解析式为：， 令，， 所以， 此时的面积为： 7．【答案】（1）解：∵点，即． ∵， 在中，根据勾股定理得， 即点B坐标为 （2）解：把分别代入中， 得，解得． ∴直线解析式为； 把、、分别代入得 ，解得． ∴抛物线的解析式是． （3）解：在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是， ∴抛物线对称轴为直线． 设点P坐标为． ①当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ②当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ③当时，有． ∵，，， ∴． 解得：，， ∴， ． 综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或． 8．【答案】（1）解：∵抛物线过点，， ∴代入得解得 ∴抛物线解析式为 （2）解：存在； 由（1）得：抛物线解析式为， ∴对称轴， 当时，解得或1， ∴点A的坐标为， ∵点C坐标为， 设点M的坐标为， 由勾股定理，得， ， ， ∵为等腰三角形的腰， ① 当时，即．解得， ∴，； ② 当时，即，解得， ∴； 综上，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或或； 9．【答案】（1）解：由题意得：，解得：， 故抛物线的表达式为： （2）解：对于，令，则，即点， 抛物线的对称轴为直线， 设点， 由勾股定理得：；，， 当是斜边时，则， 解得：， ∴， 当是斜边时，则， 解得：； ∴， 如图，当是斜边时， 则， 整理得：， 解得：； ∴，， 即点P的坐标为或或或． 10．【答案】（1）解：∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，，， 设抛物线解析式为，将代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：如图1，过点作轴交于点， 设直线解析式为，将，代入， 得：， 解得：， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方． ①当点在轴上方时，∵， ∴与纵坐标相等， ， 解得：，（舍去）， ， ②当点在轴下方时，∵为对角线， ∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0， ∴与纵坐标互为相反数， ， 解得：，， 或， 综上所述，点的坐标为或或． 11．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为： （2）解：过点作于点，过点作轴交于点， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴当最大时，有最大值， 设的解析式为， ∴， ∴， 解得：， ∴设的解析式为， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴； ②∵， ∴点， ∵点， ∴对称轴为：， 设点， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． （3）解：存在；点的坐标为或或 12．【答案】（1）解：∵， ∴顶点， 令，则， ∴点， ∴ （2）解：设直线为，则，解得， ∴直线解析式为， 由，解得， ∴点E坐标为， ∴点关于y轴的对称点， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或， ∵， ∴； （3）解：如图， ①当为边时，，， 令，则， ∴点C的坐标为， ∴ 根据平移可以得到点P坐标， ∴， ∴或(舍弃)， ②当为对角线时，为边， 根据平移可得点坐标， ∴， ∴或(舍弃) ∴抛物线解析式为或 13．【答案】（1）解：把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为 （2）解：延长交轴于， 过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或 14．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点C代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为： （2）解：①连接， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N， 设， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 当时，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在，或或 15．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，，，， 16．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴ （2）或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）解：存在， 17．【答案】（1）解：令，则， 解得，， ， 令，则， ． （2）解：， ， 对称轴为． 当为边时，分两种情况： 当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点， ，， ， ， ． 设所在直线解析式为， 将，代入得，， 解得， 所在直线解析式为， 当时，． ． 当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点， 易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为． 当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上， 此种情况不存在． 综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 18．【答案】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为 （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 四边形是矩形，且，，， ，解得， 则此时点的坐标为； ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 四边形是矩形，且，，， ，解得， 则此时点的坐标为， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 19．【答案】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为 （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为 （3）解：点的坐标为或或． 20．【答案】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 21．【答案】（1）解：将，代入得 抛物线的解析式为 （2）解：设直线的函数解析式为， ， ， 直线的解析式为． ， 当点、三点共线时，的最小值为的长， 抛物线的对称轴为， 当时，， （3）解：或或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $