24.4 弧长和扇形面积 题型分类解答题专题训练 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.4弧长和扇形面积题型分类解答题专题训练 一、求弧长 1.如图是一段弯形管道，其中，∠0=∠0'=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm.求 图中管道的展直长度（取3.142）. 3000 R1000 R1000 2.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别是 A-2,2,B0,4,C4,4. B -5-4-3-2-10 12345x (I)将ABC以O为旋转中心逆时针旋转90°得到△A,B,C1,画出△AB,C,; (2)若以点O为旋转中心，将ABC按顺时针方向旋转60°，计算点C转过的弧长（只计算 弧长，不画图，结果保留π) 3.如图1，图2，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且 不与点D重合，半径OE=2,点E,F分别在边AD,CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形 OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF 图1 图2 试卷第1页，共3页 (1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数： (2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； (3)当∠E0F=150°时，求EMF的长. 4.如图，将半径为10的扇形A0B,绕点O逆时针旋转α°得到扇形COD. O (1)求证：△A0G≌△D0E; (2)当AD为直径时，OB⊥CD,求a的值及优弧AB的长. 5.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A. B D (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若∠D=30°，⊙0的半径为8cm,求AC的长度. 二、求圆心角 6.如图，已知O0的半径为2，AB是O0的直径，点P是AB延长线上一点.以PO为边作 △OPC,使得PC=P0,OC=4,0C与⊙0的交点为D,连接AC,PD. (1)判断直线DP和OO位置关系； BD的长为，AC=AP,延长PD交AC于点E,求证：EA二E 7.如图，OO是ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接 试卷第1页，共3页 OD交BC于点H. C 0 A B (1)求证：0D⊥BC; (2)己知DH=2,BC=8. ①求00的半径长； ②若劣弧BD的长度为元，求∠B1C的度数 8.如图，ABC是圆O的内接三角形，连接BO并延长交AC于点D,∠ACB=a, ∠BAC=ma D B 备用图 (I)若a=30°，求∠ABD的度数； (2)若∠ADB=na+90°，求证m+n=1; (3)若弧AB长是00周长的4,2LADB=5∠CBD,求4D:CD的值. 9.如图，在ABC中，∠C=60°，AB=2.以AB为直径画⊙0，交边AC于点D.弧BD的 长为.求证：8C是00的切线。 A O D B 试卷第1页，共3页 10.如图，AB与00相切于点A,OB交⊙0于点C,0C=8,AC的长为2π，求BC的长. 三、求扇形面积 11.如图，AB是O0的直径，点C是⊙0上的一点，延长AB到点D,连接CD,使得 ∠BCD=∠A, D B (1)试判断CD与00的位置关系； (2)若LD=30°，BD=6,求阴影部分面积. 12.如图，AB是O0的直径，点C在O0上，AC∥OD,0D与⊙0相交于点E,与BC相 交于点F,CE平分LBCD (1)求证：CD是O0的切线： (2)若CE=DE=2,求图中阴影部分的面积. 13.如图，在ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点 O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E、F 试卷第1页，共3页 E D B (1)试判断直线BC与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)若BD=2√5，∠DAB=30°，求阴影部分的面积（结果保留n). 14.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,延长AD、BC交于点E,且 CE=CD B C (I)求证：AB=AE; (2)连接D0、0C,若∠BAE=40°，A0=4,求扇形0CD的面积. 15.如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0分别交BC,AC于点D,G,过点 D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F G B (1)求证：EF与O0相切； (2)当DB=BF=5时，求阴影部分的面积. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.6142mm 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题关键.根据图中管道的展直长度等于 3000mm与两条圆弧的长度之和即可得. 【详解】解：由图可知，3000 90×元×1000×2 180 =3000+1000π =3000+1000×3.142 =6142(mm, 答：图中管道的展直长度为6142mm. 2.(1)见解析 ②9， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，求弧长，两点距离计算公式，熟知相关知 识是解题的关键 (1)根据旋转方式和网格的特点找到AB、C,的位置，描出A、BC,,并顺次连接 A、B、C即可： (2)利用两点距离计算公式求出OC的长，再利用弧长公式求解即可. 【详解】(1)解：如图所示，△A,B,C,即为所求； ⊙ 1 5 (2)解：：C4,4, ·0C=V4-02+(4-0)2=4W2, :以点O为旋转中心，将ABC按顺时针方向旋转60°， 答案第1页，共2页 ·点C转过的弧长为60r×4V2_4V π. 180 3 3.(1)45 (2)6 ⊙”a 3 【分析】(1)根据题意证明出四边形EOFD是正方形，得到LEOF=90°，然后利用圆周角 定理求解即可； (2)首先证明出△OEM是等边三角形，如图所示，连接EF交BD于点G,求出 MG=OG=EM=1,EG=VEM?-MG2=V5,然后得到aEGD是等腰直角三角形，进而 求解即可； (3)分两种情况，根据弧长公式求解即可. 【详解】(1)：正方形ABCD的边长为5. .AD =CD=5 :当AE=3时 .ED=DF=2 .0E=0F=2 :ED=DF=OE=OF 四边形EOFD是菱形 :∠EDF=90° .四边形EOFD是正方形 .∠E0F=90° :∠EMF=∠EOF=45°： 2 (2):四边形OEMF为菱形 .EM =MF=OE=OF :扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上， ..OE=OM=EM =2 .△OEM是等边三角形 如图所示，连接EF交BD于点G 答案第1页，共2页 .EF⊥BD MEGFO ·zG=OG三，E☑=1 :EG=EM?-MG2=3 :∠EDG=450 .△EGD是等腰直角三角形 EG=DG=3 ∴.ED=VEG+DG=V6: (3)如图所示，当EMF是劣弧时， B :∠E0F=150°，半径0E=2 :EMF=150元×2_5π 180-39 如图所示，当EMF是优弧时， M :∠E0F=150°，半径0E=2 360°-150°=210° 答案第1页，共2页 :EMF =210xx2 7n 180 3 综上所述，AF的长为语或 3 【点晴】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直 角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点. 4.(1)见解析 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角 形的性质与判定，解题的关键是利用旋转得到边、角的关系 (1)由扇形的性质可得OA=OB=10,再由等腰三角形的性质可知∠A=∠B,再由旋转的 性质得∠B=∠D,推出∠A=∠D;利用ASA证明三角形全等； (2)利用垂径定理及圆的基本性质可得∠DOE=∠COE=∠AOG，,即可求得旋转角的度数， 再根据弧长公式求优弧AB的长即可. 【详解】(1)证明：由题意可得：0A=0B=10, ∠A=∠B, 由旋转的性质可知，∠B=∠D, :∠A=∠D. 由旋转的性质可知，∠A0B=∠COD,OB=OD, :∠A0B-∠B0C=∠COD-∠B0C, 即LA0G=∠D0E, :0A=0B, 0A=0D. 在△AOG与△D0E中， ∠A=∠D OA=OD ∠AOG=∠DOE :△AOG≌△D0E(ASA). (2)解：当AD为直径时，OB⊥CD, :0C=0D, .ZDOE ZCOE 答案第1页，共2页