15.1.2线段的垂直平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

该初中数学导学案聚焦线段垂直平分线的定义、性质与判定，通过“基础练+提升练+拓展练+达标检测”四层递进设计，构建从概念理解到综合应用的学习支架。以生活情境导入（如花坛选址、健身中心定位），自然衔接尺规作图与几何证明，层层推进，帮助学生建立知识间的逻辑关联，实现从直观感知到理性推理的跨越。 本资料突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。亮点在于真实问题驱动学习，如用尺规作图解决实际选址问题，强化几何直观与模型意识；题型设计兼顾梯度与综合性，尤其在变式训练中渗透分类讨论、转化思想，培养推理能力与创新意识。习题贴近生活又具挑战性，助力学生形成结构化认知，提升数学表达与解决问题的能力。

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 15.1.2线段的垂直平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 线段垂直平分线的定义及性质 1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 要点诠释： 1.垂直平分线是线段的对称轴，可将线段分成左右对称的两部分。 三角形三边垂直平分线交于外心，该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.证明题 ：常用于证明点与线段的位置关系（如证明某点在垂直平分线上）或线段相等（如通过构造垂直平分线）。 计算题 ：结合轴对称性质求解线段长度或角度问题。 题型1 利用线段垂直平分线性质求值 例1．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图：中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【变式1-2】．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ． 【变式1-3】．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 题型2利用线段垂直平分线性质证明 例2．如图，中，，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． (2)求证： 平分． 【变式2-1】．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 【变式2-2】．如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【变式2-3】．如图，在四边形中，． (1)连接，作的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 知识点2 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 要点诠释： 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 题型3利用线段垂直平分线判定求值 例3．如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 【变式3-1】．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式3-2】．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式3-3】．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 题型4 利用线段垂直平分线判定证明 例4．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【变式4-1】．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上． 【变式4-2】．如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 【变式4-3】．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 知识点3 尺规作图：作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 要点诠释： 半径控制 ：若半径小于或等于线段长度的一半，两弧将无法相交，导致作图失败。 直线性质 ：垂直平分线同时满足垂直（与线段成90度）和平分（将线段等分）两个条件。 题型5 利用线段垂直平分线性质作图 例5．如图，在中，，请你用尺规作图的方法，在内部求作一点P，使得平分，且为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-1】．如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 【变式5-2】．如图，在等腰中，．利用尺规作的垂直平分线l．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式5-3】．如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 题型6 线段垂直平分线性质的实际应用 例6．国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹） 【变式6-1】．如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-2】．已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 【变式6-3】．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 题型7 综合应用线段垂直平分线的性质判定计算、证明 例7．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【变式7-1】．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【变式7-2】．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【变式7-3】．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 题型8 线段的垂直平分线性质与角平分线性质综合 例8．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【变式8-1】．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分 (2)连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是 【变式8-2】．如图，AD是△ABC的角平分线，DE是△ABD的高． (1)尺规作图：作△ACD的高DF，连接EF．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD垂直平分EF 【变式8-3】．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P． （1）求证：BP＝CP； （2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积． 例9．如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 【变式9-1】．在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【变式9-2】．如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 【变式9-3】．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子的位置应该放在（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 4．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 6．观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（   ） A．②③ B．③④ C．①③ D．②④ 7．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 10．如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ． 11．如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则 ． 12．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 13．如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 15．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 16．如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 17．风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 18．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 19．阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下 结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． ∵中，， ∴， …… 关于对角线：…… 任务： (1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； (2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； (3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为_________． 20．操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． B 抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 15.1.2线段的垂直平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 线段垂直平分线的定义及性质 1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 要点诠释： 1.垂直平分线是线段的对称轴，可将线段分成左右对称的两部分。 三角形三边垂直平分线交于外心，该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.证明题 ：常用于证明点与线段的位置关系（如证明某点在垂直平分线上）或线段相等（如通过构造垂直平分线）。 计算题 ：结合轴对称性质求解线段长度或角度问题。 题型1 利用线段垂直平分线性质求值 例1．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【变式1-1】．如图：中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，，再由题意求出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， 又∵的周长， ∴，即， ∴的周长． 故答案为：． 【变式1-2】．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积． 【详解】解：是边的垂直平分线，, ， 又,, , . 故答案为：12． 【变式1-3】．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 【答案】/25度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2利用线段垂直平分线性质证明 例2．如图，中，，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． (2)求证： 平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质． （1）分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线， 交于点D，交于点E，直线就是所要作的边上的中垂线∶ （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后求出，从而得到 平分． 【详解】（1）解∶如图所示，图形即为所求： （2）证明∶是边上的垂直平分线， ． ， ． ， ． ． ． 平分． 【变式2-1】．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 【答案】见详解 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，根据角平线的性质定理得到，根据垂直平分线的性质，结合斜边直角边的判定方法得到，即可求解． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 【变式2-2】．如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-3】．如图，在四边形中，． (1)连接，作的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用基本作图作垂直平分线即可； （）连接，，设与交于点，由作图可知，，，通过平行线性质可得，然后证明，则有，再代入即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接，，设与交于点， 由作图可知垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点2 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 要点诠释： 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 题型3利用线段垂直平分线判定求值 例3．如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． （1）如图，作出线段的垂直平分线即可； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，为的垂直平分线， （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ． 【变式3-2】．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 【变式3-3】．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质； （1）由，由作图可得：，从而可得答案； （2）根据是线段的垂直平分线可得答案. 【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下： ∵，由作图可得：， ∴是线段的垂直平分线； ∴垂直平分线段； （2）解：，理由如下： 由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点， ∴. 题型4 利用线段垂直平分线判定证明 例4．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 【变式4-1】．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【变式4-2】．如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式4-3】．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 知识点3 尺规作图：作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 要点诠释： 半径控制 ：若半径小于或等于线段长度的一半，两弧将无法相交，导致作图失败。 直线性质 ：垂直平分线同时满足垂直（与线段成90度）和平分（将线段等分）两个条件。 题型5 利用线段垂直平分线性质作图 例5．如图，在中，，请你用尺规作图的方法，在内部求作一点P，使得平分，且为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查尺规作图的角平分线和中垂线做法，根据角平分线的作法求得平分，再中垂线作法结合求得的垂直平分线，两线的交点即为点P． 【详解】解：如图， 【变式5-1】．如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线交于点M，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长求解即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图所示，连接，根据题意易知，是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式5-2】．如图，在等腰中，．利用尺规作的垂直平分线l．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】图见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的作法，根据线段垂直平分线的作法完成作图即可． 【详解】解：如下图，直线l即为所求作． 【变式5-3】．如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见解析． 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作线段垂直平分线即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求． 题型6 线段垂直平分线性质的实际应用 例6．国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查基本尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键． 根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，作的角平分线和线段垂直平分线，两线的交点即为所求的点P． 【详解】解：如图，点P即为所求： 【变式6-1】．如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质的应用等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【变式6-2】．已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据上落站到两个村庄的距离相等可得公交站位置为线段的垂直平分线与公路的交点，故连接，作出线段的垂直平分线与公路相交，交点即为公交站的位置． 【详解】解：如图点的位置即为公交站的位置， 【变式6-3】．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，轴对称求线段和最小值问题，掌握轴对称的性质以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作出的垂直平分线与的交点即可，交点即为厂址所在位置； （2）利用轴对称求最短路线的方法是作出点关于直线的对称点，再连接交于点，即可得出答案． 【详解】（1）解：作出的垂直平分线与的交点，交点M即为厂址所在位置； （2）解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 题型7 综合应用线段垂直平分线的性质判定计算、证明 例7．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【变式7-1】．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质； （1）由，由作图可得：，从而可得答案； （2）根据是线段的垂直平分线可得答案. 【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下： ∵，由作图可得：， ∴是线段的垂直平分线； ∴垂直平分线段； （2）解：，理由如下： 由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点， ∴. 【变式7-2】．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 【变式7-3】．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 题型8 线段的垂直平分线性质与角平分线性质综合 例8．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式8-1】．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分 (2)连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，，根据角平分线的性质得到，推出点在的垂直平分线上，根据全等三角形的判定和性质定理以及线段垂直平分线的判定即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据含直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：，分别是和 的高， ，， 又是的角平分线， ， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解： ， ， 是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【变式8-2】．如图，AD是△ABC的角平分线，DE是△ABD的高． (1)尺规作图：作△ACD的高DF，连接EF．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD垂直平分EF 【答案】(1)图见解析 (2)证明见详解 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）利用基本作图，过点作于点； （2）先根据角平分线的性质得到，则可判断，所以，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到垂直平分． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 而， 垂直平分 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 【变式8-3】．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P． （1）求证：BP＝CP； （2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、利用平行四边形的性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】（1）设AP与BC交于H，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，推出BE平分∠ABC，求得AP平分∠BAC，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，设AP与BC交于H， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BE平分∠ABC， ∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P， ∴AP平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AH垂直平分BC， ∴PB＝PC； （2）∵AH垂直平分BC， ∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2， ∵∠ABH＝45°， ∴AH＝BH＝2， ∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题的关键． 例9．如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用直角三角形的性质得到，即可得出结论； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）通过证明得到，再通过证明得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是△的角平分线， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点同时在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】．在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 【变式9-2】．如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了梯形，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 延长交的延长线于点，利用全等三角形的性质证明，，进而即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 【变式9-3】．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SSS证明三角形全等（SSS）、角平分线性质的实际应用、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （2）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，中垂线的性质，证明时如只利用线段垂直平分线或角平分线的性质定理证不出结论时，常结合全等三角形证明等量关系． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 是的角平分线， ∴ ， ； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图-基本作图，根据垂线的性质可得出结论．根据尺规作图的痕迹可知：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质即可解答． 【详解】解：∵由作图可知：是的垂直平分线， ∴，，， ∴，故D选项符合题意； 根据已知无法确定A、B、C项； 故选：D． 2．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子的位置应该放在（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 木凳应放的最适当的位置是在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 6．观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（   ） A．②③ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【知识点】画出直线、射线、线段、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图−基本作图，利用线段的垂直平分线的性质，三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图①，由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即． 如图②为作的角平分线，无法判定； 如图③中，由作图可知，， ∵点T在线段上， ∴，即． 如图④为过点C作的垂线，无法判定． 故选C． 7．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 8．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据是边的垂直平分线得，再根据的周长是即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 10．如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称中最短路线的问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是找出点P的位置． 根据题意可知，点B关于直线的对称点为点，故当点P与点D重合时，有最小值，求出的长度即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B与点C关于直线对称， 设交于点D，如图， 当点P与点D重合时，的值最小，最小值为等于的长， ∴的最小值是． 故答案为： ． 11．如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则 ． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键．连接，由垂直平分线的性质可得、，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：7． 12．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】解：连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ； 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 13．如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质．熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 由题意可知，是线段的线段垂直平分线，进而得到，由的周长得出，结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为5， ∴， ∴的周长， 故答案为：7． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 【答案】(1)见解析 (2)①90；②三角形的内角和等于；③；④；⑤同位角相等，两直线平行 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明． 【详解】（1）如图： （2）证明：是边的垂直平分线， ． （三角形的内角和等于）； （等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 15．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键. （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，等量代换得到； （2）根据三角形周长公式求出，再根据（1）中结论计算，得到答案． 【详解】（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ， ， 即． 16．如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到边相等进而转化为角相等，结合外角性质快速求角． 根据角平分线定义，由的度数直接求出的度数；利用是垂直平分线的性质得出进而得到最后根据三角形外角的性质，即等于与的和，求出 的度数． 【详解】解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ． ． 17．风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 18．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定； （1）证明，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，即可解答． 【详解】解（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）∵， ∴点A，C均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵是垂直的， ∴是水平的． 19．阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下 结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． ∵中，， ∴， …… 关于对角线：…… 任务： (1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； (2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； (3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）同理可得，则可得到，即，据此可证明结论； （2）证明，得到，则平分与；再证明，可得，，则垂直平分； （3）当点E在延长线上时，连接交于T，由题意得，同理可证明，，则可求出，据此可得答案；当当点E在上时，则． 【详解】（1）解：理由如下：连接对角线． 中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即与互补； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分与； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分； （3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T， ∵四边形是直角筝形， ∴， 同理可证明，， ∴， ∴． 如图所示，当点E在上时，则； 综上所述，或。 20．操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）对，理由见解析；（4），理由见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过A点作于D，证明即可求解； （2）先证明，再根据证明即可求解； （3）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （4）由得，等量代换得，从而可证． 【详解】解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 B 抓核心 三大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $