25.2 用列举法求概率-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

参考答案 【知识点2】可能性m(1)1(2)0 8.解：(1)不能 (2)摸到白球的概率最大， 摸到红球的概率最小. (3)拿出1个黄球和2个白 3)41④101子2石 球即可.（答案不唯一） 【例】解：(1)从袋中任意摸出一个球有10种 9.A10.B 25.2用列举法求概率（第一课时) 结果，即红球、红球、红球、红球、红球、红球、 黑球、黑球、黑球、白球，这些结果出现的可能性 【例】解：(1)已确定A打第一场，再从其 相等.其中是红球（记为事件4）的有6种结果，即 余3名同学中随机选取1名，恰好选中B同学的 从袋中任意摸出一个球为红球的概率为P4)=6-3 概率是}，故答案为 105 3 (2)可以用表列出所有可能出现的结果 (2)设取走了x个红球，根据题意，得 告号，解得3，答：取走了3个红球 第一名 B C 0 第二名 1.C2.D3.D4.0 (B,A) (C,A) (D,A) s)32)(3)0(4)1 (A,B) (C,B)(D,B) 6.解：(1)摸到红球的概率为1，即为100%， (A,C) (B,C) (D,C) 因此这10个球都是红球，从10个除颜色外完全相同 D (A,D) (B,D) (C,D) 的红球中随机摸出1球，得到红球的可能性为1. (2)袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5 由表格可以看出，选取2名同学打比赛，可 个黑球，从中随机摸出1球，得到红球或黑球的可能 能出现的结果有12个，并且它们出现的可能性 性为 相等.其中符合选中B同学（记为事件A)的结 2 果有6个，即(A,B),(B,A),(B,C), (3)有绿球2个，那么摸到绿球的概率为2 0 (B,D),(C,B),(D,B),P4)=6=1 122 写，“摸到红球的概率为品即红球7个，那么摸到 1.B2.B3.C4.B 器球的餐率为1品品，器球的个数为102-7 5.解：(1)由题意，知共有4种等可能的结果， 其中所标的数字不超过3的结果有3种，：.所标的数 1,.黑球的个数是1个. 字不超过3的概率为3 7.解：①共有10种等可能出现的结果数，其中 41 “是奇数”的有5种，“是偶数”的也有5种，因此 (2)列表如下： “是奇数”“是偶数”的可能性都是50%. 1 2 3 4 ②共有10种等可能出现的结果数，其中“是3的 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 倍数”的有3种，“不是3的倍数”的有7种，因此 “是3的倍数”可能性是30%，“不是3的倍数”的可 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 能性是70%. 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) ③共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 6的数”的有4种，“不是大于6的数”的有6种， 因此“是大于6的数”的可能性是40%，“不是大于 共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球 6的数”的可能性是60%，因此，猜数者选择“不是3 所标数字之和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)， 的倍数”，这样获胜的可能性为70%，获胜的可能性 (2,4),(3,3),(4,2),共5种，摸到的这两个 最大. 数学 九年级上册（人教版） 小球所标数字之和能被3整除的概率为 16 AB,BA,P4)=2=1 63 6解：（山）3 1.C2.D3.A4.C 5.解：画树状图如下： (2)可以用表列出所有可能出现的结果 开始 一把锁 A B 把钥匙 左 a (A,a) (B,a) 左 左 b (A,b) (B,b) 左 右 左 左 c (A,c) (B,c) 3 4 由表格可以看出，可能出现的结果有6个，并且 共有8种等可能的结果，其中小球掉落到5号 它们出现的可能性相等.其中取出的钥匙恰好能打开 卡槽的结果有1种，.小球掉落到5号卡槽的概率 取出的锁（记为事件A)的结果有2个，即(A,a), B,.a名分 为 8 7.解：(1)区域A内8个方块中埋藏着2颗地 6解：（1)分 雷，∴.有6个方块没有地雷，未踩中地雷的概率是 (2)将这两张扑克牌从正中间剪断，分别记为A, 令-}(2)由()）知，区域A未踩中地雷的概率 B,C,D,其中A和B能拼成一张完整扑克牌，C和 D能拼成一张完整扑克牌，画树状图如下： 是子，：区域B的3个方块中埋者1颗地雷，有2个 开始 方块没有地雷，“区域B未踩中地雷的概率是2 子>号，六从安全的角度考虑，他应该迹择区越4 8c9石 共有12种等可能的结果，其中抽到的这两张卡片 25.2用列举法求概率（第二课时) 恰好能拼成一张完整扑克牌的结果有AB,BA,CD, 【例】解：(1)从三张卡片中随机抽取；DC,共4种，.抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完 一张，恰好是“B志愿者”只有一种可能， 整扑克牌的概率为4=1 12-3 给好是B志愿者")=号放答案为} 7.解：(1)酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇 (2)根据题意，可以画出如下树状图： 碱性溶液变红色，∴.小李将酚酞溶液随机滴入其中1 瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性） 不 不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液 (呈碱性)变红，P(结果变红)=2= 4-2 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共 (2)将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、 有6个，即AB,AC,BA,BC,CA,CB,这 氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分 些结果出现的可能性相等.其中A,B两名志愿： 别记作A,B,C,D,可以用表列出所有可能出现的 者同时被抽中（记为事件4）的情况有2个，即：结果 参考答案 第一瓶 2 A B C D 第二瓶 3 Y (B,A) (C,A) (D,A) 2 3 4 5 ⊙ (A,B) (C,B) (D,B) 3 4 6 (A,C) (B,C) (D,C) 由表可知：共有9种等可能的情况，其中两次摸 D (A,D) (B,D)》 (C,D) 到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和 由表格可以看出，小李和小王从中各选1瓶溶液 小于4的有3种，小明款胜的既率是多号，小红 9 滴人酚酞溶液进行检测，可能出现的结果有12个，并 且它们出现的可能性相等.其中1瓶变红、1瓶不变色 获胜的概率为号分，两人获胜的概率相等，：游 的结果有8个，即(A,C),(A,D),(B,C), 戏公平. (B,D),(C,A),(C,B),(D,A),(D,B), 10.解：D P1瓶变红，1瓶不变色)吕号 (2)根据题意，可以画出如下树状图： 8.解：(1)画树状图，如图所示： 小张 开始 小王 D 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12 个，即AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB, CD,DA,DB,DC,这些结果出现的可能性相等.其 所有等可能的结果为(1,1)，(1,2)， 中两人都没有抽到“B.夏至”（记为事件A)的结果 (1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3), 有6个，即AC,AD,CA,CD,DA,DC,P(A)= (2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), 6.1 (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种. 12-2 (2)这个游戏公平，理由为：：两次记下的标号 25.3用频率估计概率 和为奇数的情况有(1,2)，(1,4)，(2,1)， 【例】解：（①向上点数为3的频率-品向 (2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),共 8种； 上点数为5的颇率=16=8 5427 两次记下的标号和为偶数的情况有(1,1)， (2)试验次数有限，没有代表性，6个数 (1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3), 字出现的频率不是概率，，王强的说法错误，李 (4,2),(4,4),共8种，∴P(甲获胜)=P(乙获胜)= 刚的说法也错误，正确的答案是每个数字出现的 是子这个游戏公平 概率相同， 9.解：(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸 1.B2.D3.D4.0.65.1 到1,2,3的三张纸牌的可能性相同，∴.摸到“1”的 6.解：(1)0.1030.0980.103(2)0.1 概率是号故答案为} (3)设每千克大约定价为x元时比较合适，由题 意可得，10000(1-0.1)x-2·10000=5000,解得x≈ (2)游戏公平，理由如下：根据题意，列表如下： 2.8.答：每千克大约定价为2.8元时比较合适. 7.解：(1)0.38,0.375,0.375. 75概率初步 第二十五章 25.2 用列举法求概率（第一课时） 例题点拨Q素养导向 -。:多每 【例】A,B,C,D,4名同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出2名同学打第一场 比赛 (1)已确定A同学打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中B同学的 概率是 (2)随机选取2名同学，请用列表的方法，求选中B同学的概率. 【点拨】(1)由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中B同学的有1种，即可求得 答案；(2)采用列表法，不重不漏地列出所有出现的等可能的结果，先求出所有结果的总 数，再求出符合条件的结果的数目，二者的比值就是所求事件发生的概率， 夯实四基达标闯关 1.某中学九年级共有A,B,C,D四个班级，现从这四个班级中随机抽取两个进行学 业负担调查，则恰好抽到A,B两个班级的概率是() A日 B. c D.2 2.两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，两人随机同时出手一次，平局的概率为() A B. c D 3.在一个不透明的口袋里装有4个小球，每个小球上都写有一个数字，分别是 1,2,3,4,这些小球除数字不同外其他均相同，从中随机摸出两个小球，小球上的数字都 是奇数的概率是(（） A号 B. CI 6 D.2 9 4.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率 是() 5:2 A号 B号 D.1 第4题图 位 口数学 九年级上册（人教版） 5.一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外，其余均相同的4个小球，小球上分别标 有数字1,2,3,4. (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过3的概率是 (2)任意摸出一个小球记下所标的数字后，将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小 球，求摸到的这两个小球所标数字之和能被3整除的概率.（请用列表法说明）》 6.有同型号的A,B两把锁和同型号的a,b,c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁， b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁. (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好 能打开取出的锁的概率. 金 概率初步 第二十五章 能力提升睡综合拓展 7.如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机埋藏着20颗地 雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷.小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数 字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A). (1)若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？ (2)现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为 B),轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角 度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由 扫南回 游戏○帮助 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2024·济南)3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容 道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中 一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是() A司 B.6 c D. 3 9.(2023山西)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒 家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先 随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的 概率是 119 口数学 九年级上册（人教版） 25.2 用列举法求概率（第二课时） 例题点拨Q素养导向 【例】为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低 碳生活新时尚”宣传活动，决定从A,B,C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者 到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不 透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记 下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字 (1)从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 (2)按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求 出A,B两名志愿者同时被抽中的概率. 【点拨】(1)根据等可能事件的概率公式直接求出即可；(2)利用树状图列举出所有 等可能的结果，从中找出A,B两名志愿者同时被抽中的结果，再利用等可能事件的概率公 式求出即可. 夯实四基达标闯关 1.抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是() A司 B号 C. D.5 2.袋中有红、黄、蓝3个球，从中摸出一个，放回，再摸一次，摸到一黄一蓝的概率是 () A号 B.g c D.g 3.为了支援乡村教育工作，某学校需要从甲、乙、丙、丁4名教师中随机抽取2名进行 为期一周的支教工作，则甲被抽中的概率是() A B c D @ 概率初步 第二十五章 4.一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黑球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随 机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色 的球的概率为() A号 B. 20 c号 D.2 5.学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡 口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入 标号为1~6的6个卡槽.图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳， 第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号 卡槽的概率. 入口 0 0 123456 第5题图 6.如图所示的两张扑克牌，除正面图案外，其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间 (沿图中虚线)剪断，得到四张形状大小相同的卡片，将四张卡片洗匀后背面朝上 (1)从四张卡片中随机抽取一张，带有数字3的概率是 (2)从四张卡片中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，求抽到的这两张卡片 恰好能拼成一张完整扑克牌的概率. 第6题图 @ 口数学 九年级上册（人教版） 7.酚欧溶液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常 情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学实验课上，老师让学 生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是 盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈 碱性)· (1)小李将酚酞溶液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ (2)小李和小王从中各选1瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方 法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率 能力提升脚综合拓展 8.甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的4 个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充 分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x,y 表示.若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜. (1)用画树状图法列出(x,y)所有可能的结果 (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由 @ 概率初步 第二十五章 中考链接©真题演练 9.(2024·青岛)某学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者. 九年级（一）班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加. 规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝 上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随 机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于 4,则重复上述过程 (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平 10.(2023·鞍山)二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界 被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录， 小张和小王对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡 片，卡片正面分别写有“A.惊蛰”“B.夏至”“C.白露”“D.霜降”四个节气，两人商量 将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗： (1)小张从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是 (2)小张先从四张卡片中随机抽取一张，小王再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列 表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B.夏至”的概率 必