第三十三讲：列举法求概率（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十三讲：列举法求概率 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：列举法 列举法:即把事件可能出现的结果一一列出. 注意：直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. 知识点02：列表法 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. 知识点03：用画树状图法求概率 画树状图求概率的基本步骤： （1）明确一次试验的几个步骤和顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件 A 包含的结果数 m，试验的所有可能结果数 n； （4）用概率公式进行计算. 考点1：列举法求概率 【典型例题】 有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：A．祖冲之；B．李时珍；C．张衡；D．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，则抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 考点2：列表法求概率 【典型例题】 2025年是中国人民抗日战争胜利80周年．为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“八路军太行纪念馆”“平型关大捷纪念馆”“百团大战纪念馆”“晋绥边区革命纪念馆”四处红色基地中随机选取两处组织研学活动，则恰好选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 考点3：树状图求概率 【典型例题】 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 某班在实验课上对化学实验进行测试，甲、乙两人需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验中随机抽签选取1个实验进行测试，则甲、乙两人至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的概率为（   ） A． B． C． D． 考点4：可能性 【典型例题】 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【变式训练1】 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【变式训练2】 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 一、单选题 1．王强和李明准备在双休日到营根附近游玩，他们各自从湿地公园、三月三广场、百花桥三个景点随机选择两个，他们选择的景点相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是（   ） A． B． C． D． 3．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 4．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 5．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 6．如图，一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形．转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 7．一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（   ） A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢 8．小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 二、填空题 9．现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为 10．在一个不透明的布袋里装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出2个球，摸出小球均为黄球的概率为 ． 11．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是 ． 12．现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 13．一个不透明的袋子里装有1个黑球，2个红球，3个白球，这些球除了颜色之外其他都相同．从袋子中随机摸出2个小球，都是白球的概率为 ． 14．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 15．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ． 16．如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 三、解答题 17．春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 18．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 19．在第个“世界读书日”到来之际，某校举办了“中国梦我的梦”征文比赛，从同学们的投稿中分别评出一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，并将获奖结果绘制成如下两幅不完整的统计图： (1)这次征文比赛一共有　　　　名学生获奖，请把条形统计图补充完整； (2)在这次征文比赛获得一等奖的同学中，初一、初二年级各有一名学生，其余全是初三年级学生，现准备从获得一等奖的同学中随机邀请两名学生发表获奖感言．请你用列表或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好都来自初三年级的概率． 20．为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下面问题： (1)本次调查的学生人数为_____；并将条形统计图补充完整； (2)在一个学期中，全校共有1080名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数 (3)小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十三讲：列举法求概率 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：列举法 列举法:即把事件可能出现的结果一一列出. 注意：直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. 知识点02：列表法 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. 知识点03：用画树状图法求概率 画树状图求概率的基本步骤： （1）明确一次试验的几个步骤和顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件 A 包含的结果数 m，试验的所有可能结果数 n； （4）用概率公式进行计算. 考点1：列举法求概率 【典型例题】 有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：A．祖冲之；B．李时珍；C．张衡；D．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，则抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，需先确定所有可能的抽取结果及符合条件的结果数，即可解答． 【详解】解：四张邮票分别记为A、B、C、D．从中一次性抽取两张，所有可能的抽取结果为： (A，B)、(A，C)、(A，D)、(B，C)、(B，D)、(C，D)，共6种等可能的情况． 其中，抽到A和B的情况仅有1种． 因此，所求概率为． 故选B． 【变式训练1】 如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率计算，新定义运算，首先列出所有可能的无重复两位数，再根据“幸运数”的定义筛选符合条件的数，最后计算概率即可． 【详解】解：用3、6、9组成无重复数字的两位数共有6种可能：36、39、63、69、93、96， 判断每个数是否为“幸运数”（两数字之差的绝对值）： 36：，符合条件； 39：，不符合； 63：，符合条件； 69：，符合条件； 93：，不符合； 96：，符合条件； 符合条件的数有4个（36、63、69、96），故概率为． 故选：D． 【变式训练2】 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算． 【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为； 故选：D． 考点2：列表法求概率 【典型例题】 2025年是中国人民抗日战争胜利80周年．为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“八路军太行纪念馆”“平型关大捷纪念馆”“百团大战纪念馆”“晋绥边区革命纪念馆”四处红色基地中随机选取两处组织研学活动，则恰好选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求概率，把“八路军太行纪念馆”“平型关大捷纪念馆”“百团大战纪念馆”“晋绥边区革命纪念馆”四处红色基地分别记作， 列出表格，根据表格得出12种情况，再得出选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”有2种情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：把“八路军太行纪念馆”“平型关大捷纪念馆”“百团大战纪念馆”“晋绥边区革命纪念馆”四处红色基地分别记作， 列表如下： A B C D A B C D 根据表格可知：一共有12种情况，其中选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”有，2种情况， 则恰好选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”的概率是：， 故选：A 【变式训练1】 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 【变式训练2】 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出红球的有1种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出红球的有1种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：B． 考点3：树状图求概率 【典型例题】 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果， 所以点在第二象限的概率为， 故选：B． 【变式训练1】 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 【变式训练2】 某班在实验课上对化学实验进行测试，甲、乙两人需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验中随机抽签选取1个实验进行测试，则甲、乙两人至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的计算（树状图法），解题的关键是通过画树状图列出所有可能结果，再找出符合条件的结果数，进而计算概率． 用树状图列出甲、乙两人抽签的所有可能结果，数出至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的结果数，再根据概率公式计算． 【详解】解：将“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验分别记为A，B，C， 画树状图如下： 根据树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少1人抽到“粗盐的提纯”的结果有5种， ∴甲、乙两人中至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的概率为． 故选：C． 考点4：可能性 【典型例题】 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 【变式训练1】 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 【变式训练2】 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 一、单选题 1．王强和李明准备在双休日到营根附近游玩，他们各自从湿地公园、三月三广场、百花桥三个景点随机选择两个，他们选择的景点相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，从三个景点点选择两个，那么每人都有3种选择，则两人选择的景点一共有种等可能性的结果数，其中他们选择的景点相同的结果数有3种，据此利用概率计算公式求解即可． 【详解】解；王强的选择有：湿地公园，三月三广场；湿地公园，百花桥；三月三广场，百花桥；一共3种， 李明的选择有：湿地公园，三月三广场；湿地公园，百花桥；三月三广场，百花桥；一共3种， ∴两人选择的景点一共有种等可能性的结果数，其中他们选择的景点相同的结果数有3种， ∴他们选择的景点相同的概率是， 故选：C． 2．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是列举法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握概率公式． 抛掷两次硬币共有种等可能的结果，两次朝向相同的情况有种，由此可求得概率． 【详解】解：先后两次抛掷硬币，每次可能出现的结果为正面（记作“正”）或反面（记作“反”）， 所有等可能的结果为： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 共有种结果，且每种结果发生的概率相等， 其中两次朝向相同的情况有种：（正，正）和（反，反）， 因此，所求概率为． 故选：． 3．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解． 【详解】解：由题意得： 一次性摸出两个球的可能性有：（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）共3种可能，其中摸到两个球的颜色相同的只有1种可能，所以其概率为； 故选B． 4．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 5．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中两次都摸到黑球的结果数有1种， ∴两次都摸到黑球的概率是， 故选：A． 6．如图，一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形．转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表得到所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【详解】解：将其余3个扇形即为1、2、3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表格可知，共有16种等可能的情况，其中转动两次，转盘停止时指针均指向区域的情况有1种， 转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是， 故选：C 7．一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（   ） A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢 【答案】C 【分析】根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答，本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种， ∴“指向奇数”的概率是， “指向偶数”的概率是； ∴指向奇数甲赢，指向偶数乙赢的游戏公平，故A项不符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向的倍数”的有种，“指向4的倍数”的种， ∴“指向的倍数”的概率是，“指向4的倍数”的概率是； ∴指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢的游戏公平，故B项不符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向大于4的数”的有4种，“指向小于4的数”的有3种， ∴“指向大于4的数”的概率是，“指向小于4的数”的概率是， ∴指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢的游戏不公平，故C项符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向的倍数”的有种，“指向5的倍数”的1种， ∵指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分， ∴“甲得10分”的概率是，“乙得10分”的概率是； ∴指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢的游戏公平，故D项不符合题意； 8．小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 【答案】C 【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意， 故选：C． 二、填空题 9．现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．正确列表或画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点在第一象限的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中点在第一象限有4种结果． 所点在第一象限内的概率为． 故答案为：． 10．在一个不透明的布袋里装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出2个球，摸出小球均为黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸出小球均为黄球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B表示两个白球，用C、D、E表示3个黄球，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中从该布袋里任意摸出2个球，摸出小球均为黄球的结果数有6种， ∴从该布袋里任意摸出2个球，摸出小球均为黄球的概率为， 故答案为：． 11．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数有2种， ∴小明抽中洪崖洞和长江索道的概率为， 故答案为：． 12．现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 13．一个不透明的袋子里装有1个黑球，2个红球，3个白球，这些球除了颜色之外其他都相同．从袋子中随机摸出2个小球，都是白球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，以及概率公式，解题的关键在于根据题意列出表格． 依据题意先用列表法展示所有等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 第1个第2个 黑 红 红 白 白 白 黑 红，黑 红，黑 白，黑 白，黑 白，黑 红 黑，红 红，红 白，红 白，红 白，红 红 黑，红 红，红 白，红 白，红 白，红 白 黑，白 红，白 红，白 白，白 白，白 白 黑，白 红，白 红，白 白，白 白，白 白 黑，白 红，白 红，白 白，白 白，白 由表格可知，共有30种可能结果，其中从袋子中随机摸出2个小球，都是白球的概率为种， 从袋子中随机摸出2个小球，都是白球的概率为； 故答案为：． 14．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 15．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 16．如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 三、解答题 17．春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及她两次抽奖的和等于元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种， 摸到白球的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 共有种等可能的结果，其中她两次抽奖的和等于元的结果有：（红，黄），（黄，红），共种， 她两次抽奖的和等于元的概率为． 18．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 19．在第个“世界读书日”到来之际，某校举办了“中国梦我的梦”征文比赛，从同学们的投稿中分别评出一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，并将获奖结果绘制成如下两幅不完整的统计图： (1)这次征文比赛一共有　　　　名学生获奖，请把条形统计图补充完整； (2)在这次征文比赛获得一等奖的同学中，初一、初二年级各有一名学生，其余全是初三年级学生，现准备从获得一等奖的同学中随机邀请两名学生发表获奖感言．请你用列表或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好都来自初三年级的概率． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据三等奖的人数以及三等奖所占的百分比即可求出这次征文比赛一共有多少名学生获奖； （2）首先求出获得一等奖的学生人数，再用列表法或树形图法列举出所有可能的结果，利用求概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：这次征文比赛获奖学生一共有（名）； 获得一等奖的人数有人， 条形统计图补充如下： （2）解：由（1）知道获得一等奖的人数有人， 设初一为白，初二为黄，初三分别为红，红2， 画出树状图如下： 一共种情况，名学生都来自初三的概率是． 20．为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下面问题： (1)本次调查的学生人数为_____；并将条形统计图补充完整； (2)在一个学期中，全校共有1080名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数 (3)小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 【答案】(1)200；图见解析 (2)估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为108人； (3) 【分析】本题考查列表法或树状图法求解概率，条形统计图以及扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据A家庭电路总人数为30人，占，用30除以即可得总人数，再求出D和B的人数，即可补全统计图； （2）用总人数乘以喜欢“简单烹饪”的百分比即可得出喜欢“简单烹饪”的人数； （3）列表，共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人），即本次调查的学生人数为200人， ∴喜欢收纳整理的人数为（人）， ∴喜欢简单烹饪的人数为（人）， 补全统计图如下所示： ； （2）解：（人）， 答：估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为108人； （3）解：列表如下： 小明小红 A B D B D E 由表格可知，两名同学选课一共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种， ∴他们选择相同课程的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$