24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

圆第二十四章 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理@形成联系 【知识点1】点和圆的位置关系 ◎设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外曰 ,点P在 圆上与 ,点P在圆内曰 在平面内，⊙O的半径为5cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与⊙O的位置关 系是 【知识点2】三角形的外接圆与外心 ©不在同一条直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆 叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做这个三角形的 下列说法中，正确的是() A.三点确定一个圆 B.三角形的外心到三角形三边的距离相等 C.三角形有且只有一个外接圆 D.圆有且只有一个内接三角形 例题点拨Q素养导向 【例】如图24.2-1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm,AC=10cm,CD为中线， 以点C为圆心，以V5cm为半径作圆，则点A,B,D与⊙C的位置关系如何 【点拨】根据点和圆的位置关系进行判断，因此需要计算出各点与圆心C的距离，借助 d与r的关系判断即可. 图24.2-1 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基达标闯关 1.已知⊙0的半径为10,0P=6,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙0内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.不确定 2.已知⊙0的半径长为2，若OA=V5,则可以得到的正确图形可能是() ◆A 0 0 A B 0 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点 C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 第3题图 第4题图 4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G在小正方形 的顶点上，则△ABC的外心是() A.点D B.点E C.点F D.点G 5.若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(3,4)，则平面直角坐标系的原点0与⊙P的位 置关系是（) A.点O在⊙P内B.点0在⊙P上C.点O在⊙P外 D.无法确定 6.如图，在平面直角坐标系中，A,B,C是⊙M上的三个点，A(0,4),B(4,4), C(6,2) (1)在图上标出圆心M,圆心M的坐标为 (2)判断点D(6,-2)与⊙M的位置关系，并说明理由. 0 第6题图 圆 第二十四章 能力提升螂综合拓展 7.如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中 6 △ABC外接圆的圆心坐标是 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则它的外心与顶点 C的距离为 2 9.一个点到圆的最小距离为3cm,最大距离为6cm,该圆的 直径是 123456x 第7题图 10.如图，在△ABC中， (1)作△ABC的外接圆.（只需作出图形，并保留作图痕迹) (2)若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=5,BC=8,求它的外接圆半径 第10题图 中考链接©真题演练 -多 11.(2024·广州)如图，⊙0中，弦AB的长为4V3,点C在⊙0上，0C⊥AB, ∠ABC=30°.⊙0所在的平面内有一点P,若OP-5,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2024·苏州)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=°。 13.(2024山东)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，若OA∥CB,∠ACB=25°，则∠CAB= 95 数学 九年级上册（人教版） 24.2.21 直线和圆的位置关系（第一课时） 知识梳理©形成联系 【知识点】直线和圆的位置关系 ⊙设⊙0的半径为r,圆心到直线l的距离为d,则有：直线1与⊙0相交曰 直线1与⊙0相切曰 ；直线1与⊙0相离台 ⊙0的半径为2，圆心0到直线1的距离为4，则直线1和⊙0的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.不能确定 例题点拨Q素养导向 【例】已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm,以M为圆心，以r为半径的圆 与直线OA有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm (2)r=4cm. 0 —B M (3)r=2.5cm, 图24.2-2 【点拨】根据直线和圆的位置关系进行判断，因此需要计算圆心到直线OA的距离，根 据d与r的数量关系判断即可. 夯实四基U达标闯关 1.已知⊙0的半径等于8cm,圆心O到直线l的距离为9cm,则直线l与⊙0的公共点 的个数为() A.0 B.1 C.2 D.无法确定 2.直线1与半径为r的⊙O相交，且点O到直线1的距离为6，则r的取值范围是() A.r<6 B.r=6 C.>6 D.r≥6 3.已知点A(3,4),若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴的位置 关系为 96 圆第二十四章 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以C为圆心，r为半径作⊙C. (1)若⊙C与斜边AB相切，则r的值为 (2)若⊙C与斜边AB有两个公共点，求r的取值范围. (3)若⊙C与斜边AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是 能力提升坤综合拓展 5.已知平面内有⊙0和点A,B,若⊙0半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直 线AB与⊙O的位置关系为() A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 6.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦 AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,AD=m,∠D=60°，以AB为 第6题图 直径作⊙0. y (1)求圆心O到BC的距离 0 (2)求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）. (3)当m取何值时，CD与⊙O相切. (4)当m取何值时，CD与圆有两个交点. 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙0的半径为2，圆心0到直线1的距离为3，点 P为圆上的一个动点，则点P到直线的最大距离是() A.2 B.5 C.6 D.8 数学 九年级上册（人教版） 24.2.21 直线和圆的位置关系（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】切线的判定 ◎切线的判定定理：如图24.2-3，经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线 1.如图24.2-4，⊙0的半径5，点P在圆外，点A在圆上，且 C D 图24.2-3 PO=13,PA=12.判断PA与⊙0的位置关系，并给出证明. 图24.2-4 2.如图24.2-5，已知在△OAB中，OA=0B=13,AB=24,⊙0的半径长为r=5,判断直线 AB与⊙O的位置关系，并说明理由. 图24.2-5 【知识点2】切线的性质 ©切线的性质定理：圆的切线 于过切点的半径 如图24.2-6，AB是⊙0的切线，A为切点，连接OA,OB.若∠B=35°， 则∠AOB的度数为() A.65° B.55 C.45° D.35 图24.2-6 例题点拨Q素养导向 多多 【例】如图24.2-7，点0是△ABC的边AC上一点，以点0为圆心，OA为半径作⊙0， 与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F, ∠AOD=∠EOD.连接AF,求证：AF是⊙O的切线， 【点拨】要想证明切线，只需证明垂直即可，根据全等直接找到等于90的角，进而推出。 B 图24.2-7 98 圆 第二十四章 夯实四基L达标闯关 -。多多e 1.如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B,连接OA,若∠ABC=70°，则∠A等于 () A.10° B.15° C.20° D.30° 2.如图，B为⊙0外一点，BA与⊙0相切于点A,0B=10,∠B=30°，则0A的长为 B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AB,CD为⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B.若∠ABC=32°，则∠E的度数为 4.如图，A是⊙0上一点，且PA=12,PB=8,OB=5,则PA与⊙0的位置关系是 5.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连 接OA,OC.若∠A=30°，AB=2V3,BC=3,则 0 OC的长度是 6.如图，AB与⊙0相切于点B,连接AO 延长交⊙0于点C,连接BC.若∠C=25°，则∠A 第5题图 第6题图 的度数是 7.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC,BC,点F为CB上一点，且CF CA,延长BF于点E,使得CE⊥BE,延长EC,BA交于点D. (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)若DC=EC,DA=4,求半径的长. D 第7题图 99 数学 九年级上册（人教版） 能力提升螂综合拓展 8.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,∠ABC=20°，OC的延长线交PA于 点P,则∠P的度数是() A.20° B.40° C.50° D.60° 9.如图，在⊙O中，AB=CB,过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D,若 ∠ABC=46°，则∠D的度数是() A.74° B.67 C.66° D.60° 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点E,BD⊥DE于点D,交⊙O于点C.若 AB=5,BC=3,则CD= 11.如图，已知，Rt△ABC中，∠A=90°，以A为圆心，AB长为半径的圆交BC于点D, 交AC于点E,点F为EC上一点，连接FD,若FD=FC, (1)求证：DF为⊙A的切线 (2)若AB=5,AC=12,求CD的长 第11题图 中考链接©真题演练 12.(2024山西)如图，已知△ABC,以AB为直径的⊙0交BC于点 D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为() A.30° B.40° C.45° D.50° 第12题图 13.(2024·福建)如图，已知点A,B在⊙0上，∠AOB=72°，直线 MN与⊙O相切，切点为C,且C为AB的中点，则∠ACM等于() A.18© B.30° M N C.36° D.72° 第13题图 @ 圆 第二十四章 24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】切线长定理 ©经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的 叫做切线长， ©切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线 平分 如图24.2-8，PA,PB是⊙0的切线，A,B是切点.若∠P=50°， 则∠AOB= ;若PA=3,则PB= ;连接OP,则 ∠APO= B 【知识点2】三角形的内切圆与内心 图24.2-8 ©与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形的内 切圆的圆心是 的交点，叫做三角形的内心 如图24.2-9，已知点P是△ABC的内心，若∠BAP=50°，则 ∠BPC的度数为 图24.2-9 例题点拨Q素养导向 【例】已知BA,BC,CD分别与⊙O相切于A,M,D三点，AB=1,CD=3. (1)如图1，求BC的长， (2)如图2，当AB∥DC,∠DCB=60°时，连接OB,OC,求OB,OC的长 【点拨】根据切线长定理AB=MB=1,CD=CM=3,即可求BC.根据切线长定理求出∠BOC= 90°，进而根据勾股定理即可求解 0° 图1 图2 图24.2-10 0 数学 九年级上册（人教版） 夯实四基LU达标闯关 ·与B 1.如图，PA,PB分别是⊙0的切线，A,B分别为切点，点E是⊙O上一点，且 ∠AEB=60°，则∠P为() A.120° B.60° C.30° D.45° 2.如图，PA,PB切⊙O于点A,B,直线FG切⊙O于点E,交PA于点F,交PB于点 G,若PA=8cm,则△PFG的周长是 cm. 0 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，直线AB,CD,BC分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6cm, OC=8cm,则BE+CG的长等于 cm. 4.如图，圆外切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为 5.如图，PA,PB,CD是⊙O的切线，切点分别为点A,B,E,若△PCD的周长为 18cm,∠APB=60°，求⊙0的半径. 第5题图 能力提升综合拓展 多 6.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC,AB,AC于点D,E,F,△ABC 的周长为24cm,BC=10cm,则AE= cm. 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,则△ABC的内切圆半径r= 8.直角三角形的外接圆半径是3，内切圆 0 0 半径是1，则该直角三角形的周长为 D 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5, 第6题图 第7题图 102数学 九年级上册（人教版） BC,则∠DCB=∠DBC,∠ACB= 6.A7.60或120° ∠ECB-90°..∠EBC+∠E-90°， 8.(1)证明：AD=CD,AD=DC.四边形 ∠DCB+∠ECD=90°，∴.∠E= ABCD内接于⊙O,∴.∠BAD+∠BCD=18O°.∠ECD+ ∠ECD,∴.CD=DE. ∠BCD=180°，∴.∠BAD=∠ECD.在△ABD和△CED (2)解：在Rt△ACB中， 0 第10题答图 AD=DC, 由勾股定理，得BC=VAB2-AC=VI0-6=8.∠E= 中 ∠BAD=∠ECD,.△ABD≌△CED（SAS), ∠ABE,.△AEB为等腰三角形，AB=AE,BD=DE, AB-CE. .CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4.在Rt△BCE中，由勾 ..BD=ED. 股定理，得BE=VBC+CE=V8+4=4V5,.BD= (2)解：连接DO并延长交⊙0于点F,连接CF, BE-2V5. 则∠FCD=90°.D是AC的中点，∴.AD=CD, ∠ABD=∠CBD,AD=CD=5..·∠ABC=60°，.∠CBD= 11.B12.C13.A14.B 30°，.∠F=∠DBC=30°，DF=2CD=10,∴.⊙0的直径 24.1.4圆周角（第二课时） 长为10. 【知识点】圆内接多边形外接圆互补D 【例】(I)证明：∠BAC=∠ADB,∠BAC ∠CDB,.∠ADB=∠CDB,BD平分∠ADC. BD平分∠ABC,∴，∠ABD=∠CBD.四边形 ABCD是圆内接四边形，：∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180,.2(∠ABD+ 第8题答图 ∠ADB)=180P,.∠ABD+∠ADB90°，∴.∠BAD= 9.证明：连接BM,AB是⊙0的直径，.∠AMB= 180°-90°=90. ∠BMF=90.又AB⊥CD于点E,.BC=BD,∴.∠CMB= (2)解：：∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE= ∠BMD,∴.∠AMD=∠AMB-∠BMD=∠BMF-∠CMB= ∠ADE,∴.∠ADE+∠DAE=90°，.∴，∠AED=90°. ∠CMF,即∠AMD=∠FMC. .∠BAD=90°，BD是圆的直径，BD垂直平分 10.B11.C12.C AC,.AD=CD.AC=AD,△ACD是等边三角 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 形，∠ADC=60.BD⊥AC,∠BDC号∠ADC 24.2.1点和圆的位置关系 【知识点1】d>rd=rd<点P在圆内 30°..CF∥AD,.∠F+∠BAD=180°，，∠F=90°. 【知识点2】外接圆三条边的垂直平分线 ,四边形ABCD是圆内接四边形，∴.∠ADC+ 外心C ∠ABC=180°..：∠FBC+∠ABC=180°，∴.∠FBC= 【例】解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC= ∠ADC=60,.BC=2BF=4.:∠BCD=90°，∠BDC= 5 cm,AC=10 cm,.AB=VAC+BC =5 V5. 30°，BC=BD.BD是圆的直径，，圆的半径 长是4. 0为帅线，6D号A:c=0em 1.C2.70°3.69°4.54° V√5cm,点A在⊙C外.BC=5cm< 2 5.证明：BC=DE,.BC=DE,BC+CD=DE+ 廴V了em,.点B在oc内.CD=5Y5 CD,BD=CE,.∠BAD=∠CAE.四边形ABCD是 2 ⊙O的内接四边形，.∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠BCD+ ,点D在⊙C上 ∠CAE=180°. 1.A2.D3.C4.C5.B 68 参 考答案 6.解：(1)(2,0) (1)当r=2cm时，d>r,∴.⊙M与直线O4 (2)圆的半径AM=V22+4=2V5,线段MD= 相离 V(6-2)2+22=2V5,.点D在⊙M上. (2)当r=4cm时，d<r,∴.⊙M与直线OA 相交 (3)当r=2.5cm时，d=r,∴，⊙M与直线O4 B 相切。 1.A2.C3.相离 4.解：(1)2.4 ,'M (2)由(1)知，当⊙C 与斜边AB相切时，=2.4， 第6题答图 ⊙C与斜边AB有两个公共点， 7.(5,2) &多头9cm或3cm 的取值范围是2.4<≤3. 第4题答图 (3)⊙C与斜边AB有且只有一个公共点，x的 10.解：(1)如图，圆0即为所求」 取值范围是3≤4或=2.4.故答案为3<r≤4或r=2.4. (2)如图，连接OA,OB,OA与BC交于点D, 5.D6.8≤AB≤10 AB=AC.AD LBC.BD=CD=BC=4.AD= 7.解：(1)过点O作OH⊥BC于点H,四边形 VAB2-BD=V5-4=3,∴.0D=0A-AD=0A-3.在 ABCD是平行四边形，∠B=∠D=60°.AB=10,.OB= Rt△B0D中，根据勾股定理，得OB2-BD+OD2,:∴.OA= 5,∠B0H=30,:BH=0B=号.在Rt△0BH中， 44(01-3八，解得01-菪，放它的外接圆半径为 6 根据勾股定理，得OH=VB0-册_53，÷圆心0 2 到BC的距离为5V3 2 (2)分别过A,O两点作AE⊥CD,OF⊥CD,垂 足分别为点E、点F,AE∥OF,OF就是圆心O到 CD的距离.四边形ABCD是平行四边形，AB∥ CD,∴AE=OF·在Rt△ADE中，∠D=60°，∠DAE= 第10题答图 30,DE=AD=受，根据勾股定理，得AE= 11.C12.6213.40 VAD-DE=Y3m,0F=4E=Y3m,.圆心到 2 2 24.2.2直线和圆的位置关系（第一课时） 【知识点】dd=r d>r C CD的距离OF为m. 2 【例】解：作MC⊥OA于点C,如图所示， 则∠0CM=90°，∠AOB=30°，OM=5cm,.∴MC 10M=2.5cm,即圆心M到直线0A的距离d 2.5cm, C 第7题答图 B M (3)0F=V3m,AB为⊙0的直径，且AB=10, 2 例题答图 69 1数学 九年级上册（人教版） 当OF-5时，CD与⊙0相切于点F,即Y3m=5, 7.(1)证明：连接0C,如图所示.CF=CA, 2 ∠CBE=∠CBA.AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点， m=10Y3,当m=10Y3时，CD与⊙0相切. 3 3 .OA=OB=OC,∴.∠OCB=∠CBA,.LCBE=∠OCB, (4)若⊙0与线段CD有两个公共点，则该圆和 .OC∥BE.CE⊥BE,∴.CE1OC.又0C是⊙0的直 径，..DE是⊙O的切线 线段CD相交，则5≤m<10V3 3 8.B 24.2.2直线和圆的位置关系（第二课时） 【知识点1】垂直 1.解：PA与圆O相切，理由如下：连接 第7题答图 04,0A=5,P0=13,PA=12,.52+122=132即 0M2+PA2=P0,,△A0P为直角三角形，即 (2)解：设⊙0的半径为R,:.OA=0B=0C=R, ∠OAP=90°，∴AP⊥OA,则AP为圆O的切线 AB-2RDH4,D0=DA+0A=4+RDC号EC,设 EC=3a,则DC=5a,OC∥BE,.△D0C∽△DBE, 器瓷兴是解得6 8.C9.B10.1 知识点1-1答图 11.(1)证明：如图1，连接AD,∠BAC=90°， ∠B+∠C=90°.AB=AD,FD=FC,∴∠B=∠ADB, 2.解：直线AB与⊙0相切.理由如下：如 ∠C=∠CDF,.∠ADB+∠CDF=90°，∠ADF=180°-90 图，作0C⊥AB于点G,:0A=0B=13,∴AC= =90°，AD⊥DF又AD是⊙A的半径，DF为⊙A BG=号AB=12,0C=V0M-AC=5.⊙0的半 的切线. 径为5，.d=r,.直线AB与⊙0相切 图1 (2)解：如图2，连接AD,过点A作AM⊥BD于 知识点1-2答图 点M,在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5,AC=12, 【知识点2】垂直B BC=VABAC=13.AMLBD.AB-AC=BC 【例】证明：在△4OF和△E0F中， AM,AM-智，BM=VaB-AF=aB=AD, 0A=0E, ∠AOD=∠EOD,∴.△AOF≌△E0F(SAS), AM LRD.BD-2RM-9CD-RC-BD-19 13 OF=OF. .∠OAF=∠OEF,BC与⊙0相切，.OE⊥FC, ∴.∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF.OA是⊙O 的半径，.AF是⊙0的切线 1.C2.53.58°4.相切5.V136.40° 图2 第11题答图 70 参考答案 12.D13.A 形，AF=OF,BF=OF,∴AE=BF 24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时） 【知识点1】切点线段长两条切线的夹 角130°325° 【知识点2】三角形三条角平分线140 【例】解：(1)BA,BC,CD分别与⊙O 第9题答图 相切于A,M,D三点，AB=1,CD=3.AB=MB (2)解：四边形AFOE是正方形，AE=0F=2. 1,CD=CM=3,..BC=BM+CM=1+3=4. AF=BF=AE=BG=2,DE=3.DM,AD,BM是⊙0的 (2)如图，连接OM, 切线，.DW=DE=3,MN=MG,∴.CM=5-2-MW=3-MN. AB∥DC,.∠ABC+ 在Rt△DMC中，根据勾股定理DMP=CD+CMP,.(3+ ∠DCB=180°.∠DCB=60° ∴.∠ABC=120°..BA,BC w=(3-MM4,M-号，DW=3+g-号 33 D CD分别与⊙0相切于A, 例题答图 10.62或118 M,D三点，：.OM⊥BC,OB平分∠ABM,OC平 11.(1)证明：PA与⊙0相切于点A,.0A1 分∠BCD,∠AW0=90,∠0BM=号∠ABC PA.P0平分∠APD,OB⊥PD,.OA=OB,PB是 ⊙0的切线. 60°，∠0CM=号∠DCB=30,∠0BM+∠0CM= (2)解：⊙0的半径为4，.0A=0B=4.0B⊥ PD,OC=5,.根据勾股定理，得BC=VOC-OB=3, 90°，∴.∠BOC=90°，∴.∠BOM=∠BM0-∠OBM= AC=0A+0C=4+5=9,由(1)可知，PB是⊙0的切线， 30°..OB=2MB=2,∴.在Rt△OBC中，根据勾股 PA与⊙O相切于点A,PA=PB,.设PA=PB=x,则 定理0C=VBC-0B=2V3,∴.0B=2,0C=2V3. PC=x+3.在Rt△PAC中，∠A=90°，由勾股定理，得 1.B2.163.104.52 PA2+AC2=PC,即x2+92=(x+3)2,解得x=12.AP-12. 5.解：如图，连接OA,OP,则OA⊥PA,根据题 24.3正多边形和圆 意，可得CA=CE,DE=DB,PA=PB,PC+CE+DE+ 【知识点】圆心半径圆心角距离 360° Pm=I8,P+C1+DB+Pm=l18,PA=×I8=9(em） 1.B2.A PA,PB是O0的切线，LAP0=号LAPB=30.在 【例】解：(1)如图所 Rt△A0P中，P0=2A0,A0>0,故OA2492=(2A0)2,解 示，在CD取一点P,连接 得OA=3V3,故⊙0的半径为3V3cm BP,AP,FP,FO,:六边 A 形ABCDEF是正六边形， 4F=AB,∠A0F=360 例题答图 6 B 60°，.∠APF=∠A0F=30.AF=AB,AB= 2 第5题答图 6.27.28.14 AF,.∠APB=∠APF=30°，∴.∠BPF=∠APB+ 9.(1)证明：连接0E,OF,ON,OG,在矩形 ∠APF=60° ABCD中，∠A=∠B=90°，CD=AB=4.AD,AB,BC (2)①∠A0F=60°，A0=F0,.△M0F是 分别与⊙0相切于E,F,G三点，∴.∠AE0=∠AFO= 等边三角形，∴∠DAF=60°.②：∠DAF=60°， ∠OFB=∠BG0=90°，.四边形AFOE,FBG0均是正方 ∠ADF=∠APF=30°，∴.∠AFD=180°-∠DAF