24.1 圆的有关性质-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

圆第二十四章 第二十四章 圆 学习路径 圆的对称性 圆的有关性质 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧上的圆周角和圆心角的关系 点、直线和圆 点和圆的位置关系 三角形的外接圆 圆 的位置关系 直线和圆的位置关系 切线三角形的内切圆 正多边形和圆 等分圆周 弧长 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 扇形面积 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 知识梳理@形成联系 【知识点1】圆的概念 ©从圆的形成的角度：如图24.1-1，在平面内，线段OA绕它固定的一 个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O 叫做 线段OA叫做 .以点0为圆心的圆，记作 读作“圆0”. 图24.1-1 ©从集合的角度：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合 1.下列条件中，能确定一个圆的是() A.经过已知点M B.以点0为圆心，10cm长为半径 C.以10cm长为半径 D.以点O为圆心 数学 九年级上册（人教版） 2.如图24.1-2，到点0的距离等于3cm所有的点组成的图形是以点 为圆心， 为半径的圆。 0.3 【知识点2】圆的相关概念 ©连接圆上任意两点的 叫做弦，经过 的弦叫做直径 图24.1-2 ©圆上任意 间的部分叫做圆弧，简称弧 如图24.1-3，在⊙0中，请用符号表示下列图形：弦 直径 0 ,半圆 ，优弧 ，劣弧 图24.1-3 例题点拨Q素养导向 【例】如图24.1-4，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90°.求证：A,B, C,D四点在同一个圆上。 【点拨】根据圆的定义，要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到一个点的距 离相等.即先确定圆心O,再证明AO=OB=OC=OD,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，从而得证 图24.1-4 夯实四基U达标闯关 - 1.如图，⊙0的半径为4cm,∠AOB=60°，则弦AB的长为 cm. 2.如果圆的半径为3，则弦长x的取值范围是 第1题图 第3题图 第4题图 3.如图，在⊙0中，弦AC∥半径OB,∠B0C=40°，则∠AOC的度数为 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则⊙C的半径为 80 圆 第二十四章 5.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB,CD的延长线交于点E,已知AB= 2DE,∠E=18°，求∠AOC的度数. 第5题图 6.已知，如图，在⊙O中，C,D分别是半径OA,OB的中点，求证：AD=BC. 第6题图 能力提升睡综合拓展 卡多多多 7.如图，已知正方形ABCD在⊙O内部，顶点B,C在圆上，点A,D在直径上. (1)求证：OA=OD. (2)若⊙0的半径为4V5,求正方形ABCD的边长. 第7题图 的 数学 九年级上册（人教版） 24.1.2 垂直于弦的直径 知识梳理@形成联系 【知识点】垂径定理及推论 ◎垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 两条弧 ⊙几何语言：如图24.1-5， ·直径CD⊥AB,垂足为E, 图24.1-5 O推论： 如图24.1-6，在⊙0中，弦AB为8mm,圆心0到AB的距离为3mm, 0 则⊙0的半径等于( C A.3 mm B.4 mm C.5 mm D.8 mm 图24.1-6 例题点拨Q素养导向 【例】如图24.1-7，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦，CDLAB于点E,若AE=CD=8, 求⊙0的半径. 【点拨】要想求半径，只要连接半径构造出直角三角形，再根据勾股定理建立方程，即 可求出半径， E B 图24.1-7 夯实四基达标闯关 1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10,水面宽AB= 16,则截面圆心0到水面的距离0C是() 0 A.4 B.5 C.6V3 D.6 第1题图 的 圆 第二十四章 2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H.若BH=2,CD=8,则OH的长为（) A.2 B.3 C.4 D.5 H 0 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，有一圆弧形拱桥，拱形的半径OA=10m,拱桥的跨度AB=16m,则拱高CD为 4.如图，⊙O的弦AB=8,半径ON交AB于点M,M是AB的中点，且OM=3,则MN 的长为 5.如图，AB是⊙0的弦，半径ODLAB于点C.若AB=16,CD=2,求⊙0的半径的长. 第5题图 6.如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点.大圆、小圆的半径分别为13 和7，AB=24,求CD的长 0 C 第6题图 83 口数学 九年级上册（人教版） 能力提升睡综合拓展 7.如图，点M(0,-2),N(0,-8),半径为5的⊙A经过点M,N,则点A的坐标为 A.(-5,-4) B.(-4,-6) C.(-6,-4) D.(-4,-5) 2 B 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的 长为 9.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODLAC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O 于点E,过点E作EF⊥AB于点F若AC=2,则OF的长为 10.如图，在⊙0中，AB,AC为互相垂直且相等的两条弦，OD LAB,OE⊥AC,垂足 分别为D,E,AC=4V2,求⊙0的半径. 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2024通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高 点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为() A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m E 图1 图2 B 第11题图 第12题图 12.(2024·新疆)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E.若 CD=8,OD=5,则BE的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 84 圆第二十四章 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理@形成联系 【知识点】弧、弦、圆心角之间的关系 ◎顶点在 的角叫做圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧 所对的弦 1.如图24.1-8，AB是⊙0的直径，∠AOE=60°，C,D是BE上的三等分 点，则∠COE的度数是() 图24.1-8 A.40° B.60° C.80° D.120° 0 2.如图24.1-9，在⊙0中，AB=CD,AB=4,则线段CD= 图24.1-9 例题点拨Q素养导向 【例】已知：如图24.1-10，在⊙0中，弦AB和CD相交，连接AC,BD,且AC=BD.求 证：AB=CD. 【点拨】要想证明弦相等，只需根据弧、弦、圆心角的关系，证明两条弦所对的弧相等， 即可解决 图24.1-10 夯实四基U达标闯关 1.如图，A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论：①AB=CD;②BD=AC; ③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 第1题图 第2题图 2.如图，AB是⊙O的直径，如果∠C0A=∠DOB=60°，那么与AC相等的弧有 85 口数学 九年级上册（人教版） 3.半径为1的圆中，长度为1的弦所对的圆心角的度数是 4.如图，AC=CB,E,F分别是半径OA,OB的中点，求证：CE=CF 第4题图 能力提升睡综合拓展 5.如图，在⊙0中，如果AB=2AC,那么（) A.AB=AC B.AB=2AC C.AB>2AC D.AB<2AC 6.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE 交⊙0于点F,若AC=12,AE=3,则⊙0的直径长为() A.10 B.13 C.15 D.16 第5题图 第6题图 第7题图 7.如图，AB是⊙O的直径，C,D为半圆的三等分点，CELAB于点E,∠ACE的度数 为 8.如图，在⊙O中，AB,CD是直径，CE∥AB且交⊙O于点E,求证：BD=BE 第8题图 9.如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°，BC=2V3. (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)求⊙0的半径 第9题图 86 圆第二十四章 24.1.4圆周角（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】圆周角的概念 ©顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角，哪些不是？为什么？ 图1 图2 图3 图4 图5 图24.1-11 【知识点2】圆周角定理及其推论 ©圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ◎推论：同弧或等弧所对的圆周角 ©半圆（或直径）所对的圆周角是 的圆周角所对 的弦是直径 A 1.如图24.1-12，点A,B,C都在⊙0上，若∠C=34°，则∠A0B为 图24.1-12 A.34° B.56° C.60° D.68° 2.如图24.1-13，△ABC内接于⊙0，AC是⊙0的直径，D是⊙0上 D 一点，连接BD,CD,若∠ACD=41°，则∠DBC的度数是 图24.1-13 例题点拨Q素养导向 【例】如图24.1-14，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作 ⊙O,交BC边于点D,交CA的延长线于点E,连接AD,DE. (1)求证：BD=CD. (2)若AB=5,DE=4,求AD的长 【点拨】要想证明BD=CD,由于AB=AC,只要能证明AD⊥BD, 图24.1-14 进而根据等腰三角形的三线合一的性质证明即可；要想求AD的长，只需要知道CD的长， 根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠E,根据对边对等角得出∠B=∠C,则∠E= ∠C,进而得到DE=DC,即可根据勾股定理求解， 87 数学 九年级上册（人教版） 夯实四基U达标闯关 1.如图，点A,B,C都在⊙0上，若∠ABC=60°，则∠AOC的度数是() A.100° B.110° C.120° D.130° 2.如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为 () A.20° B.40° C.50° D.60° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AB是⊙O的直径，AB的长为8cm,点D在圆上，且∠ADC=30°，则弦AC的 长为 cm 4.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°，则∠FCD的度数为 5.如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，⊙0的半径为5，∠A=60°，求弦BC的长， 0 第5题图 能力提升坤综合拓展 -多多 6.如图，AB,CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧BC的中点，连接 BC,DE.若∠ABC=32°，则∠CDE的度数为() A.34° B.29° C.32° D.24° 第6题图 7.如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC=1,AB=3,点D在⊙0上 且平分BC,则DC的长为 8.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅 用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半 D 第7题图 88口数学 九年级上册（人教版） 线，0D=24B,0C=AB,0M=0B=3AB, .OA=OB=OC=OD.,A,B,C,D四点在同一个 圆上 1.42.0<x≤63.100°4.5 5.解：连接0D,AB=2DE=20D,.OD=DE.又 ∠E=18°，∴∠D0E=∠E=18°，.∠0DC=36°，同理 ∠C=∠0DC=36°，∴.∠A0C=∠E+∠0CE=54°. 第4题答图 6.证明：OA,0B是 5.解：(1)如图所示，△ABC1即为所求， 点 ⊙0的两条半径，A0=B0. A1,B1,C,的坐标分别为(-2，-5)，(-4，-2)， ·C,D分别是半径OA,B0 (-1,-1). 的中点，∴.OC=OD.在△OCB 第6题答图 (2)△ABC和△AB,C,各对应顶点的横坐标互为 AO=BO. 相反数，纵坐标互为相反数 和△ODA中， ∠0=∠0，.∴.△OCB≌△ODA(SAS), (3)△ABC,是由△ABC绕着原点0旋转180°得 0D=0C, 到的. .·AD=BC. 2 7.(1)证明：四边形ABCD是正方形， AB=DC=AD,∠BAO=∠CDO=90°.在Rt△AB0和 OB-OC. Rt△DCO中， .Rt△ABO≌Rt△DCO(HL), AB=DC. .0A=0D. (2)解：设正方形ABCD的边长为a,由(1)得， 0M=-0=74D=7a,:⊙0的半径为4V5,0C 第5题答图 4V5.在Rt△C0D中，由勾股定理，得0C=0D+ 6.(-1,-2)7.B DC,即a+7a-(4V5只，解得a-8或a=-8(舍 第二十四章圆 去)，正方形ABCD的边长为8. 24.1圆的有关性质 24.1.2垂直于弦的直径 24.1.1圆 【知识点】平分平分弦所对的AE=BE 【知识点1】一周圆心半径⊙0 AC=BCAC=BD平分弦（不是直径）的直径 1.B2.03cm 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C 【知识点2】线段圆心两点AB,BG 【例】解：连接OC,AB为 A BC BAC ABC,BCA AB,AC ⊙O的直径，弦GD⊥AB于点 【例】证明：取AB的 E,AE=CD=8,..CE=DE=1CD= 中点0，连接OG,OD, E 4.设0C=可，则0E=8-x.在 △ABC和△ABD都为直角 B Rt△OCE中，根据勾股定理， 例题答图 三角形，且∠C=∠D=90°， 得0E+CE=0C,即(8-r)2+42=r2,解得r=5. .:DOC0分别为Rt△ABD ⊙0的半径为5. 和Rt△ABC斜边上的中 例题答图 66 参考答案 1.D2.D3.4m4.2 8.证明：连接OE,CE∥ 5.解：如图，连接OA,⊙0 AB,.∠DOB=∠C,∠BOE=LE. 的弦AB=16,半径OD LAB,AC= .OC=OE,..∠C=∠E,..∠DOB= 24B=7×16=8设⊙0的半径为r, ∠BOE.·BD=BE 第8题答图 则OC=r-CD=T-2.在Rt△OAC中 9.（1)证明：AB=AC 第5题答图 0A2=0C+AC2,即72=(r-2)2+82,解得 AB=AC.∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形 =17.故⊙0的半径长为17. (2)解：过点0作OD⊥CB, 6.解：如图，过点0作0E1 垂足为D,BC=2V3,DB= AB,垂足为E,则AE=BE=AB= 2BC=V了，由(I)得△ABC是 12,CE=DE,连接OA,OC,在 D 等边三角形，.∠CAB=60°， 第9题答图 Rt△AOE中，OE=0A2-AE=132- 第6题答图 ∠c0B=120.0C=0B,∠0BD=7(180-120) 12=25.在Rt△C0E中，0E=0C-CE,25=7-CE, 30°.：在Rt△ODB中，OB=2OD,根据勾股定理，得 解得CE=2V6,.CD=2CE=4V6 0B=0D+DB,.(20D)2=0D+(V3)2,解得0D=1, 7.D8.23cm9.1 .0B=20D=2,∴.⊙0的半径为2 10.解：OD⊥AB,OE⊥AC 24.1.4圆周角（第一课时） AD-TAB.AE-TAC AB-AC. 【知识点1】圆周角 AD=AE.'∠AD0=∠A=∠AEO= 图3是，其他不满足定义 90°，.四边形AD0E是正方形， 【知识点2】一半相等直角90° 第10题答图 .0E=AE.连接OA,AC=4V2, 1.D2.49 AE=号AC=2V2,在Rt△A0E中，根据勾股定理 【例】(1)证明：AB是⊙0的直径， ∠ADB=90°，AD⊥BD.又.AB=AC,.BD=CD 0A=VAE40E=4,∴.⊙0的半径是4. (2)解：AB=5,DE=4,AB=AC-5,∴.∠B= 11.B12.B ∠C∠B=∠E,∴.∠E=∠C,.DE=DC=4.AB 24.1.3弧、弦、圆心角 是⊙0的直径，.∠ADB=90°，∴.∠ADC=90°， 【知识点】圆心相等相等1.C2.4 ·.根据勾股定理，得AD-VAC-CD=54=3. 【例】证明：AC=BD,.AC=BD,AB= 1.C2.C3.44.20° CD,.AB=CD 5.解：连接C0并延长交⊙0 1.D2.CD和DB3.60° 于点D,连接BD,则∠D=∠A= 0 4.证明：连接0C.在⊙0中， 60°，∠CBD=90°，∠BCD=90°-60° AC=CB,.∠AOC=∠B0C.OA= =30°.⊙0的半径为5，.CD=10. 第5题答图 OB,E,F分别是半径OA,OB的 在Rt△BDC中，BD=号CD=5, 中点，.0E=0E在△C0E和△C0F .根据勾股定理，得BC=VCD2-BD=V10-了=5V3, 0C=0C, 第4题答图 中， 故弦BC的长为5V3. ∠COE=∠COF,.∴.△COE≌ OE=OF 6.B7V万&号cm92 △COF(SAS),.∴.CE=CF. 10.(1)证明：·AB为直径，.∠ADB=∠ADE= 5.D6.C7.30° 90°.CD=BD,.∠EAD=∠DAB,.∠E=∠ABE,连接 67 数学 九年级上册（人教版） BC,则∠DCB=∠DBC,∠ACB= 6.A7.60或120° ∠ECB-90°..∠EBC+∠E-90°， 8.(1)证明：AD=CD,AD=DC.四边形 ∠DCB+∠ECD=90°，∴.∠E= ABCD内接于⊙O,∴.∠BAD+∠BCD=18O°.∠ECD+ ∠ECD,∴.CD=DE. ∠BCD=180°，∴.∠BAD=∠ECD.在△ABD和△CED (2)解：在Rt△ACB中， 0 第10题答图 AD=DC, 由勾股定理，得BC=VAB2-AC=VI0-6=8.∠E= 中 ∠BAD=∠ECD,.△ABD≌△CED（SAS), ∠ABE,.△AEB为等腰三角形，AB=AE,BD=DE, AB-CE. .CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4.在Rt△BCE中，由勾 ..BD=ED. 股定理，得BE=VBC+CE=V8+4=4V5,.BD= (2)解：连接DO并延长交⊙0于点F,连接CF, BE-2V5. 则∠FCD=90°.D是AC的中点，∴.AD=CD, ∠ABD=∠CBD,AD=CD=5..·∠ABC=60°，.∠CBD= 11.B12.C13.A14.B 30°，.∠F=∠DBC=30°，DF=2CD=10,∴.⊙0的直径 24.1.4圆周角（第二课时） 长为10. 【知识点】圆内接多边形外接圆互补D 【例】(I)证明：∠BAC=∠ADB,∠BAC ∠CDB,.∠ADB=∠CDB,BD平分∠ADC. BD平分∠ABC,∴，∠ABD=∠CBD.四边形 ABCD是圆内接四边形，：∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180,.2(∠ABD+ 第8题答图 ∠ADB)=180P,.∠ABD+∠ADB90°，∴.∠BAD= 9.证明：连接BM,AB是⊙0的直径，.∠AMB= 180°-90°=90. ∠BMF=90.又AB⊥CD于点E,.BC=BD,∴.∠CMB= (2)解：：∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE= ∠BMD,∴.∠AMD=∠AMB-∠BMD=∠BMF-∠CMB= ∠ADE,∴.∠ADE+∠DAE=90°，.∴，∠AED=90°. ∠CMF,即∠AMD=∠FMC. .∠BAD=90°，BD是圆的直径，BD垂直平分 10.B11.C12.C AC,.AD=CD.AC=AD,△ACD是等边三角 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 形，∠ADC=60.BD⊥AC,∠BDC号∠ADC 24.2.1点和圆的位置关系 【知识点1】d>rd=rd<点P在圆内 30°..CF∥AD,.∠F+∠BAD=180°，，∠F=90°. 【知识点2】外接圆三条边的垂直平分线 ,四边形ABCD是圆内接四边形，∴.∠ADC+ 外心C ∠ABC=180°..：∠FBC+∠ABC=180°，∴.∠FBC= 【例】解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC= ∠ADC=60,.BC=2BF=4.:∠BCD=90°，∠BDC= 5 cm,AC=10 cm,.AB=VAC+BC =5 V5. 30°，BC=BD.BD是圆的直径，，圆的半径 长是4. 0为帅线，6D号A:c=0em 1.C2.70°3.69°4.54° V√5cm,点A在⊙C外.BC=5cm< 2 5.证明：BC=DE,.BC=DE,BC+CD=DE+ 廴V了em,.点B在oc内.CD=5Y5 CD,BD=CE,.∠BAD=∠CAE.四边形ABCD是 2 ⊙O的内接四边形，.∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠BCD+ ,点D在⊙C上 ∠CAE=180°. 1.A2.D3.C4.C5.B 68