23.2 中心对称-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

旋 转 第二十三章 23.2 中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理@形成联系 +多多每 【知识点1】中心对称的定义 ◎把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与另一个图形 那么就说 这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心） ◎这两个图形在旋转后能 的对应点叫做关于对称中心的对称点 1.如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有() 22 52 图1 图2 图3 图4 图23.2-1 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 2.如图23.2-2，△ABC与△A'BC关于点0对称，点 是对称中心，点A的对称点是点 点B的对称点是点 点C的对称点是点 【知识点2】中心对称的性质 图23.2-2 ©中心对称的两个图形， 都经过对称中心，而且被 所平分 ◎中心对称的两个图形是 图形 1.如图23.2-3，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的 是() A.点A与点D是对称点 B.∠ACB=∠DEF C.BO=EO D.AB∥DE 图23.2-3 图23.2-4 2.如图23.2-4，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，则线段BC与DE的大小关系是 71 数学 九年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例】如图23.2-5，△ABC和△DEF关于点O对称. (1)找出它们的对称中心O: (2)若AB=6,AC=5,BC=4,求△DEF的周长， (3)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形状，并说明理由， 图23.2-5 【点拨】（1)根据“中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心”，连接 AD,CF,其交点就是对称中心O;(2)根据“中心对称的两个图形是全等图形”，可得到 △ABC≌△DEF,进而得出△DEF的周长；(3)根据“中心对称的两个图形，对称点所连 线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分”，可得到OA=OD,OC=OF,可证得四边形 ACDF是平行四边形. 夯实四基达标闯关 1.如图，△ABC与△A'BC'关于点O对 称，有以下结论： ①点A与点A'是对称点；②BO=B'O: ③AB∥A'B';④∠ACB=∠CA'B'.其中正确 第1题图 第2题图 结论的序号为 2.如图，△ABC与△ABC关于点O对称，点A为对称中心，若 ∠C=90°，∠B=30°，AC=3,则BB'的长为 H 3.如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是 网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是点 D 4.如图，△ABC的顶点在8x8的网格中的格点上，画出△ABC 第3题图 关于点A对称的△ABC. 第4题图 旋 转 第二十三章 5.如图，已知点O和△ABC,试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形. 第5题图 能力提升坤综合拓展 6.如图，△AGB与△CGD关于点G对称，若点E,F分别在GA,GC上，且AE=CF, 求证：BF=DE 第6题图 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称. (I)画图：连接AE并延长，交BC的延长线于点F,连接BE (2)填空：E是线段CD的 点，点A与点F关于点 中心对称. (3)若AB=AD+BC,则△ABF是 三角形，请对此结论进行证明」 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2023.宁夏)如图是由边长为1的小正方形组成的9×6网格，点A,B,C,D,E, F,G均在格点上，下列结论： B ①点D与点F关于点E中心对称； ②连接FB,FC,FE,则FC平分∠BFE; ③连接AG,则点B,F到线段AG的距离相等 其中正确结论的序号是 G 第8题图 数学 九年级上册（人教版） 23.2.2中心对称图形 知识梳理@形成联系 【知识点】中心对称图形的定义 ©把一个图形绕着某一个点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 1.下列交通标志是中心对称图形的是( A B D 2.如图23.2-6，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如 果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同 的去法有 种 图23.2-6 例题点拨Q素养导向 一多E 【例】如图，每个格为1个单位长度的网格中，边长为2个单位长度的正方形被分成4 个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个网格中分别重新拼接成一 个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形 图1 图2 图3 图4 图23.2-7 【点拨】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形就叫做中心对称图形，据此解答即可 夯实四基U达标闯关 1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对 称图形的是（) 74 旋 第二十三章 A B 2.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下 列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( 平名中 3.如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，点」 是 对称中心，则AD= —,DC=,A0= D0= 4.如图，已知直线AB和点P,求作平行四边形ABCD,使 第3题图 点P是它的对称中心 第4题图 能力提升晔综合拓展 5.请阅读下列材料，并完成相应的任务。 旋转对称图形 观察如图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕 素材1 0● 着点0旋转60°，旋转后的图形与旋转前的图形重合 第5题图 一般地， 如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360°）后，能够与原来的图形重合， 素材2 那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心 任务1 中心对称图形 (填“是”或“不是”)旋转对称图形 ①下列图形中不是旋转对称图形的有 ②既是旋转对称图形又是中心对称图形的 交 ；③旋转72°能够完全重合的图形有 任务2 D 75 数学 九年级上册（人教版） 6.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A,O,B的位置如图，它们的坐标 分别是(-1,1)，(0,0)和(1,0)· (1)在图1中添加一颗棋子C,使得以A,O,B,C四颗棋子为顶点的四边形为一个轴 对称图形，但不是中心对称图形. (2)在图2中添加一颗棋子P,使得以A,O,B,P四颗棋子为顶点的四边形为中心对 称图形，但不是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标 3210 B 2 3 210 图1 图2 第6题图 中考链接⊙©真题演练 。多与 7.(2024·辽宁)纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是 中心对称图形的是() 包回 D 8.(2024无锡)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为() A.等腰三角形 B.平行四边形 C.菱形 D.圆 76 旋 转 第二十三章 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 知识梳理①形成联系 -下E多多 【知识点】关于原点对称的点坐标的性质 ©两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ,即点P(x,y)关于原点的对称 点为P( 1.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是() A.(-5,1) B.(5,-1) C.(1,5) D.(-5,-1) 2.在平面直角坐标系中，已知点A(2,-1)和点B(-2,1),则A,B两点（) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=-x对称 例题点拨Q素养导向 【例】如图23.2-8，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4), B(4,2),C(3,5) (1)请画出△ABC,使△ABC1与△ABC关于原点对称，并写出点A1,B1,C1的坐标. (2)在(1)的条件下，连接AB,AB,求证：四边形ABAB是平行四边形 【点拨】(1)先求出△ABC各点关于原点的对称点，再描点，顺次连接即可；(2)利 用中心对称的性质可以得出边相等，再利用平行四边形的判定得出结论， 图23.2-8 夯实四基飞达标闯关 1.在平面直角坐标系中，点(-9，-1)关于原点对称的点的坐标是() A.(-9,1) B.(9,-1) C.(9,1) D.(-9,-1) 2.已知点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称，则a-b= 3.下列各点中：A(-5,0);B(0,2);C(2,-1);D(2,0);E(0,5);F(-2,1); G(-2,-1).关于原点对称的两点是 77 数学 九年级上册（人教版） 4.如图，已知点A(1,1),B(2,4),C(3,2)· (1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△AB,C,画出 △ABC,并写出点C的对应点C,的坐标为 (2)画出△ABC关于原点成中心对称的图形△AB,C2,并写 54321.345 出点A的对应点A2的坐标为 (3)在平面直角坐标系内找点D,使得A,B,C,D为顶 点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 第4题图 能力提升坤综合拓展 5.如图. (1)在平面直角坐标系中，分别描出点A,B,C关于原点对称点A1,B,C,写出点 A1,B1,C的坐标，并分别依次连接点A,B,C和点A1,B,C: (2)描述△ABC和△ABC各对应顶点坐标之间的关系. (3)△A,B,C1是由△ABC经怎样的变化得到的？ 345 第5题图 6.如图，已知矩形OACB的两边OA,OB分别在x轴、y A 轴上，且A(-1,0),B(0,2),先将矩形OACB沿x轴向右平 -4-3-2-10 1234元 移2个单位长度，得到矩形OACB1,然后作矩形OACB,关 -2 于坐标原点O的中心对称图形，得到矩形O2AC,B2,则点C2 -3A -4 的坐标是 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2024·成都)在平面直角坐标系x0y中，点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是 () A.(-1,-4) B.(-1,4) C.(1,4) D.(1,-4) 78数学 九年级上册（人教版） 1.D2.B3.C 4.解：(1)根据分析画图如下： 图1 第7题答图 线段AC即为所求. (2)根据分析画图如下： (2)图形如图所示，90°。 8.A9.A 23.2中心对称 23.2.1中心对称 【知识点1】180°重合重合 1.C2.0A'BC 图2 第4题答图 【知识点2】对称点所连线段对称中心全等 1.B 2.BC=DE △BDE即为所求. 【例】解：(1)如图1所示，点O即为 5.解：(1)如图，△A'BC即为所求.旋转后的 所求 坐标A'(0,-1),B(2,0),C'(3,-3). (2)△ABC和△DEF关于点O中心对称， (2)旋转后图形如图所示. ∴△ABC≌△DEF∴.DE=AB=6,DF=AC=5,EF BC=4.∴.△DEF的周长=DE+DF+EF-6+5+4=15. (3)四边形ACDF是平行四边形.证明： △ABC和△DEF关于点O中心对称，.OA=OD, A B 4320A OC=OF.四边形ACDF是平行四边形 第5题答图 图1 图2 6.解：(1)△ABC旋转后AB与BE重合， 例题答图 ∠ABC=30°，.∠ABE=180°-30°=150°..三角板旋转了 150.△EBD由△ABC旋转而成，.△ABC≌△EBD, 1.①②③2.123.1 BC=BD,△CBD是等腰三角形.故答案为150，等腰 4.如图，△AB1C,即为所求， 三角形」 (2)△ABC≌△EBD,∴.∠EBD=∠ABC=30°， .∠DBC=180°-30°=150°.△CBD是等腰三角形， ∠BDC=180°-∠DBC_180°-150°=159 2 2 7.解：(I)如图，旋转中心点P的坐标为(-1,0). 故答案为C 第4题答图 64 参考答案 5.如图，△A'BC即为所求. 5.是①AE②C③BD 6.解：(1)在图1中添加一颗棋子C,C的坐标 可以是(2,1)（答案不唯一）： (2)在图2中添加一颗棋子P,P的坐标可以是 (0,1)(答案不唯一). 第5题答图 6.证明：△AGB与△CGD关于点G中心对称 ..BG =DG,AG =CG..AE=CF,.AG -AE =CG -CF, 3210 3210 .EG=FG.又.∠DGE=∠BGF,.△DGE≌△BGF (SAS),∴BF=DE. 7.解：(1)如图所示. D 图1 图2 (2)中，E. 第6题答图 (3)AD∥BC,.∠D= 7.B8.A ∠ECF:点D与点C关于 23.23关于原点对称的点的坐标 点E中心对称，DE=CE 【知识点】相反-x-y1.D2.C 在△ADE与△FCE中， 第7题答图 【例】(1)解：如图所示，△ABC即为所 ∠D=∠ECF, 求.A1(-1,-4),B(-4,-2),C(-3,-5) DE-CE, ∴.△ADE≌△FCE(ASA)...AD=FC (2)证明：△ABC1与△ABC关于原点对 ∠AED=∠FEC, 称，∴OA=OA,OB1=OB,.四边形AB4B是平 .BF=BC+CF,..BF=BC+AD.AB=AD+BC,..AB=BF, 行四边形 ∴.△ABF是等腰三角形 8.①②③ 23.2.2中心对称图形 【知识点】180°重合对称中心 1.B2.2 【例】解：如图所示.（答案不唯一） 例题答图 1.C2.53.点C和点F 例题答图 4.解：(1)如图，△AB,C即为所求.点C,的坐 1.B 2.D 3.0 CB BA CO BO 标为(-2,3)· 4.如图所示」 (2)如图，△AB,C2即为所求.点A2的坐标为(-1， 0 -1)· (3)如图，D1,D2,D均满足题意，∴点D的坐 标为(4,5)或(2，-1)或(0,3). B 第4题答图 65 口数学 九年级上册（人教版） 线，0D=24B,0C=AB,0M=0B=3AB, .OA=OB=OC=OD.,A,B,C,D四点在同一个 圆上 1.42.0<x≤63.100°4.5 5.解：连接0D,AB=2DE=20D,.OD=DE.又 ∠E=18°，∴∠D0E=∠E=18°，.∠0DC=36°，同理 ∠C=∠0DC=36°，∴.∠A0C=∠E+∠0CE=54°. 第4题答图 6.证明：OA,0B是 5.解：(1)如图所示，△ABC1即为所求， 点 ⊙0的两条半径，A0=B0. A1,B1,C,的坐标分别为(-2，-5)，(-4，-2)， ·C,D分别是半径OA,B0 (-1,-1). 的中点，∴.OC=OD.在△OCB 第6题答图 (2)△ABC和△AB,C,各对应顶点的横坐标互为 AO=BO. 相反数，纵坐标互为相反数 和△ODA中， ∠0=∠0，.∴.△OCB≌△ODA(SAS), (3)△ABC,是由△ABC绕着原点0旋转180°得 0D=0C, 到的. .·AD=BC. 2 7.(1)证明：四边形ABCD是正方形， AB=DC=AD,∠BAO=∠CDO=90°.在Rt△AB0和 OB-OC. Rt△DCO中， .Rt△ABO≌Rt△DCO(HL), AB=DC. .0A=0D. (2)解：设正方形ABCD的边长为a,由(1)得， 0M=-0=74D=7a,:⊙0的半径为4V5,0C 第5题答图 4V5.在Rt△C0D中，由勾股定理，得0C=0D+ 6.(-1,-2)7.B DC,即a+7a-(4V5只，解得a-8或a=-8(舍 第二十四章圆 去)，正方形ABCD的边长为8. 24.1圆的有关性质 24.1.2垂直于弦的直径 24.1.1圆 【知识点】平分平分弦所对的AE=BE 【知识点1】一周圆心半径⊙0 AC=BCAC=BD平分弦（不是直径）的直径 1.B2.03cm 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C 【知识点2】线段圆心两点AB,BG 【例】解：连接OC,AB为 A BC BAC ABC,BCA AB,AC ⊙O的直径，弦GD⊥AB于点 【例】证明：取AB的 E,AE=CD=8,..CE=DE=1CD= 中点0，连接OG,OD, E 4.设0C=可，则0E=8-x.在 △ABC和△ABD都为直角 B Rt△OCE中，根据勾股定理， 例题答图 三角形，且∠C=∠D=90°， 得0E+CE=0C,即(8-r)2+42=r2,解得r=5. .:DOC0分别为Rt△ABD ⊙0的半径为5. 和Rt△ABC斜边上的中 例题答图 66