22.2 二次函数与一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

二次函数 第二十二章 22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】利用二次函数与一元二次方程之间的关系 ◎如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是xo,那么当x=和时，函 数值是0，因此x=xo是方程ax2+bx+c=0的一个根 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0)，(2,0)，则关于x的方程ax2+bx+c=0 的解为() A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2 【知识点2】抛物线与x轴的公共点个数与一元二次方程根的情况之间的关系 O二次函数y=ar2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点， 有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相 等的实数根，有两个不等的实数根 二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是() A.0 B.1 C.2 D.不能确定 例题点拨Q素养导向 ss多 【例】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+ c=0的一个根为x=5,则方程的另一个根为() A.x=-1 B.=0 12 C.x=1 D.x=2 【点拨】若想确定方程ax+bx+c=0的另一个根，可以利用抛物线的对 图22.2-1 称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标即可，因为抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线与 x轴的一个交点坐标为(5,0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，方程ax2+ bx+c=0的根为x=-1,x2=5,即方程的另一个根为-1. 夯实四基)达标闯关 1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1=-4,2=2,则二次函 数y=ax2+bx+c与x轴的交点是 2.对于二次函数y=x2-4x+5的图象，下列说法正确的是（) A.开口向下 B.对称轴是直线x=-2 数学 九年级上册（人教版） C.与x轴有两个交点 D.顶点坐标是(2,1) 3.若抛物线y=mx2+2x+1与x轴只有一个公共点，则m的值是 4.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2023的值为 5.已知二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(-1,0)，则它与x轴的另一个 交点的坐标是 6.二次函数y=x+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（)》 A.-2 B.2 C.4 D.6 能力提升肿综合拓展 7.已知抛物线y=ax+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： -4 -3 -2 -1 0 -3 m 1 0 -3 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线x=-2;③关于x的方程ax+bx+c=0 的根为-1和-3：④当y<0时，x的取值范围是-3<<-1.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.若抛物线y=kx2-3x+1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 9.已知a>0,b2-4ac>0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( B C D 10.已知二次函数y=2x2+bx-1(b为常数). (1)若抛物线经过点(1,2b),求b的值， (2)求证：无论b取何值，二次函数y=2x+bx-1的图象与x轴必有两个交点. 包 二次函数 第二十二章 中考链接©真题演练 11.(2023·青岛)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与直线 y=mx+n如图所示，方程ax2+(b-m)x+(c-n)=0的解为() A.x1=0,x2=3 B.x1=-3,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=0 第11题图 扇 口数学 九年级上册（人教版） 22. 二次函数与一元二次方程（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】利用二次函数的图象解一元二次方程 ©在理解了二次函数图象和一元二次方程关系的基础上对方程的解进行正确的估算 已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的y与x的部分对应值如下表： 1.23 1.24 1.25 1.26 y -0.06 -0.08 -0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c=0.05的一个解x的取值范围是() A.1<<1.23 B.1.23<x<1.24 C.1.24<x<1.25 D.1.25<x<1.26 【知识点2】利用二次函数的图象解不等式 ©利用二次函数的图象解不等式的步骤是先将二次函数化成顶点式，再利用二次函数图 象和性质准确且完整地写出自变量的取值范围 已知抛物线y=-x2-2x+8. (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标， (2)当y>0时，求自变量x的取值范围. (3)当-3<<0时，求函数值y的取值范围. 例题点拨Q素养导向 【例】如图，一次函数y=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P,Q两 点，则一元二次方程ax+(b-1)x+c=0的根的说法正确的是() A.有两个负根 B.有两个正根 0 C.有一正一负的两根 D.无实数根 图22.2-2 54 二次函数 第二十二章 夯实四基达标闯关 1.抛物线y=x+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1,则当 y<0,x的取值范围是() A.x<1 B.x>-1 C.-3<x<1 D.-4≤x≤1 2.根据下列表格，判断出方程8x2+9x-1=0的一个近似解（结果精确到 0.01)是() 第1题图 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 8x2+9x-1 3.5 2.08 0.82 -0.28 -1.22 A.-1.43 B.-1.33 C.-1.23 D.-1.13 3.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（如图）· (1)方程ax2+bx+c=0的根为 ax +bx+o (2)方程ax2+bx+c=-3的根为 (3)方程ax2+bx+c=-4的根为 (4)方程a2+bx+c=-5的根为 1(1,4 (5)不等式ax2+bx+c>0的解集为 第3题图 (6)不等式y<0的解集为 (7)不等式y≥-3的解集为 4.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a 0.b 0,c0,a-b+c 0,b2-4ac0. -1 B(n,0) 5.如图，二次函数图象的顶点坐标为(-1，-4)，与x轴的 /A(m,0)O 一个交点坐标为(1,0) (1)求该函数图象与x轴的另一个交点坐标. 第4题图 (2)求这个二次函数的表达式， (3)当-4<x<0时，求y的取值范围 -1i0/1 第5题图 55 口数学 九年级上册（人教版） 能力提升螂综合拓展 6.下表中列出的是二次函数y=ax+bx+c中x与y的几组对应值： x … -2 0 1 y … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是（) A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧 C.当>1时，y的值随x值的增大而增大 D.方程ax2+(b+2)x+c=-4的解为x=0,x2=1 7.根据下列要求，解答相关问题， (1)请补全以下求不等式-2x24x≥0的解集的过程. ①构造函数，画出图象 根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;抛物线的对称轴x=-1,开口向下，顶点 为(-1,2)，与x轴的交点是(0,0)，(-2,0)，用三点法画出二次函数y=-2x2-4x的图象 如图1所示 ②数形结合，求得界点 当y=0时，求得方程-2x2-4x=0的解为 ③借助图象，写出解集。 由图象可得不等式-2x2-4x≥0的解集为 (2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2-2x+1<4的解集 -3 5-43h241 -5-4320123 图1 图2 第7题图 © 二次函数 第二十二章 中考链接©真题演练 8.(2023.青岛)如表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值： 2 0 1 2 3 2 -1 -1 n 则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y>-1的解集是x<0或 2:③方程a+bc=0的两个实数根分别位于-0和2<之间：④当0时，函数 值y随x的增大而增大.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4参 考答案 22.2二次函数与一元二次方程 (1,0)代人解析式得，4a-4-0,解得a=1,.二次函 (第一课时) 数的表达式为y=(x+1)2-4. 【知识点1】A (3)抛物线开口向上，顶点坐标为(-1，-4)， 【知识点2】B 抛物线的最小值为-4.-1-(-4)=3>0-(-1)=1，.当 【例】A x=-4时，y=5,.当-4<x<0时，y的取值范围为 -4≤y<5. 1.(-4,0),(2,0)2.D3.14.2024 6.D 5.(-3,0) 6.D7,B8k<}且k≠09A 7.解：(1)②方程-2x24=0的解为x=0,2=-2. 10.(1)解：把点(1,2b)代人抛物线y=22+ ③不等式-22-4x≥0的解集为-2≤x≤0. bx-1中，得2+b-1=2b,解得b=1. (2)①构造函数，画出图象.构造函数y=x2-2x+1, (2)证明：·.△=b2-4×2×(-1)=b2+8.·.·无论b取何 抛物线的对称轴x=1,且开口向上，顶点坐标(1,0)， 值，b2≥0，b2+8>0,.二次函数y=2x2+bx-1的图象 关于对称轴x=1对称的一对点(0,1)，(2,1)，用 与x轴必有两个交点」 三点法画出图象如图所示： 1y=x2-2x+1 11.A 22.2二次函数与一元二次方程 (第二课时) 【知识点1】D 【知识点2】解：(1)y=-x2-2x+8=-(x2+ 2x)+8=-(x+1)+9,∴.抛物线的对称轴为直线x -1,顶点坐标为(-1,9)。 第7题答图 (2)在y=-2-2x+8中，令y=0,得-x2-2+ ②数形结合，求得界点.当y=4时，方程x2-2+1= 8=0,解得=-4,2=2，：a=-1<0,∴.抛物线开 4的解为x=-1,x2=3. 口向下，·.当y>0时，自变量x的取值范围是 ③借助图象，写出解集.由图知，不等式x2-2+1< 4<x<2 4的解集是-1<x<3. (3)y=-x2-2x+8=-(x2+2x)+8=-(x+1)2+9 8.B 抛物线开口向下，对称轴为直线=-1，.当x=-1 22.3实际问题与二次函数（第一课时) 时，抛物线有最大值，最大值为9，当=-3时， 【知识点1】D y=-(-3)2-2×(-3)+8=5,当x=0时，y=8,.当 【知识点2】解：(1)该网店每周销售该礼 -3<x<0时，函数值y的取值范围是5<≤9. 盒所获利润为0=(x-30)(-2x+180),,'.w=-2x2+ 【例】B 240x-5400 1.C2.C (2)由题意，0=-22+240x-5400=-2(x2 3.（1)x=-1,x2=3(2)x=0,x2=2 120x+3600)+1800=-2(x-60)2+1800,又30≤ (3)=x=1(4)方程无解(5)<-1或>3 x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x=60 (6)-1<x<3(7)x≤0或x≥2 :.当x=50时，该网店每周销售该礼盒所获利润 4.<<>>> 最大，最大利润为-2(50-60)+1800=白1600（元）. 5.解：(1)二次函数的对称轴为直线x=-1, 与x轴的一个交点坐标为(1,0)，.二次函数图象与 【例】解：(1)设y=kx,函数y=kx的图 x轴的另一交点为(-3,0). 象过(1,2)，k=2,故利润1关于投资量x的 (2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4,把 函数关系式是1=2(x≥0).该抛物线的顶点