21.2 解一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一元二次方程 第二十一章 21.2 解一元二次方程 21.2.1配方法（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】一元二次方程x2=p的解法 ©一般地，对于方程x2=p,根据平方根的意义， (1)当p 0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1=-Vp,x2=Vp; (2)当p=0时，方程x2=p有两个 的实数根 (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根 1.一元二次方程x2=2的解为 2.一元二次方程4x2-25=0的解为 【知识点2】一元二次方程(x+9)=p(p≥0)的解法 ©由方程(x+g)P=p得到x+q=±Vp,实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为 两个一元一次方程，这样就把方程(x+g)2=p(p≥0)转化为我们会解的方程了. 1.方程(x-3)2=16的根为（) A.x1=x2=7 B.x=7,x2=1 C.x1=x2=-1 D.x=7,x2=-1 2.方程3(x+1)2=9的根是 例题点拨Q素养导向 -EEE ED 【例】解方程：2(x-1)2-18=0. 【点拨】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，一般步骤是：一化，将原方程变 形为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式；二开，直接开平方，得x=±Vp,mx+ n=±Vp;三写，写出原方程的解， 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基U达标闯关 1.一元二次方程4x2=1的解是 2.将一元二次方程(x-6)2=25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x- 6=5,则另一个一元一次方程是() A.x-6=-5 B.x-6=5 C.x+6=-5 D.x+6=5 3.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为() 输入x (x-1)2 ×2 输出8 第3题图 A.x1=2,x2=-2 B.x1=3,x2=-3 C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=1 4.(2x-1)2=9. 解：(2x-1)2=9, 2x-1=3…第一步， 2x=4…第二步， x=2…第三步. (1)以上解方程的过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解方程过程. 5.解下列方程： (1)22-5=3 (2)2(x-1)2-18=0; (3)x2-4x+4=25. (4)(x+1)2=-25. 6 一元二次方程 第二十 一章 能力提升螂综合拓展 一卡多多 6.若x2-6x+m=(x-n)2,则m-n的值为 7.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如解方程x(+8)=4. 解：原方程可变形，得[(x+4)-4][(x+4)+4]=4, (x+4)2-42=4, (x+4)2=20, 直接开平方，得x=-4+2V5,2=-4-2V5. 我们称这种解法为“平均数法”· (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[(x+a)-b][(x+a)+b]=40, (x+a)2-b2=40, (x+a)2=40+b2, 直接开平方，得x=c,x2=d. 上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分别是 (2)请用“平均数法”解方程：(x-2)(x+6)=4. 中考链接©真题演练 8.(2020·徐州)方程x2-4=0的解是 9.(2019·吉林)若关于x的一元二次方程(x+3)=c有实数根，则c的值可以为 (写出一个即可)· 口数学 九年级上册（人教版） 21.2.1配方法（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】用配方法解方程 ©通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 1.填空：①x2-2x+ =(x- )2；②x2+6x+ =(x+ )2 2.用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后正确的是（) A.(x+2)2-3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17. 例题点拨Q素养导向 【例】用配方法解方程：3x2+6x+2=0. 【点拨】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+)2=p的形式，那么就有： (1)当p≥0时，可通过开方降次得到方程的两个实数根；(2)当<0时，根据乘方的意 义，原方程无实数根 夯实四基L心达标闯关 1.将下列各式配方： (1)x2-4x+ =(x- )2: (2)x2+12x+ =(x+ )2; 3)+ =(x- )2; (4)x2+2V2x+=(x+ 2.用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是() A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3 C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3 3.若一元二次方程x246x+7=0可以配成(x+p)2+q=0的形式，则p= ,9= 4.下列方程最适合用配方法求解的是(） A.2x2=8 B.x(x+2)=x+2 C.x2-2x=3 D.2x2+x-1=0 8 一元二次方程 第二十一章 5.用配方法解方程时，下列配方错误的是(） A.x2+6x-7=0化为(x+3)2=0 B540化为-3号 C.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 D.34-20化为-子-号 6.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程.规则：每人只能看到前一人 给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示.接力 中，自己负责的一步出现错误的是（) 原方程 分 乙 分 x2+4x+2=0 x2+4x=2 x2+4x+4=6 (x+2)2=6 →=V6-2 第6题图 A.只有甲 B.只有丁 C.乙和丁 D.甲和丁 7.用配方法解下列方程： (1)x2-4x+2=0: (2)x2+10x-9975=0: (3)2x2-4x-1=0; (4)y(y-4)=-1-2y; (5)(x-1)(x-3)=8; (6)x2=2V2x+4. 口数学 九年级上册（人教版） 能力提升螂综合拓展 8.当x= 时，x(x-8)的值与-16的值相等 9.下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2-12x-1=0的过程，请认真阅读并完成相应 的任务 解：原方程可化为(2x)2-6·2x-1=0…第一步 移项，得(2x)2-62x=1…第二步 配方，得(2x)2_62x+32=1…第三步 .(2x-3)2=1…第四步 两边开平方，得2x-3=±1…第五步 ·.2x-3=1或2x-3=-1.…第六步 ∴原方程的解为x1=2,x2=1…第七步 任务一：小明同学的解答过程是从第 步开始出错的，错误的原因是 任务二：请写出该方程的正确解答过程. 任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先 要把二次项系数化为1，再配方.”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？ 中考链接©真题演练 卡多多 10.(2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b的形 式，则d的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 11.(2023·赤峰)用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后正确的是（） A.(x+2)2=3 B.(x+2)2-17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 12.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是() A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 10 一元二次方程 第二十 一草 21.2.2公式法 知识梳理四形成联系 【知识点1】根的判别式 O一般地，式子b2-4ac叫做关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通 常用希腊字母“4”表示它，即△=b2-4aC. 当△>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当△=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根： 当△<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根 1.关于x的一元二次方程x2-3x-5=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 2.若关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0没有实数根，则a的取值范围是（) A.a<2 B.>2 C.a≤2 D.a≥2 【知识点2】用公式法解方程 ◎当△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 把各系数直接代入求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 1.用求根公式解方程2x2-3=x时，a,b,c的值是() A.a=2,b=1,c=-3 B.a=2,b=-1,c=-3 C.a=2,b=-1,c=3 D.a=2,b=1,c=3 2.用公式法解方程2x245x-1=0,所得解正确的是() A.x=-5±V33 B.x=-5±V33 2 C.x=5±V33 D.x=5±V33 4 4 2 例题点拨Q素养导向 【例1】用公式法解方程：3x2=x+2. 【点拨】求根公式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用求根公式之前应先将 方程化为“一般形式”，确定a,b,c的值时，要注意它们的符号. 数学 九年级上册（人教版） 【例2】若关于x的一元二次方程kx+(k+2)+左=0有两个不相等的实数根，求k的取值 范围 【点拨】1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为△=b2-4ac.当△>0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.2.一 元二次方程二次项系数不为0. 夯实四基达标闯关 1.一元二次方程2x2-2x=x+1根的判别式的值是（) A.0 B.1 C.17 D.-13 2.下列方程中，没有实数根的是() A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2-2x-3=0 D.x2-2x=0 3.一元二次方程x2+5x+1=0根的判别式的值是 4.方程x2-3x=1的解是 5.若关于x的一元二次方程x+5x+k=0有两个相等的实数根，则k= 6.给出下列方程：①x+6x-2=0;②3x2-4=0;③2y2-3y-1=0.你认为选用哪种方法解方程 较简便（填序号）？ 开平方法： 配方法： 公式法： 7.用公式法解下列方程. (1)x2-x-4=0: (2)2x2+3=7x; (3)(x-2)2=x-3; (4)4x2+2x-1=0: 包 一元二次方程 第二十一章 (5)2y2-6y+1-0: (6)x(2x-V6)=V6x-3. 能力提升综合拓展 8.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则三角 形的周长为() A.7或8 B.8 C.15 D.7 9.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2+m=0. (1)求证：对于任意实数m,该方程总有实数根. (2)若这个一元二次方程的一个根大于2，求m的取值范围. 中考链接⊙真题演练 10.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c 的值为() A.-16 B.-4 C.4 D.16 11.(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2-3x+h=0有实数根，则实数k的取值范围是 () A.<9 B. P C.k≥9 D.k<-9 12.(2024·济南)若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值 范围是() A.mK-号 B.m>4 C.m<-4 D.m>-4 13.(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是() A.x2-6x=0 B.x2-9=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 13 数学 九年级上册（人教版） 21.2.3 因式分解法 知识梳理①形成联系 【知识点】用因式分解法解方程 ©将一元二次方程因式分解，化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式 分别等于0，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法： 1.方程(x-1)(x-2)=0的根是 2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是() A.(x-2)(x+5)=2B.2x2-x=0 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 例题点拨Q、素养导向 一卡多多多修 【例】用因式分解法解方程：x(2x-5)=4x-10 【点拨】如果一个一元二次方程通过因式分解转化成A·B=0的形式，那么就有A=0或 B=0,从而实现降次 夯实四基达标闯关 1.方程x2=3x的解是（) A.X=3 B.x=0 C.x1=V3,x2=0D.x=3,x=0 2.已知一元二次方程的两根分别为x=3,x2=-4,则这个方程可能是（) A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.(x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 3.嘉嘉在解方程x(x-3)=x-3时，只得到一个解是x=1,则他漏掉的解是() A.x=3 B.X=-3 C.x=0 D.x=-1 4.方程(x+1)(x-2)=x+1的根是 5.一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程(x-2)(x-5)=0的根，则这个三 角形的周长为 6.用因式分解法解下列方程： (1）3x2=4x; (2）4x2-4x+1=0:参考答案 参考答案 第二十一章一元二次方程 把0，-1代入此方程成立，所以n的值为0或-1. 21.1一元二次方程 8.D9.110.2019 【知识点1】整式未知数（一元）2（二 21.2解一元二次方程 次)1.A2.k≠-2 21.2.1配方法（第一课时） 【知识点2】a2+bx+c=0(a≠0)ax2a 【知识点1】(1)>(2)相等x=x2=0 bxbc1.C2.x2+3x+2=0 1V,V万2号， 【知识点3】1.D2.3 【知识点2】1.D2.=V/3-1,2=-V3-1 【知识点4)1号(-1)-212.242-240 【例】解：方程变形为(x-1)2=9,两边开平 【例1】解：5x2-1=4x化成一元二次方程一般 方，得-1=±3，即x-1=3,-1=-3,.原方程的 形式：5x2-4x-1=0,它的二次项系数是5，一次解为=4，=-2 项系数是-4，常数项是-1.5x2-1=4x也可化成一 1.=3,行2A3C 元二次方程一般形式：-5x2+4x+1=0,它的二次项 4.(1)一求9的平方根出错 系数是-5，一次项系数是4，常数项是1： (2)(2x-1)2=9,2x-1=3,2x-1=-3,2x=4,2=-2, 【例2】解：m为方程x2+3x-2024=0的根， !=2,x=-1. ∴m2+3m-2024=0,∴m2+3m=2024,.原式=m3+ 5.(1)x1=4,x2=-4(2)x=4,x2=-2 3m2-m2-3m-2024m=m(m2+3m)-(m2+3m)）-2024m= (3)x=7,2=-3(4)x=9,x=-11 2024m-2024-2024m=-2024. 6.6 1.D2.30-53.-24.(12+x)(9+x)=12×9+72 7.解：(1)5,3,2，-12. 5.解：(1)将x=1代入原方程，得ax1+b×1+c= (2)原方程可变形，得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4, 0,即a+b+c=0. (+2)2-42-4,(6+2)2-4+42,x=-2±2V5,x=-2+2V5, (2)将x=-1代人原方程，得ax(-1)2+b×(-1)+c= -2-2V5. 0,即a-b+c=0. 8.x1=2,x2=-2 (3)将x=0代人原方程，得ax0+bx0+c=0,.c=0. 9.5(答案不唯一，只要c≥0即可) 6.解：(1)设这个三角形其中一条直角边长为 21.2.1配方法（第二课时） xcm,另一条直角边为(4)cm,由题意得(14 【知识点】1.11932.C x)=24,化简，可得x2-14+48=0. 【例】解：移项，得32+6x=-2.二次项系数 (2)设竿长为x尺，由题意，得(x-2)2+(x-4)2=x 化简可得x2-12x+20=0. 化为1，得2=号配方，得21-号 7.解：(1)②③ 1,1户-号开平方，得1写， (2)①：分+(m+1x+n-0是关于x的“完美方 程，m1了n,m=子n②n是此完美方 3 程”的-个根.4多1an=0,4n0, 11)42(2)366(3)6 53 数学 九年级上册（人教版） (4)2V2 (-4)=1+16=17>0,方程有两个不等的实数根，x= 2.D3.3-24.C5.A6.D -by-4c_1y币，=1+y7,=1-y7 2a 2 2 7.(1)x=2+V2,x2-V2 (2)方程化为22-7x+3=0,a=2,b=-7,c=3,△= (2)x1=95,x=-105 b2-4ac=(-7)2-4x2x3=25>0,方程有两个不等的实数 3)=l5,l5 2 限，即生华，43，分 2x2. (4)yy=1(5)x=-1,32=5 (3)方程化为x2-5x+7=0,a=1,b=-5,c=7,△= (6)=V2-V6,x=V2+V6 b2-4ac=25-28=-3<0,方程无实数根. 8.4 (4)a=4,b=2,c=-1,△=b2-4ac=22-4×4×(-1)=4+ 9.解：任务一：三方程的右边漏加了9 任务二：42-12x-1=0,4x2-12x=1,4x2-12x+9=1+ 16=200,方程有两个不等的实数根，即仁bV4© 2a 9,(2x-3)2=10,2x-3=±V10,2x-3=V10或2x-3= =-22V5,=-1+V5, 8 4 -1V5 4 -V0,=34y而，-3-V0 2 2 (5)=2,b=-6,c=,4b-4ac=36-4320,方 任务三：我不同意小刚同学的说法.得到的启示： 用配方法解一元二次方程时，只要能化成(mx+g)2=p 程有两个不等的实数根，即y=±V32=64V工， 的形式，方便后续开方降次转化为一元一次方程即可. 10.D11.C12.D 号+Vz,-Vz. 21.2.2公式法 (6)方程化为2x2-2V6x+3=0,a=2,b=-2V6, 【知识点1】1.B2.B c=3,△=b2-4ac=24-24=-0,方程有两个相等的实数根， 【知识点2】=-bV4@1B2,A 即x=2V6±V0,==V)6 4 2 2a 【例1】解：方程化为3x2-x-2-0.a=3,b= 8.D -1,c=-2.4=b2-4ac=(-1)2-4×3×(-2)=25>0.方程 9.(1)证明：关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+ 2+m=0,a=1,b=-(m+3),c=2+m,.∴△=b2-4ac=[-(m+ 有两个不等的实数根，即=b-4c: 2a 3)]P-4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，对于任意实数m,该方 程总有实数根 紧要，即.子 (2)解：设方程的两个实数根为x1,2,x= 【例2】解：关于x的一元二次方程2+ -b±V-4ae=m+3±(m+l,1=m+2,x=1.y这个 2a 2 么+2)+年0有两个不相等的实数根，4=b2 元二次方程的一个根大于2，.m+2>2,解得m>0, 4c0,,t+2.c=年，即(4246 .m的取值范围为m>0. 4 10.C11.B12.B13.D 2+4h+4-2-4k+4>0,解得k>-1.又一元二次 21.2.3因式分解法 方程二次项系数不为0，即k≠0，：k的取值范 【知识点】1.x=1,=22.B 围是k>-1且k≠0. 【例】解：因式分解，得x(2x-5)=2(2x-5).移 1C2A3214y,2=0 项，得x(2x-5)-2(2x-5)=0.因式分解，得(x 2 2)2x-5)0,.x-20或2x-50,解得x-2,=2 5 点草6.②①③ 1.D2.A3.A4.x=-1,2=35.15 7.(1)a=1,b=-1,c=-4,△=b2-4ac=(-1)2-4×1× 参考答案 6.解：(1)3x2-4x=0,x(3x-4)=0,x=0或(3x-4) (3)解：设关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+ 0,=0,号 m2-2=0有两个实数根为x1,,x1+w2=-(2m+1), xx2=m2-2.这两个实数根的平方和是21，.x+x=21= （2)2-10.2-10,rg7 (+2)2-2xw2,.[-(2m+1)]2-2(m2-2)=21,解得m1= (3)3x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(3x-1)=0,x-2=0 -4,m2=2.·4=b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-2)=4m+9≥0， 或3x-1=0,x1=2,2-3 1 m≥、9 ,m=-4不符合题意，则m=2. (4)x(3x+1)-(3x+1)=0,(3x+1)(x-1)=0,3x+ 11.A12.413.16 10或-10，号l 14.(1)证明：x2-(m+2)x+m-1=0,这里a=1,b= -(m+2),c=m-1,△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)= (5)(2x-1)2=(3-x),(2x-1)2-(3-x)2-0,(2-1+3- m2+4m+4-4m+4=m2+8..m2≥0..△>0...无论m取何 x)(2x-1-3+x)=0,2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0,x1=-2, 值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：设方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根 7.解：(1)x2+2=1,x242x+1=1+1,(x+1)2=2,x+ 为1，，则x+x=m+2,xt=m-1. +3-42=9,即(1+o)P-3x2=9,.(m+2)2-3(m- 1=±V2,x+1=V2,+1=-V2,x=-1+V2,= 1)=9.整理，得m2+m-2=0..(m+2)(m-1)=0.解得 -1-V2. m=-2,m2=1.∴m的值为-2或1. (2)x2-3x=0,x(x-3)=0,x=0或x-3=0,x1=0,=3. 213实际问题与一元二次方程（第一课时） (3)a=5,b=-6,c=1,4=b2-4ac=(-6)2-4×5×1= 【例】解：(1)x,x(1+x),1+x+(1+x)= 16>0,方程有两个不等的实数根，即x=吐V16。 2x5 64,解得1=7，=-9（不符合题意，舍去） 6±4 1 ,山，5 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)根据题意，得64+64×7=512（人）.答： (4)2x2-4x=-8.x-2,2x2+4x+2=0,x2+2x+1=0, 三轮传染后患病的共有512人. (x+1)2-0,x=x=-1. 1.A2.C3.D 8.B9.C10.C 4.x+1+x(x+1)=1695.106.1+x+x2-43 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 7.解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 【知识点1】p9-1-2 列方程，得1++x(1+x)=121,解得1=-12（不合题意， 【知识点2】-合台1号 -42.x=-1 舍去)，2=10.答：每轮感染中平均一台电脑会感染10 台电脑 【例】解：(1)：关于x的一元二次方程 8.解：设有x支球队参加比赛.由题意可得，x(x- x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，.△=b2 1)=110,解得x=11,x=-10(不合题意，舍去).答： 4ac=(-2)2-4×1×(m-2)>0,12-4m>0,解得m< 有11支球队参加比赛」 3,m的取值范围为m<3. 9.A (2):关于x的一元二次方程x2-2+m-2=0 10.解：(1)2+2x 有两个不相等的实数根1,2，.x1+2=2.又x= (2)设每轮传染中平均一人传染了x人，则第一轮 1,-1+=2,2=3,.另一个根x2的值为3. 会传染给2x人，第二轮会传染给x(2+2x)人，依题意 1.D2.B3.D4.C5.D6.C7.A 得，2+2x+x(2+2x)=288,解得x=11,x=-13(不合题意， 8.49.-2 舍去).答：在每轮传染中，平均一人传染了11个人. 0.(03-2-6(2)多-月 11.解：设这种植物的主根长出x个支根，根据题 55