21.1 一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一元二次方程 第二十一章 第二十一章 一元二次方程 学习路径 设未知数，列方程 实际问题 元二次方程 ax+bx+c=0 解 配方法 降 方 程 公式法 次 因式分解法 检验 方程aax2+bx+c=0(a≠0)的根 实际问题的答案 x=-b±VB-4ac (b2-4ac≥0) 2a 21.1 一元二次方程 知识梳理四形成联系 下年多标多 【知识点1】一元二次方程的概念 ©等号两边都是 ，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程 1.下列方程中是一元二次方程的是() A.x21=0 B.y2+x=1 C.2x+1=0 D.x+1=1 2.关于x的方程(k+2)x2-6x+9=0是一元二次方程，则k的取值范围是 【知识点2】一元二次方程的一般形式 ©一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成 的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次 项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项， 1.关于x的一元二次方程x=5x-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.1,-5,-1 B.-1,-5,-1 C.1,-5,1 D.1,5,1 1 数学 九年级上册（人教版） 2.将方程x(3+x)=-2化成一元二次方程的一般形式为 【知识点3】一元二次方程的解 ©使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方 程的解也叫做一元二次方程的根 1.关于x的方程x2+mx-3=0的一根是1，则m的值是() A.-3 B.3 C.-2 D.2 2.若m是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2m2-4m+1= 【知识点4】从实际问题中抽象一元二次方程 1.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛21 场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为 x+11 2.如图211所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 图21.1 的一般形式为 例题点拨Q素养导向 【例1】将一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常 数项！ 【点拨】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，特别要注 意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一 次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项. 【例2】已知m为方程x2+3x-2024=0的根，那么m3+2m2-2027m的值为多少？ 【点拨】本题考查了一元二次方程的解及整体代入思想；将m代入可得m+3m=2024, 观察所求代数式m3+2m2-2027m,通过添项及提公因式可得m(m2+3m)-(m2+3m)-2024m,将 m+3m=2024整体代入代数式即可求值 一元二次方程 第二十 一章 夯实四基达标闯关 1.下列方程是一元二次方程的是(） A.x+1=1 B.x2+3=(x-1)2 C.x2=yD.x2-1=0 2.方程3x2=5的二次项系数是 ,一次项系数是 常数项是 3.已知方程x2+mx+2=1的一个根是1，则m的值为 4.如图，矩形空地的长为12m,宽为9m,将此空地的长、宽各增 加相同的长度后，空地面积增加了72m,设空地的长、宽增加的长度为 xm,可列方程为 -12m 5.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). 第4题图 (1)如果方程有一个根是1，那么a,b,c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是-1，那么a,b,c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 6.根据下列问题列出方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式 (1)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为24cm2,求它的两条直 角边的长 (2)古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声 哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿长多少数， 谁人算出我佩服”其大意是：笨伯拿竹竿进屋（屋门为矩形门框），横拿竖拿都进不去，横 着比门宽4尺，竖着比门高2尺.他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好 进去.问：竹竿有多少尺？ 数学 九年级上册（人教版） 能力提升螂综合拓展 7.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,那么我们称这个 方程为“完美方程”. (1)下面方程是“完美方程”的是 (填序号) ①x2+3x-4=0: ②2x2-x-3=0: ③3x2+x-2=0. (2)已知-2+(m+l)x+n=0是关于x的“完美方程”， ①求m与n的关系； ②若n是此“完美方程”的一个根，则下列哪些数是n的值：-3，-2，-1,0,1,2,3. 中考链接©真题演练 一卡多多 8.(2021·黑龙江)关于x的一元二次方程(m-3)x2+mx=9x+5化为一般形式后不含一次 项，则m的值为() A.0 B.±3 C.3 D.-3 9.(2022·连云港)若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个根是x=1,则 m+n的值是 10.(2023.枣庄)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解，则2023-6a+2b的值为参考答案 参考答案 第二十一章一元二次方程 把0，-1代入此方程成立，所以n的值为0或-1. 21.1一元二次方程 8.D9.110.2019 【知识点1】整式未知数（一元）2（二 21.2解一元二次方程 次)1.A2.k≠-2 21.2.1配方法（第一课时） 【知识点2】a2+bx+c=0(a≠0)ax2a 【知识点1】(1)>(2)相等x=x2=0 bxbc1.C2.x2+3x+2=0 1V,V万2号， 【知识点3】1.D2.3 【知识点2】1.D2.=V/3-1,2=-V3-1 【知识点4)1号(-1)-212.242-240 【例】解：方程变形为(x-1)2=9,两边开平 【例1】解：5x2-1=4x化成一元二次方程一般 方，得-1=±3，即x-1=3,-1=-3,.原方程的 形式：5x2-4x-1=0,它的二次项系数是5，一次解为=4，=-2 项系数是-4，常数项是-1.5x2-1=4x也可化成一 1.=3,行2A3C 元二次方程一般形式：-5x2+4x+1=0,它的二次项 4.(1)一求9的平方根出错 系数是-5，一次项系数是4，常数项是1： (2)(2x-1)2=9,2x-1=3,2x-1=-3,2x=4,2=-2, 【例2】解：m为方程x2+3x-2024=0的根， !=2,x=-1. ∴m2+3m-2024=0,∴m2+3m=2024,.原式=m3+ 5.(1)x1=4,x2=-4(2)x=4,x2=-2 3m2-m2-3m-2024m=m(m2+3m)-(m2+3m)）-2024m= (3)x=7,2=-3(4)x=9,x=-11 2024m-2024-2024m=-2024. 6.6 1.D2.30-53.-24.(12+x)(9+x)=12×9+72 7.解：(1)5,3,2，-12. 5.解：(1)将x=1代入原方程，得ax1+b×1+c= (2)原方程可变形，得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4, 0,即a+b+c=0. (+2)2-42-4,(6+2)2-4+42,x=-2±2V5,x=-2+2V5, (2)将x=-1代人原方程，得ax(-1)2+b×(-1)+c= -2-2V5. 0,即a-b+c=0. 8.x1=2,x2=-2 (3)将x=0代人原方程，得ax0+bx0+c=0,.c=0. 9.5(答案不唯一，只要c≥0即可) 6.解：(1)设这个三角形其中一条直角边长为 21.2.1配方法（第二课时） xcm,另一条直角边为(4)cm,由题意得(14 【知识点】1.11932.C x)=24,化简，可得x2-14+48=0. 【例】解：移项，得32+6x=-2.二次项系数 (2)设竿长为x尺，由题意，得(x-2)2+(x-4)2=x 化简可得x2-12x+20=0. 化为1，得2=号配方，得21-号 7.解：(1)②③ 1,1户-号开平方，得1写， (2)①：分+(m+1x+n-0是关于x的“完美方 程，m1了n,m=子n②n是此完美方 3 程”的-个根.4多1an=0,4n0, 11)42(2)366(3)6 53