第01讲 一元二次方程（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第01讲 一元二次方程 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的定义及一般形式 ②一元二次方程的根 ③根据实际问题列出简单的一元二次方程 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及其相关系数，并能够熟练解决相关题目。 2. 掌握一元二次方程的根的定义并能够熟练应用。 3. 能够从实际问题中抽象出一元二次方程。 知识点01 一元二次方程的定义及其一般形式 1. 一元二次方程的定义： 只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。 【即学即练1】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确； B、是二元二次方程，故B错误； C、是一元一次方程，故C错误； D、是分式方程，故D错误； 故选：A． 【即学即练2】 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【分析】根据一元二次方程的定义可得m2+1＝2且m+1≠0，解得m的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2+1＝2且m+1≠0， 解得：m＝1， 故选：C． 【即学即练3】 3．方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6 【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【解答】解：方程2x2＝3（x﹣6）， 去括号，得2x2＝3x﹣18， 整理，得2x2﹣3x+18＝0， 所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18， 故选：B． 知识点02 一元二次方程的根 1．一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。 【即学即练1】 4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3 【分析】把x＝2代入x2+mx+2＝0得4+2m+2＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x＝2代入x2+mx+2＝0得4+2m+2＝0，解得m＝﹣3． 故选：D． 知识点03 根据实际问题列出一元二次方程 1．根据实际问题列出一元二次方程的简单步骤： ①正确理解题目的含义； ②找出题目中的数量关系和等量关系； ③列出一元二次方程。 【即学即练1】 5．两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323 C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323 【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案． 【解答】解：依题意得：较大的数为x+2， 则有：x（x+2）＝323． 故选：B． 题型01 判断一元二次方程及其根据定义求值 【典例1】下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2﹣＝2021 B．x（x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【解答】解：A．是分式方程，故本选项不合题意； B．是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意； C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D．未知数是最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：B． 【变式1】下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2+﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、是分式方程，故A错误； B、是二元二次方程，故B错误； C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 【典例2】若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意正实数 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答． 【解答】解：依题意得：m﹣1≠0， 解得m≠1． 故选：A． 【变式1】已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得 |k|﹣1＝2且k﹣3≠0． 解得k＝﹣3． 故选：C． 【变式2】若关于x的方程（m﹣2）+x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．m＝3 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2 【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）+x+1＝0是一元二次方程， ∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2， 解得：m＝﹣2， 故选：C． 【变式3】关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 题型02 画一元二次方程的标准形式及其系数的确定 【典例1】方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9 【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【解答】解：方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣6，﹣9． 故选：B． 【变式1】把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 【变式2】将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3 【分析】根据ax2+bx+c＝0（a≠0）的二次项系数和一次项系数分别是a，b，据此即可作答． 【解答】解：∵2x2＝3x﹣1， ∴2x2﹣3x+1＝0， ∴二次项系数和一次项系数分别为2，﹣3， 故选：D． 【变式3】将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（x+a）2＝b， 则x2+2ax+a2＝b， ∴x2+2ax+a2﹣b＝0， 由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5， 解得：a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 【变式4】若将一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0，则b﹣c的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可． 【解答】解：∵3x2﹣1＝﹣x ∴3x2+x﹣1＝0 ∵一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0， ∴b＝1，c＝﹣1 ∴b﹣c＝2 故选：A． 题型03 根据一元二次方程的解求未知系数 【典例1】若x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【分析】把x＝2代入方程求出m即可． 【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一个解， ∴4﹣10+m＝0， ∴m＝6． 故选：D． 【变式1】若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　） A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0 【分析】将x＝﹣1代人方程后即可得到正确的选项． 【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a﹣b+c＝0， 故选：B． 【变式2】若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到a+2b＝﹣1，再把3a+6b变形为3（a+2b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3． 故选：C． 【变式3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 　2025　． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a﹣b＝﹣1，再把2024﹣a+b变形为2024﹣（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1， ∴a×（﹣1）2+b×（﹣1）+1＝0，即a﹣b＝﹣1， ∴2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣（﹣1）＝2025， ∴2024﹣a+b的值是2025． 故答案为：2025． 【变式4】如果关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0有一个解是0，那么m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．0或﹣4 【分析】首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，取舍得出m的值即可． 【解答】解：把x＝0代入（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0中，得m2﹣16＝0， ∴m2＝16， ∴m＝±4； ∵（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0是一元二次方程， ∴m﹣4≠0， ∴m≠4． 综上，m的值是﹣4， 故选：B． 【变式5】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 题型04 列简单的一元二次方程 【典例1】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 【变式1】三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（　　） A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4 C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4 【分析】关键描述语为：每一个矩形的面积都是35，相应等量关系为：矩形的长×宽＝35，把相关变量代入即可求解． 【解答】解：由图中可以看出小矩形的长为x+2，宽为x， ∵小矩形的面积为35， ∴可列方程为x（x+2）＝35， 故选：A． 【变式2】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 【分析】设剪去的小正方形边长是x cm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设剪去的小正方形边长是x cm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm， 依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32． 故选：D． 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+＝1 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．把一元二次方程1＝2x﹣3x2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【解答】解：一元二次方程1＝2x﹣3x2的一般形式为3x2﹣2x+1＝0， 3x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣2，1， 故选：A． 3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【分析】先根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得关于k的方程，解方程即可． 【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得： 1+k﹣6＝0， k＝5， 故选：C． 4．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0， ∴a2﹣4＝0且a+2≠0， 解得：a＝2， 故选：A． 5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】把x＝1代入ax2+bx+1＝0，可得a+b＝﹣1，再代入2024﹣a﹣b，即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1， ∴a+b+1＝0， 即a+b＝﹣1， ∴2024﹣a﹣b ＝2024﹣（a+b） ＝2024﹣（﹣1） ＝2024+1 ＝2025． 故选：D． 6．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【分析】根据题意，把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中，进行计算可得2b﹣c＝﹣4，然后再把所求的式子变形为﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c），即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中， 22+2b﹣c＝0， ∴2b﹣c＝﹣4， ∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c） ＝﹣2×（﹣4） ＝8， 故选：A． 7．已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式的值应（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】根据一元二次方程解的意义可得3m2﹣m﹣1＝0，从而可得3m2﹣m＝1，然后把3m2﹣m＝1代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：3m2﹣m﹣1＝0， ∴3m2﹣m＝1， ∴ ＝2（3m2﹣m）+ ＝2×1+ ＝2+， ∵1＜3＜4， ∴1＜＜2， ∴3＜2+＜4， ∴代数式的值应在3和4之间， 故选：C． 8．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则＝（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据方程的解的定义得出a2﹣2024a+1＝0，然后变形为a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，，代入要求的式子计算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2024a+1＝0， ∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0， ∴， 即， ∴ ＝2024a﹣1﹣2023a+ ＝a﹣1+ ＝2024﹣1 ＝2023， 故选：B． 9．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再结合m2﹣3m＝2代入计算即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵m2﹣3m＝2， ∴， 故选：B． 10．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 【分析】设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程． 【解答】解：设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm， 根据题意得（50+2x）（80+2x）＝5400． 故选：C． 11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且|m|＝2，再求出m即可． 【解答】解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0且|m|＝2， 解得：m＝2． 故答案为：2． 12．已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　﹣6　． 【分析】先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0， 去括号，得x2+3x﹣2x﹣6＝0， 合并，得x2+x﹣6＝0， 所以常数项是﹣6． 故答案为：﹣6． 13．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m的值为 　﹣3　． 【分析】根据题意可得：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0中得：m2﹣9＝0，从而可得：m＝±3，然后根据一元二次方程的定义可得m﹣3≠0，从而进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0中得：m2﹣9＝0， 解得：m＝±3， ∵m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 14．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 　2030　． 【分析】根据方程的解满足方程代入得到含m的代数式的值，然后整体代入所求式子即可得到答案． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， ∴3m2﹣6m+2024 ＝3（m2﹣2m）+2024 ＝3×2+2024 ＝6+2024 ＝2030， 故答案为：2030． 15．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 　x2﹣38x+37＝0　． 【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵道路的宽为x米， ∴铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积． ∵草坪的面积为243平方米， ∴（28﹣x）（10﹣x）＝243． 化为一般式为：x2﹣38x+37＝0． 故答案为：x2﹣38x+37＝0． 16．已知关于x的方程，试问： （1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ （2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出m2﹣1＝1或m+1＝0或m2﹣1＝0，再求出m即可； （2）根据一元二次方程的定义得出m2﹣1＝2且m+1≠0，再求出m即可． 【解答】解：（1）要使关于x的方程是一元一次方程，分3种情况： ①m2﹣1＝1，解得：，该方程是一元一次方程； ②m+1＝0，解得：m＝﹣1，该方程是一元一次方程； ③m2﹣1＝0，解得：m＝±1，该方程是一元一次方程； 所以当或m＝±1时，该方程是关于x的一元一次方程； （2）要使关于x的方程是一元二次方程，必须m2﹣1＝2且m+1≠0， 解得：，都满足m+1≠0， 所以时，该方程是关于x的一元二次方程． 17．已知x＝1，x＝﹣3都是方程ax2+bx﹣3＝0的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝1，x＝﹣3分别代入方程ax2+bx﹣3＝0得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再把a，b代入原方程即可． 【解答】解：把x＝1，x＝﹣3分别代入方程ax2+bx﹣3＝0得： ，方程组化简得：， ①+②得：a＝1， 把a＝1代入①得：b＝2， ∴，这个一元二次方程的一般形式为：x2+2x﹣3＝0． 18．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求的值． 【分析】把x＝1代入方程，得到a+b＝20；然后将其代入所求的代数式求值即可． 【解答】解：把x＝1代入方程，得：a+b＝20，又a≠b 所以，＝＝＝＝10． 19．求下列各式中的x的值： （1）5x2﹣10＝0； （2）3（x﹣4）2＝375． 【分析】（1）首先移项，再把方程两边都除以5，最后开方即可． （2）首先两边都除以3，再直接开平方，解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）5x2−10＝0， 5x2＝10， x2＝2， ∴； （2）3（x−4）2＝375， （x−4）2＝125， x﹣4＝±5， ∴x1＝4+5，x2＝4﹣5． 20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的定义及一般形式 ②一元二次方程的根 ③根据实际问题列出简单的一元二次方程 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及其相关系数，并能够熟练解决相关题目。 2. 掌握一元二次方程的根的定义并能够熟练应用。 3. 能够从实际问题中抽象出一元二次方程。 知识点01 一元二次方程的定义及其一般形式 1. 一元二次方程的定义： 只含有 个未知数且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。 【即学即练1】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D． 【即学即练2】 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【即学即练3】 3．方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6 知识点02 一元二次方程的根 1．一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。 【即学即练1】 4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3 知识点03 根据实际问题列出一元二次方程 1．根据实际问题列出一元二次方程的简单步骤： ①正确理解题目的含义； ②找出题目中的数量关系和等量关系； ③列出一元二次方程。 【即学即练1】 5．两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323 C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323 题型01 判断一元二次方程及其根据定义求值 【典例1】下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2﹣＝2021 B．x（x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2 【变式1】下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2+﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【典例2】若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意正实数 【变式1】已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定 【变式2】若关于x的方程（m﹣2）+x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．m＝3 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2 【变式3】关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 题型02 画一元二次方程的标准形式及其系数的确定 【典例1】方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9 【变式1】把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【变式2】将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3 【变式3】将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【变式4】若将一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0，则b﹣c的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1 题型03 根据一元二次方程的解求未知系数 【典例1】若x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1】若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　） A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0 【变式2】若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6 【变式3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 　 　． 【变式4】如果关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0有一个解是0，那么m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．0或﹣4 【变式5】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型04 列简单的一元二次方程 【典例1】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【变式1】三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（　　） A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4 C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4 【变式2】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+＝1 2．把一元二次方程1＝2x﹣3x2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 4．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025 6．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 7．已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式的值应（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则＝（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 10．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　． 12．已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　 　． 13．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m的值为 　 　． 14．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 　 　． 15．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 　 　． 16．已知关于x的方程，试问： （1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ （2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 17．已知x＝1，x＝﹣3都是方程ax2+bx﹣3＝0的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 18．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求的值． 19．求下列各式中的x的值： （1）5x2﹣10＝0； （2）3（x﹣4）2＝375． 20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$