空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算、空间向量法解决位置关系、角度问题、距离问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2

空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算、空间向量法解决位置关系、角度问题、距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算、空间向量法解决位置关系、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量的坐标运算 空间向量法解决位置关系问题 空间向量法解决角度问题 空间向量法解决距离问题 考点一 空间向量的坐标运算 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 4．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知向量与共线，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，以点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（　　）    A．点的坐标为 B． C．可能为 D． 7．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 8．（24-25高二下·江苏泰州·期末·多选）已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（   ） A．四点共面 B．直线与直线是异面直线 C．点坐标为 D．点坐标为 9．（24-25高二下·福建宁德·期末）在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则 . 10．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）向量，，则在上的投影向量的坐标为 12．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 14．（25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 考点二 空间向量法解决位置关系问题 1．（24-25高二上·青海西宁·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 5．（24-25高二下·甘肃天水·期中·多选）如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 6．（24-25高二上·广东汕头·期末·多选）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试·多选）边长为1的正方体中，向量，则（    ） A．若，则存在点，有 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则三棱锥的体积为定值 8．（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 9．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 10．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为 . 11．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 12．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，在四棱锥中，平面， 分别为和的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)设点在上，且．判断四点是否共面，说明理由． 13．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，. (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 14．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点均在以为球心，2为半径的球面上． （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 考点三 空间向量法解决角度问题 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北·开学考试）若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B．平面EFM平面 C．直线ME与所成的角为 D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段练习·多选）如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 9．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    10．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 11．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，直三棱柱. (1)求证：； (2)若为中点，求二面角的余弦值. 12．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 13．（25-26高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，． (1)证明：； (2)若平面平面，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 14．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 15．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 16．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 考点四 空间向量法解决距离问题 1．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．5 D．10 5．（24-25高二上·辽宁·期中）平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为 ． 6．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 7．（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 . 8．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 9．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点. (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 10．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 11．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算、空间向量法解决位置关系、角度问题、距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算、空间向量法解决位置关系、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量的坐标运算 空间向量法解决位置关系问题 空间向量法解决角度问题 空间向量法解决距离问题 考点一 空间向量的坐标运算 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 4．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知向量与共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 又因为，所以， 解得，所以 ∴. 故选：A. 6．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，以点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（　　）    A．点的坐标为 B． C．可能为 D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，    因为，，，所以， 则，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，所以，令， 所以平面法向量可能为， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 综上可知，只有C正确. 故选：C 7．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 【答案】AC 【详解】，， ，故，故A正确； ， ， 所求单位向量为：或，故B错误； ，， ，， ，故C正确； 由，可得， 所以点A到的距离为，故D错. 故选：AC. 8．（24-25高二下·江苏泰州·期末·多选）已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（   ） A．四点共面 B．直线与直线是异面直线 C．点坐标为 D．点坐标为 【答案】BCD 【详解】选项A，， ，， 设平面的法向量，则， 解得，，为不为的实数， 不妨取，因为， 所以四点不共面，选项A错误； 选项B，直线的方向向量， 直线的方向向量， 假设直线与直线共面，则存在实数，使得， 即，此方程无解， 所以直线与直线是异面直线，选项B正确； 选项C，因为在直线上，设，，， 则点坐标为，又有， 则， 因为在直线上，设，，， 则点坐标为，则， 因为和共线，则，解得， 此时点坐标为，选项C正确； 选项D，，解得，， 此时点坐标为，选项D正确； 故选：BCD. 9．（24-25高二下·福建宁德·期末）在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则 . 【答案】5 【详解】因为点是点关于平面的对称点，所以点的坐标为， 所以. 故答案为：5. 10．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 12．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【答案】## 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1) (2)四点不共面，理由见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 14．（25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由，得． （2）由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 考点二 空间向量法解决位置关系问题 1．（24-25高二上·青海西宁·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，，，则或，故C错误； 对于D，由，得，，，则，故D正确。 故选：D． 4．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 【答案】C 【详解】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 5．（24-25高二下·甘肃天水·期中·多选）如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，易知， 结合C选项可得点到平面的距离为，故D错误. 故选：AC． 6．（24-25高二上·广东汕头·期末·多选）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】CD 【详解】对于A，易知 ， 故与不垂直，故A错误；     对于B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 显然仅当和为所在棱中点时与才平行，故B错误； 对于C，连接，，，、，， 由平面，平面，得， 由为正方形，易知， 因为，平面，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于D， ，平面，平面，平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 三棱锥的体积为定值，故D正确． 故选：CD． 7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试·多选）边长为1的正方体中，向量，则（    ） A．若，则存在点，有 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则三棱锥的体积为定值 【答案】BC 【详解】 如图所示： 已知， 当时，即， 解得，由，所以不满足条件，不存在点使得，所以A错误； 当时，，， ，所以，所以B正确； 由题意知， 所以， 由不等式可知， 因为，所以，所以； 由均值不等式可知， 所以，所以C正确； 当时，点与三点共面，即面， 由正方体的性质可知， 所以面面，可得三棱锥的体积为定值； 即，正方体棱长为1，则，所以D错误； 故选：BC. 8．（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，则，解得. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 10．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为 . 【答案】1 【详解】解： ， ， 存在实数使得 ，解得 故答案为： 11．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 12．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，在四棱锥中，平面， 分别为和的中点．    (1)求二面角的余弦值； (2)设点在上，且．判断四点是否共面，说明理由． 【答案】(1)； (2)共面，理由见解析. 【详解】（1）由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，又分别为和的中点，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 易知平面的一个法向量为， 二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （2）由（1），，则， 可得，则， 因为平面的一个法向量为，而， 又点在平面内，故在平面内，即四点共面. 13．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 14．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若点均在以为球心，2为半径的球面上． （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii） 【详解】（1）取中点，连接， 分别为中点， ，又 ， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）（i）均在以为球心，2为半径的球面上， 为球的直径，， ， ， 平面，平面， ，，即两两垂直， 以为坐标原点，分别以方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，    设，则， ， 由可得，解得或（舍去）， ，， ，即. （ii）设直线与平面所成角为， 由，平面的一个法向量， 则. 考点三 空间向量法解决角度问题 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 易知平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为，， 则. 故选：A 3．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 4．（25-26高二上·河北·开学考试）若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线l与平面所成的角为，由题意可得， 由于，得，得． 故选：D 5．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B．平面EFM平面 C．直线ME与所成的角为 D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面EFM截该正方体所得截面即为六边形，即A错误； 对于B，因为点，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点，分别为，的中点，所以， 又，所以，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，即平面EFM平面，故B正确； 对于C，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 不妨取正方体的棱长为2， 则，，，，， 所以，， 所以直线ME与所成的角的余弦值为， 所以直线ME与所成的角为，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 设平面EFM的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面EFM的一个法向量为， 易知平面ABCD的一个法向量为，设平面EFM与平面ABCD的夹角为， 则， 即平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确． 故选：BCD 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段练习·多选）如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 【答案】ABD 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确；    对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故答案为：. 9．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 11．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，直三棱柱.    (1)求证：； (2)若为中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在直三棱柱中，平面面， 则 又，即，又，平面，平面， 所以平面 又平面，所以 在直三棱柱中，，则四边形为正方形 所以，又，平面，平面， 所以平面 又平面，所以 （2）由（1）知两两互相垂直， 故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由于，设，则， 设平面的法向量为 则：，取，则，得， 由（1）知平面，则平面的一个法向量为 由图可知二面角的平面角为锐角，记为. 则：， 即二面角的余弦值为. 12．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 13．（25-26高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，．    (1)证明：； (2)若平面平面，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图1，取的中点，连接． 由，且为中点，得． 由于，且， 则四边形为正方形，故． 因为平面，且，所以平面． 又平面，故.    （2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，则为四棱锥的高， 又梯形的面积，且四棱锥的体积，联立解得． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图2所示， 则． 故． 设平面的法向量为， 则即令，得，故． 设平面的法向量为， 则即令，得，故． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为．    14．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）方法一：在直三棱柱中，， 所以， 所以，所以， 又，所以，，， 则，所以， 所以， 即，又平面， 所以平面． 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 所以，即 又平面，所以平面． （2）方法一：如图，延长交于点，过点作，垂足为，连结， 则由平面得， 所以即为平面与平面的夹角． 在中，， 所以，即， 又，所以， 所以，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取得，又平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 方法三：由（1）知， 记平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值为． 15．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接， 由题意可知四棱台为正四棱台， 则平面，线面垂直的性质知，，， 则，且，则四边形为矩形． 所以，故为与侧面所成的一个角． 因为与侧面所成角为，所以， 如图所示，以点为坐标原点，建立的间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为，而， 所以点到平面的距离； （2）因为，设面的法向量为， 则， 令，则面的一个法向量为， 所以，易知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 16．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 所以，得， 如图1，在中，由余弦定理得， ， 所以在图2中，，得， 由平面平面， 得平面，又平面， 所以平面平面． （2）由图1，可知, 所以，以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则． 得， 设平面的法向量为， 则，取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，而， 则，取平面的一个法向量为， 所以， 因为平面与平面夹角不超过， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 考点四 空间向量法解决距离问题 1．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ． 则 ，，，， 所以 ，，， 设平面 的法向量为，则 令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为． 所以点 到平面 的距离为， 故选：A 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【详解】因为、， 所以， 又平面的一个法向量， 所以点到的距离. 故选：A 5．（24-25高二上·辽宁·期中）平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 6．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 7．（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 . 【答案】/ 【详解】由题可知：平面平面,所以 所以,,, 所以,所以. 所以. 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为平面,所以平面,. . 因为,所以, 所以. 故答案为：. 方法二：如图所示， 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为侧面是矩形，取的中点F，连接,则. 因为侧棱平面，所以平面,所以两两垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 据题意可知， 则 设平面AB1D的一个法向量是 所以,所以, 令,则,所以. 因为,所以点C到平面AB1D的距离. 故答案为： 8．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）依题意，以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则、、、、，所以． 设，故，则． 所以． 因为，所以，解得，所以． （2）由（1）知，． 设平面的一个法向量为， 则，不妨设，则． 易得平面的一个法向量为， 因为，故，故平面与平面的夹角大小为． （3）因为，， 所以在上的投影向量的长度为． 又， 所以点到直线的距离为． 9．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图，    则, , 设异面直线所成的角为， 则. （2）设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. （3）由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 10．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 11．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）因为，所以， 因为为的中点，则，所以是等边三角形， 取的中点，连接，则， 又为棱的中点，且，即，则． 因为平面平面平面平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）（ⅰ）因为，所以． 所以，因为，所以， 又平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则． 设直线与平面所成的角为，所以， 整理得，解得（舍），所以． （ⅱ）由（ⅰ）知， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则， 所以点到平面的距离为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $