精品解析：湖北省部分名校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

湖北省部分名校2025-2026学年度上学期高三9月月考 高三数学试卷 命制单位：新高考试题研究中心 考试时间：2025年9月18日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数单位i的性质求解，即得答案. 【详解】. 故选：C 2. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，求出集合，代入公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，共4个元素， 所以集合真子集的个数为. 故选：D 3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 4. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 即在上有解.令，， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，的最小值为6. 故当时，关于x的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合 故选：C 5. 已知，，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 162 B. 168 C. 180 D. 185 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 7. 已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定圆C的圆心和半径，进而确定点H在以C为圆心，半径为1的圆上，结合向量的模的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】由于，即为， 故圆C的圆心为，半径为2， 设H为的中点，则，结合，得, 即点H在以C为圆心，半径为1的圆上； 又，则 而， 故的最小值为，则的最小值为， 故选：D 8. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用单调性并结合零点存在性定理确定的大小关系，再利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】令函数， 函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 同理函数在R上单调递增，而，， 则；，，则， 即，所以. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用线面的位置关系的性质定理逐项分析判断即可. 【详解】选项A：若，，则或或直线n与平面相交，故A选项不正确； 选项B：若，则在平面内存在一条直线，使得， 又，根据线面垂直定义得，所以，故选项B正确； 选项C：若，，则或，故C选项不正确； 选项D：若，，则，选项D正确； 故选：BD. 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 若，则的面积为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式依次判断各选项. 【详解】对于A，由，可得，， 所以，故A正确； 对于B，由于，结合正弦定理可得， 即，所以，故B正确； 对于C，由，则， ，解得，故C错误； 对于D，由，得，解得， 则，由正弦定理得，解得， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 甲乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛.在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则（ ） A. 第一轮甲获胜的概率为 B. 在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率为 C. 乙的总得分不小于2的概率为 D. 甲的总得分的期望为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据枚举法和古典概型的概率公式判断A；根据条件概率公式计算判断B；利用间接法计算概率判断C；根据离散型随机变量的期望公式计算判断D； 【详解】对于A，根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，所有可能组合有种： ， 甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字，有3种，所以甲获胜的概率为，A正确； 对于B，设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件， 由上可知第一轮甲获胜的概率为， 第一轮甲获胜且第二轮甲获胜的概率 ， 根据条件概率公式，B错误； 对于C，乙的总得分不小于2，即乙至少赢2轮， 乙赢0轮：三轮甲都获胜，由题意可知枚举法所以种三轮选卡的排列， 此时甲的排列需满足每轮甲的数字大于乙的数字， 因为甲中1小于乙排列中4，2，6无论怎么排列，都不满足甲全赢； 所以乙赢0轮，即乙得分为0的概率为0. 乙赢1轮：两轮甲获胜，此时两轮甲的排列需满足每轮甲的数字大于乙的数字， 一轮甲的排列需满足每轮甲的数字小于乙的数字，具体有： ；；； ；，有6种， 所以两轮甲获胜，即乙得分为1分的概率为， 因此乙的总得分不小于2的概率为，C正确； 对于D，设甲总得分为，则的可能取值为，在不考虑出牌顺序的前提下， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 1 3 5 0 2 4 6 1 2 6 4 1 4 2 6 1 4 6 2 2 6 2 4 1 6 4 2 甲、乙两人出牌共有36种，则，， 则，D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值． 【详解】由，得， 函数在处有极小值，所以， 解得或， 当时，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以是的极小值，符合题意. 当时，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是的极大值，不符合题意. 综上所述，实数a的值为. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，等差数列下标和的性质可得，利用等比数列的通项公式结合求出公比，继而可得，再根据对数运算即可求解. 【详解】设数列的公比为， 由可得，所以， 故，则， 故， 故答案为：. 14. 已知双曲线：，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取，的中点，，得到，再由，，结合直线OP、OQ、OR的斜率之积为，求得，利用，即可求解. 【详解】若直线与双曲线，有两个交点，，设的中点为， 由，得，所以，所以，所以，所以，所以. 取，的中点，，连接，，易知的重心在中线上， 的重心在中线上，所以，， 又，所以，由，得，所以， 因为，且的外心为点，所以为线段的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明：令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 16. 随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 （1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 【答案】（1），可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度 （2），销售额为136万元. 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断. （2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可. 【小问1详解】 根据表格里的数据可得： ，. 所以 . . . 所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度. 【小问2详解】 根据公式可得： ，. 所以关于的线性回归方程为. 当广告支出15万元时，销售额约为万元. 17. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦； （3）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【小问1详解】 取的中点N， 连接， 如图所示： 为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. 【小问2详解】 由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 18. 如图，在圆上任取一点P，过P作x轴的垂线段PH，H为垂足，当P点在圆上运动时，线段PH的中点M的轨迹记为曲线C，当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合. （1）求曲线C的标准方程； （2）设曲线C的右顶点为D，若直线l（不过D点）与曲线C交于A，B两点，满足，证明：直线l过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，由题意得到，结合点在圆上，得，将代入，即得点M的轨迹方程； （2）根据题意，将式子化简可得，然后分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 设，，则， 因点是线段的中点，则得，即， 因为点在圆上，则有， 所以把代入上述方程，可得， 即曲线的标准方程是. 【小问2详解】 由（1）知，设则， 将两边平方，可得，即， 代入坐标得，即（*）， ①如图，当直线垂直于轴时，且， 则将上式代入（*）化简得：，解得（舍）， 此时方程为，显然经过点； ②如图，当直线的斜率存在时，设， 联立方程可得， 由， 可得，且，， 由（*），， 可得， 即 将，代入上式，整理得， 即，解得或， 当时，直线过点，不符合题意； 所以，此时直线的方程为恒经过点. 综上所述，直线过定点. 19. 已知函数，. （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导，再令，解出即可； （2）求导得，注意，再利用必要性探路得到的范围，最后证明其充分性成立即可； （3）根据（2）结论得，再设新函数，求导得当时，，最后放缩累加求和即可. 【小问1详解】 当时，，对求导得 ， 令，即，解得； 故函数的单调递增区间为， 【小问2详解】 对求导得， 注意到，可得，解得， 当时，，可得在区间上单调递减， 所以； 当时，存在且， 当时，，可得在区间上单调递增， 所以与已知条件矛盾； 当时，可得在区间上单调递增， 所以与已知条件矛盾； 故实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，， 设， 则； 令， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以． 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分名校2025-2026学年度上学期高三9月月考 高三数学试卷 命制单位：新高考试题研究中心 考试时间：2025年9月18日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 162 B. 168 C. 180 D. 185 7. 已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 若，则的面积为8 11. 甲乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛.在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则（ ） A. 第一轮甲获胜的概率为 B. 在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率为 C. 乙的总得分不小于2的概率为 D. 甲的总得分的期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________. 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________． 14. 已知双曲线：，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 16. 随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 （1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 17. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 18. 如图，在圆上任取一点P，过P作x轴的垂线段PH，H为垂足，当P点在圆上运动时，线段PH的中点M的轨迹记为曲线C，当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合. （1）求曲线C的标准方程； （2）设曲线C的右顶点为D，若直线l（不过D点）与曲线C交于A，B两点，满足，证明：直线l过定点. 19. 已知函数，. （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $