精品解析：安徽省马鞍山市某校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末考试八年级数学 （时间：90分钟 满分100分） 一、选择题（每小题3分，共30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. B. C. 8，15，17 D. 4，5，6 3. 教师招聘考试，7位考生进入复试，他们的得分互不相同，最终录取3位，某考生知道自己的分数后，要判断自己是否被录取，他应该关注的统计量是( ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 八边形的内角和是外角和的( )倍 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列方程中，没有实数根的是( ) A. B. C. D. 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 24 C. 17 D. 25 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 9. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C. 若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D. 若m是方程的一个实数根，则 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是______． 13. 一组数据1，3，2，5，4的方差是________． 14. 如图，在四边形中，，则四边形的面积为__________． 15. 如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且． （1）若，则______； （2）的最小值为______． 三、解答题（共55分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0方程有两实根x1和x2． (1)求实数k的取值范围； (2)当x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求k的值． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 19. 如图，为的中线，点为的中点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 20. 学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）； 信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 相应人数 10 16 14 平均数 信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79． 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ； （2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； （3）求被抽取40名学生的平均测试成绩． 21. 如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高． （3）在（2）条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末考试八年级数学 （时间：90分钟 满分100分） 一、选择题（每小题3分，共30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、=，故不是最简二次根式； B、=，故不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. B. C. 8，15，17 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中  为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 3. 教师招聘考试，7位考生进入复试，他们的得分互不相同，最终录取3位，某考生知道自己的分数后，要判断自己是否被录取，他应该关注的统计量是( ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】由于比赛设置了3个录取名额，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：因为3位考生的分数肯定是7名参赛选手中最高的， 而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 八边形的内角和是外角和的( )倍 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求得八边形的内角和，然后与多边形的外角和为360°作商即可． 【详解】解：∵八边形的内角和为：，其外角和为， (倍)， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5. 下列方程中，没有实数根的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可． 【详解】解：A．方程化为，，方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．方程化为，，方程没有实数根，所以B选项符合题意； C．方程为，，方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．方程化为，，方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 24 C. 17 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17． 【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：， ， ， 小正方形的边长为17． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 8. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理求解三角形，解决本题的关键是熟练使用性质． 先由角平分线的性质可得，再由边角边的证明方法证明和全等，由此可得，再由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：记与交点为点O，如图， 的平分线交于点， ， ∵， 在和中， ， ， ，， ， 在中，则， 在平行四边形中，， ，又， ， ， ， ． 故选：A． 10. 关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C. 若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D. 若m是方程的一个实数根，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意； B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有成立错误，故此选项符合题意； C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意； D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【详解】解：， 去括号，得， 合并，得， 所以常数项是． 故答案为：． 13. 一组数据1，3，2，5，4的方差是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查方差，掌握方差的求法是解题的关键．先计算数据的平均数，再计算方差即可． 【详解】解：平均数为 ， 方差为： ， 故答案为：2． 14. 如图，在四边形中，，则四边形的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理，证明直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且． （1）若，则______； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，从而得到，由勾股定理计算出的长，即可得到答案； （2）连接，通过证明可得，作点关于的对称点，连接，则，从而得到，当在同一直线时，最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，且边长为4， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）连接， ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， 则， ， 当在同一直线时，最小， ， 在中，， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 三、解答题（共55分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解题的关键是熟练运用解一元二次方程的方法． （1）运用乘法公式和除法法则进行计算即可； （2）运用公式法求解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ∴， 即，． 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0方程有两实根x1和x2． (1)求实数k的取值范围； (2)当x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求k的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出△的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2=3，x1•x2=k，根据已知得出x12+x22=（）2，变形后代入求出即可． 试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个实根x1和x2， ∴△=（-3）2-4k≥0， 解得：k≤， 即实数k的取值范围为k≤； （2）由根与系数的关系得：x1+x2=3，x1•x2=k， ∵x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为， ∴x12+x22=（）2， （x1+x2）2-2x1•x2=5， ∴9-2k=5， 解得：k=2． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 【答案】任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：平均增长率为； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得， 解得， ∴当时，每个月可以获得利润12250元， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元． 19. 如图，为的中线，点为的中点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解： 为的中点，， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 四边形为平行四边形： （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，进而可得，即可得证； （2）勾股定理求得，进而可得四边形的面积等于的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，为的中线， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）； 信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 相应人数 10 16 14 平均数 信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79． 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ； （2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； （3）求被抽取40名学生的平均测试成绩． 【答案】（1）72 （2）124人 （3）分 【解析】 【分析】本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数． （1）根据中位数的定义直接求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）利用加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 由题意可知，抽取的40名学生测试成绩从小到大排列、， 故答案为：72； 【小问2详解】 （人）； 答：该校初中三个年级496名学生中优秀的学生约为124人； 【小问3详解】 （分）， 答：被抽取40名学生的平均测试成绩为分． 21. 如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高． （3）在（2）条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于O点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）12 （3）18 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，，，再证明得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出，设菱形的边上的高为h，利用等面积法求出h的值即可得到答案； （3）如图所示，过点B作，交的延长线于点P，由（2）知，先求出，再求出，则，进一步得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ 设菱形的边上的高为h， ∵， ， ∴，即边上的高为12． 【小问3详解】 解：如图所示，过点B作，交的延长线于点P， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定条件，菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $