第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：相似三角形全部内容）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相似三角形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26九年级上·上海奉贤·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解． 根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：． 4．（2025·上海松江·模拟预测）如图，与交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】解：， ，， ， ， 设，则，，， ， ， 与的相似比为， ， 故选C． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ， 四边形与四边形的面积比为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质． 6．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出BC的长，进而求出AB的长，最后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 由题意得：， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 8．（2025·上海宝山·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2025九年级上·上海普陀·专题练习）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为，根据题意得到，解方程即可求解． 【详解】解：设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴它的下部应设计的高度为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知：如图，梯形中，，点M是的中点，设，，那么 （用、的线性组合表示）． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则是解题的关键． 连接，利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴． 故答案为： 12．（2025九年级上·上海闵行·模拟预测）如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 14．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，已知：在和中，若，请添加一个条件 ，使．（写一个即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理作答即可． 【详解】解：由两角对应相等，两个三角形相似，可添加或； 由两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可添加； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解：，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若的对应点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据，，推出，求出值，得到位似比，进而求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴轴，； ∵的对应点， ∴， ∴ ∴的坐标为：，即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标系中的位似．熟练掌握位似图形的性质，求出位似比，是解题的关键． 17．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 18．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，过点F作，交于G，交于H，根据相似三角形的判定可以得到； 根据相似三角形的对应边成比例，可以求出的长度，结合人的身高，可以得到电视塔的高度. 【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图， 由题意可知：， ∴， ∴，即， 解得：. 所以(米). 故答案为：. 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据比例的基本性质可设，，，进而求得、、的值，即可求解； （2）把（1）中求得的a、b、c的值代入求值即可． 【详解】（1）解： 设，，， ， ，，， ； （2）解：∵，，， ∴． 20．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】,图见解析. 【分析】首先将原式去括号化简，再根据向量的意义画图即可． 【详解】原式=     =     = 图示如下: 【点睛】此题主要考查了向量的知识，去括号法则. 熟悉平面向量的意义，向量加法的三角形法则，去括号法则是解决此题的关键. 21．（2025九年级上·上海嘉定·专题练习）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 22．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，画出（点的对应点分别为点、），与在位似中心的异侧，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质，延长到，使，延长到，使，连接，即为所求； （2）根据位似性质结合图象可得答案． 【详解】（1）解：即为所求，如图所示 （2）点的坐标为． 23．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 24．（2025·上海静安·模拟预测）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形的边长为1cm，，，设正方形移动的时间为x秒，且．    (1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）； (2)若以G、D、C为顶点的三角形同相似，求x的值； (3)连接，过点A作交于点P，连接．若的面积记为，的面积记为，则的值会发生变化吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： （1）根据，正方形的边长为1cm，结合题意，列出式子即可； （2）分两种情况讨论：当时和当时，根据相似三角形的性质计算即可； （3）证明，推出，分别求得和，即可得出结论． 【详解】（1）解：，正方形的边长为1cm，正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合． ， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：， 当或时，以、、为顶点的三角形同相似． （3）解：结论：的值不会发生变化． 理由如下： ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 的值不会发生变化． 25．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知和有公共顶点，，连接，取的中点M并连接． （1）如图1，若点D位于线段上，则_________．（直接写出答案） （2）如图2，若点D位于线段上， ①不添加其它字母和连线，直接写出图中除外的另一组相似三角形； ②猜想与的位置关系，并证明你的结论； （3）当点D运动到图3所示位置时，线段之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）①，②，证明见解析，（3）没有变化，证明见解析． 【分析】（1）设OD=a，OA=b，表示出BC和OM即可； （2）①，利用两边成比例夹角相等证明即可； ②根据相似，利用三角形内角和得出OM与BC垂直； （3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM,证出即可． 【详解】解：（1）设OD=a，OA=b， ∵，， ∴， CD=2 a，OC= ， 同理，OB=， BC=， AD=， ∵的中点是M， ∴DM=， OM=OD+DM=， ， （2）①， 延长OM交BC于N, 由（1）得，，∠AOD=∠BOC=90°， ∴； ②由相似得，∠DAO=∠CBO， ∵的中点是M， ∴MO=MD， ∴∠ADO=∠NOB， ∵∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠CBO+∠NOB=90°， ∴； （3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM, ∵AM=MD,∠OMD=∠AMH， ∴△OMD≌△AMH, ∴AH=OD,∠HAD=∠ADO， ∴AH∥OD, ∴∠HAO+∠AOD=180°， ∵， ∴∠AOD+∠BOC=180°， ∴∠BOC=∠HAO， 由（2）可知，， ∴ ∴， ∴，∠CBO =∠AOH， ∴， ∵∠AOH+∠NOB=90°， ∴∠CBO+∠NOB=90°， ∴； 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题和勾股定理，解题关键是恰当的作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相似三角形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26九年级上·上海奉贤·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2025·上海松江·模拟预测）如图，与交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3 6．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 8．（2025·上海宝山·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 9．（2025九年级上·上海普陀·专题练习）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为 ． 10．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，，若，则等于 ． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知：如图，梯形中，，点M是的中点，设，，那么 （用、的线性组合表示）． 12．（2025九年级上·上海闵行·模拟预测）如图，在中，若，，，则的长为 .    13．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 14．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，已知：在和中，若，请添加一个条件 ，使．（写一个即可） 15．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 16．（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若的对应点，则的坐标为 ． 17．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 18．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知，求： (1)； (2)． 20．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21．（2025九年级上·上海嘉定·专题练习）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 22．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，画出（点的对应点分别为点、），与在位似中心的异侧，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 23．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 24．（2025·上海静安·模拟预测）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形的边长为1cm，，，设正方形移动的时间为x秒，且．    (1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）； (2)若以G、D、C为顶点的三角形同相似，求x的值； (3)连接，过点A作交于点P，连接．若的面积记为，的面积记为，则的值会发生变化吗？请说明理由． 25．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知和有公共顶点，，连接，取的中点M并连接． （1）如图1，若点D位于线段上，则_________．（直接写出答案） （2）如图2，若点D位于线段上， ①不添加其它字母和连线，直接写出图中除外的另一组相似三角形； ②猜想与的位置关系，并证明你的结论； （3）当点D运动到图3所示位置时，线段之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $