第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：相似三角形全部内容）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相似三角形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（   ）． A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 4．（24-25九年级上·上海长宁·期末）下列关于向量的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，平分，点D，E分别在边，上（点D不与点B，C重合），且，与相交于点F．下列结论：①；若，则；若，则．其中正确的是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025九年级上·上海崇明·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 8．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·上海崇明·期中）C为线段的黄金分割点，长度为，则的长度 ．（结果保留根号） 10．（2025·上海松江·模拟预测）定义新运算：．例如：．根据上述规律，化简的结果为 ． 11．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，直线；则的长为 ． 12．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，四边形∽四边形，若，，，则 ． 13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 14．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，是边的中线，如果设向量，向量，点是的重心，那么向量可以表示为 （用向量的线性组合表示） 15．（24-25九年级上·上海闵行·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 16．（24-25九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为 17．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，点E为边上的一个动点，当 时，和相似． 18．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，求值． 20．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，．求证：． 22．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 24．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．    25．（2025·上海长宁·模拟预测）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)如图①，在中，，，．若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； (3)如图②，在四边形中，，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长．         学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相似三角形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似作图，掌握位似是相似的特殊形式、位似比等于相似比是解题的关键． 先根据已知条件可画出符合条件的两个图形，再根据图中点的位置写出坐标即可解答． 【详解】解：如图， 则点的坐标为或． 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海长宁·期末）下列关于向量的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模的定义，以及零向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了向量的模的定义，以及零向量的定义，熟练掌握平面向量的相关定义是解题的关键． 5．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，平分，点D，E分别在边，上（点D不与点B，C重合），且，与相交于点F．下列结论：①；若，则；若，则．其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． ①通过角平分线和外角定理即可证明； ②由得出比例式，求出，再由求出； ③过点G作交于点H，先证明，求出． 【详解】解：①：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②：由①得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ③： 过点G作交于点H， ∵， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025九年级上·上海崇明·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 8．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据题意得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海崇明·期中）C为线段的黄金分割点，长度为，则的长度 ．（结果保留根号） 【答案】或 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义以及分类讨论思想是解题关键． 分和两种情况，分别根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴当时，； 当时，， ∴． 故答案为：或． 10．（2025·上海松江·模拟预测）定义新运算：．例如：．根据上述规律，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，根据题意寻找规则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，直线；则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，利用得到是解答本题的关键．先求出，，利用得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，四边形∽四边形，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，当四边形∽四边形时，，，，再结合四边形内角和为可知． 【详解】解：四边形∽四边形，，，， ，，， 由四边形内角和为可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似多边形性质求角度问题，涉及四边形内角和为等知识，熟练掌握相似多边形对应角相等是解决问题的关键． 13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，是边的中线，如果设向量，向量，点是的重心，那么向量可以表示为 （用向量的线性组合表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量的简单计算问题，其中涉及三角形重心的概念，应熟练掌握． 可用、表示，再利用三角形重心的性质得到，进而表示即可． 【详解】解：在中，是边的中线，向量，向量， ， ， 点是的重心， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海闵行·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（24-25九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍， ∴放大后点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，点E为边上的一个动点，当 时，和相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质分两种情况，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵与相似， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 18．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 【答案】 【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解． 【详解】解：设AP， ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD， ∴AP=PB=BC=CD， ∴AB=， ∴，， ∴， 又∵∠ABC=∠DBA， ∴△ABC∽△DBA， 故答案为：△ABC∽△DBA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，求值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 20．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 22．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点E即可． 【详解】解：如图，点E即为所求． ． 23．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心； （2）解：补全如图所示： 24．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．    【答案】经过秒或秒钟，与相似． 【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设经过秒钟，与相似． 由题意得，， ，， ，， 与相似， 当与对应时，有，即，解得， 当与对应时，有，即，解得， 综上所述，经过秒或秒钟，与相似． 25．（2025·上海长宁·模拟预测）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)如图①，在中，，，．若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； (3)如图②，在四边形中，，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长． 【答案】(1)15 (2)存在， (3)40 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义得到，进而求解即可； （2）首先得到是“准互余三角形”，由也是“准互余三角形”，得到，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可； （3）如图②中，将沿翻折得到，首先证明出A、B、F共线，得到，然后推出，证明出，得到，设，则，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”，，， ∴，即 ∴； （2）解：如图①中， 在中，∵，， ∴， ∴是“准互余三角形”， ∵也是“准互余三角形”， ∴只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； （3）解：如图②中，将沿翻折得到． ∴，，， ∵，， ∴， ∴A、B、F共线，                      ∴ ∴， ∴只有， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 ∴ ∴或（舍弃）， ∴， 在中，． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $